Remainder Theorem MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Remainder Theorem - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

9 ²⁰ + 2 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം കണ്ടെത്തുക.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

1. ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യ n നും, 9 mod 4 = 1.

2. a ^b mod c = (a mod c) ^b mod c.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ:

ഘട്ടം 1:  9 mod 4 എന്നത് ലഘൂകരിക്കുക:

9 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 എന്ന ശിഷ്ടം ലഭിക്കും.

⇒ 9 ≡ 1 mod 4.

ഘട്ടം 2: 9 20 mod 4 എന്നത് ലഘൂകരിക്കുക:

920 ≡ 120 mod 4.

⇒ 920 mod 4 = 1.

ഘട്ടം 3: ഫലത്തിലേക്ക് 2 ചേർത്ത് 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

(920+ 2) mod 4 = (1 + 2) mod 4.

⇒ 3 mod 4 = 3.

∴ 9 20 + 2 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ശിഷ്ടം 3 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഹാരകം = 4 × ഹരണഫലം 

ഹാരകം = 2 × ശിഷ്ടം

ശിഷ്ടം = 32

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

ഹാര്യം = ഹാരകം × ഹരണഫലം  + ശിഷ്ടം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

നൽകിയിരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന്, നമുക്കറിയാം:

ഹാരകം = 2 × ശിഷ്ടം = 2 × 32 = 64

കൂടാതെ, ഹാരകം = 4 × ഹരണഫലം

⇒ 64 = 4 × ഹരണഫലം

⇒ ഗുണിതം = 64 / 4

⇒ ഹരണഫലം = 16

ഇനി, ഹാര്യത്തിനുള്ള  സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്:

ഹാര്യം = ഹാരകം × ഹരണഫലം + ശിഷ്ടം

⇒ ഹാര്യം = 64 × 16 + 32

⇒ ഹാര്യം= 1024 + 32

⇒ ഹാര്യം = 1056

ഹാര്യം 1056 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു ഹരണ തുകയിൽ, ഹാരകം ഹരണഫലത്തിന്റെ 10 മടങ്ങും ശിഷ്ടത്തിന്റെ നാല് മടങ്ങുമാണ്. ശിഷ്ടം 45 ആണെങ്കിൽ 

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഹാര്യം = ഹാരകം × ഹരണഫലം + ശിഷ്ടം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ഹാരകം ശിഷ്ടത്തിന്റെ നാല് മടങ്ങാണ്.

ശിഷ്ടം = 45

ഹാരകം = 45 × 4

ഹാരകം ഹരണഫലത്തിന്റെ പത്ത് മടങ്ങാണ്.

⇒ 45 × 4 = 10 × Q

⇒ Q = (45 × 4) / 10

⇒ Q = 18

ഇപ്പോൾ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

ഹാര്യം = 45 × 4 × 18 + 45

ഹാര്യം = 3285

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ മൂല്യം 3285 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

\((49^{15} - 1) \)

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

a ⁿ​ - ⁿ ഒരു ഇരട്ട പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാകുമ്പോൾ b n നെ (a + b) കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഇവിടെ a & b എന്നിവ അഭാജ്യ സംഖ്യകളായിരിക്കണം.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

\((49^{15} - 1) \)

⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)

⇒ \((7^{30} - 1) \)

ഇവിടെ 30 ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

ആശയം അനുസരിച്ച്,

\((7^{30} - 1) \) എന്നത് (7 + 1) കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതായത്, 8.

∴ 8 എന്നത് \((49^{15} - 1) \) ന്റെ ഒരു ഹരിക്കൽ ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

\((49^{15} - 1) \)

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

a ⁿ​ - ⁿ ഒരു ഇരട്ട പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാകുമ്പോൾ b n നെ (a + b) കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഇവിടെ a & b എന്നിവ അഭാജ്യ സംഖ്യകളായിരിക്കണം.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

\((49^{15} - 1) \)

⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)

⇒ \((7^{30} - 1) \)

ഇവിടെ 30 ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

ആശയം അനുസരിച്ച്,

\((7^{30} - 1) \) എന്നത് (7 + 1) കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതായത്, 8.

∴ 8 എന്നത് \((49^{15} - 1) \) ന്റെ ഒരു ഹരിക്കൽ ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു ഹരണ തുകയിൽ, ഹാരകം ഹരണഫലത്തിന്റെ 10 മടങ്ങും ശിഷ്ടത്തിന്റെ നാല് മടങ്ങുമാണ്. ശിഷ്ടം 45 ആണെങ്കിൽ 

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഹാര്യം = ഹാരകം × ഹരണഫലം + ശിഷ്ടം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ഹാരകം ശിഷ്ടത്തിന്റെ നാല് മടങ്ങാണ്.

ശിഷ്ടം = 45

ഹാരകം = 45 × 4

ഹാരകം ഹരണഫലത്തിന്റെ പത്ത് മടങ്ങാണ്.

⇒ 45 × 4 = 10 × Q

⇒ Q = (45 × 4) / 10

⇒ Q = 18

ഇപ്പോൾ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

ഹാര്യം = 45 × 4 × 18 + 45

ഹാര്യം = 3285

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ മൂല്യം 3285 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

\((49^{15} - 1) \)

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

a ⁿ​ - ⁿ ഒരു ഇരട്ട പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാകുമ്പോൾ b n നെ (a + b) കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഇവിടെ a & b എന്നിവ അഭാജ്യ സംഖ്യകളായിരിക്കണം.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

\((49^{15} - 1) \)

⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)

⇒ \((7^{30} - 1) \)

ഇവിടെ 30 ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

ആശയം അനുസരിച്ച്,

\((7^{30} - 1) \) എന്നത് (7 + 1) കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതായത്, 8.

∴ 8 എന്നത് \((49^{15} - 1) \) ന്റെ ഒരു ഹരിക്കൽ ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു ഹരണ തുകയിൽ, ഹാരകം ഹരണഫലത്തിന്റെ 10 മടങ്ങും ശിഷ്ടത്തിന്റെ നാല് മടങ്ങുമാണ്. ശിഷ്ടം 45 ആണെങ്കിൽ 

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഹാര്യം = ഹാരകം × ഹരണഫലം + ശിഷ്ടം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ഹാരകം ശിഷ്ടത്തിന്റെ നാല് മടങ്ങാണ്.

ശിഷ്ടം = 45

ഹാരകം = 45 × 4

ഹാരകം ഹരണഫലത്തിന്റെ പത്ത് മടങ്ങാണ്.

⇒ 45 × 4 = 10 × Q

⇒ Q = (45 × 4) / 10

⇒ Q = 18

ഇപ്പോൾ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

ഹാര്യം = 45 × 4 × 18 + 45

ഹാര്യം = 3285

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ മൂല്യം 3285 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഹാരകം = 4 × ഹരണഫലം 

ഹാരകം = 2 × ശിഷ്ടം

ശിഷ്ടം = 32

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

ഹാര്യം = ഹാരകം × ഹരണഫലം  + ശിഷ്ടം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

നൽകിയിരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന്, നമുക്കറിയാം:

ഹാരകം = 2 × ശിഷ്ടം = 2 × 32 = 64

കൂടാതെ, ഹാരകം = 4 × ഹരണഫലം

⇒ 64 = 4 × ഹരണഫലം

⇒ ഗുണിതം = 64 / 4

⇒ ഹരണഫലം = 16

ഇനി, ഹാര്യത്തിനുള്ള  സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്:

ഹാര്യം = ഹാരകം × ഹരണഫലം + ശിഷ്ടം

⇒ ഹാര്യം = 64 × 16 + 32

⇒ ഹാര്യം= 1024 + 32

⇒ ഹാര്യം = 1056

ഹാര്യം 1056 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

9 ²⁰ + 2 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം കണ്ടെത്തുക.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

1. ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യ n നും, 9 mod 4 = 1.

2. a ^b mod c = (a mod c) ^b mod c.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ:

ഘട്ടം 1:  9 mod 4 എന്നത് ലഘൂകരിക്കുക:

9 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 എന്ന ശിഷ്ടം ലഭിക്കും.

⇒ 9 ≡ 1 mod 4.

ഘട്ടം 2: 9 20 mod 4 എന്നത് ലഘൂകരിക്കുക:

920 ≡ 120 mod 4.

⇒ 920 mod 4 = 1.

ഘട്ടം 3: ഫലത്തിലേക്ക് 2 ചേർത്ത് 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

(920+ 2) mod 4 = (1 + 2) mod 4.

⇒ 3 mod 4 = 3.

∴ 9 20 + 2 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ശിഷ്ടം 3 ആണ്.