Vector Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vector Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

\(\vec{d}_1\) और \(\vec{d}_2\) के लिए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के रूप में, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल  \(\frac{1}{2}\left|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2\right|\)है

गणना​:

\(​\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j} \)
 और \(\vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+\hat{k}+2 \hat{j}-\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{j} \)
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(=\frac{1}{2}|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} \hat{2}& \hat{j}& \hat{k} \\ 1 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|\) 
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|\hat{i}(0-0)-j(0-0)+\hat{k}(2-3)| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|-\hat{k}|=\frac{1}{2}\)

अवधारणा -

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का उपयोग करें।

\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix}\)

समाधान -

\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1& -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}\)

= \(2\hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}\)

\(|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=\sqrt{4+4+1} =3\)

तो \(|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|^2=8\) 8

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}|^2 -2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{a}|^2=8\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}|^2 -2|\overrightarrow{c}|+9=8\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}|^2 -2|\overrightarrow{c}|+1=0\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{c}|=1\)

\(|\left ( \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right )\times \overrightarrow{c}|=|\left ( \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right ) \overrightarrow{c}|sin30^\circ ={\frac{3}{2}}\)

अतः अंतिम उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है, \(( \vec a- \vec b) \times (\vec a + \vec b)\)

\(\Rightarrow (\vec a \times \vec a) + ( \vec a \times \vec b) - ( \vec b \times \vec a ) - ( \vec b \times \vec b)\)

हम जानते हैं कि,\(\vec a \times \vec a = 0\;, \vec b \times \vec b = 0\; and, \vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)\)

\(\Rightarrow (\vec a \times \vec b) - (\vec b \times \vec a)\)

\(\Rightarrow (\vec a \times \vec b) -[ -(\vec a \times \vec b)]\)

\(= ( \vec a \times \vec b) + ( \vec a \times \vec b) = 2 (\vec a \times \vec b)\)

व्याख्या:

हमें पृष्ठ समाकल की गणना करनी है

\(\iint_S \vec{r} \cdot d\vec{S}\)

जहाँ \(\vec{r}\) पृष्ठ S पर किसी बिंदु का स्थिति सदिश है जो आयतन V को परिबद्ध करता है और S अवकल पृष्ठीय क्षेत्रफल सदिश है।

व्यंजक \(\iint_S \vec{r} \cdot d\vec{S}\) पृष्ठ S द्वारा परिबद्ध आयतन V से संबंधित ज्ञात है और इसे अपसरण प्रमेय का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जाता है।

अपसरण प्रमेय कहता है:

\(\iint_S \vec{A} \cdot d\vec{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{A}) \, dV\)

हमारी स्थिति में, \(\vec{A} = \vec{r}\) , इसलिए \(\vec{r}\) का अपसरण है:

\(\nabla \cdot \vec{r} = 3\)

इसलिए, पृष्ठ समाकल बन जाता है:

\(\iint_S \vec{r} \cdot d\vec{S} = \iiint_V 3 \, dV = 3 \times \text{Volume of } V\)

इस प्रकार, पृष्ठ समाकल का मान 3V है।

इस प्रकार, विकल्प '3' सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

\(\vec{d}_1\) और \(\vec{d}_2\) के लिए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के रूप में, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल  \(\frac{1}{2}\left|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2\right|\)है

गणना​:

\(​\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j} \)
 और \(\vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+\hat{k}+2 \hat{j}-\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{j} \)
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(=\frac{1}{2}|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} \hat{2}& \hat{j}& \hat{k} \\ 1 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|\) 
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|\hat{i}(0-0)-j(0-0)+\hat{k}(2-3)| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|-\hat{k}|=\frac{1}{2}\)

स्पष्टीकरण:

अदिश फलन की प्रवणता:

प्रवणता का परिमाण अदिश क्षेत्र के परिवर्तन की अधिकतम दर के बराबर है और इसकी दिशा अदिश फलन में सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा के साथ है।

माना कि ϕ, (x, y, z) का एक फलन है

फिर \(\left( ϕ \right)=\hat{i}\frac{\partial ϕ }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial ϕ }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial ϕ }{\partial z}\)

सदिश फलन का अपसरण:

एक बिंदु के चारों ओर एक आयतन तत्व से शुद्ध बाहरी अभिवाह उस बिंदु पर सदिश क्षेत्र के अपसरण का एक माप है।

फलन का विचलन \(\vec F = {F_1}\hat i + {F_2}\hat j + {F_3}\hat k\)

\( \nabla \cdot \vec F = \frac{{\partial {F_1}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {F_2}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {F_3}}}{{\partial z}}\)

गॉस अपसरण प्रमेय:

यह बताता है कि एक बंद सतह ‘S’ पर लिए गए सदिश फलन \(\vec F\) के लंब घटक का पृष्ठ समाकल एक बंद सतह ‘S’ द्वारा घेरे गए आयतन पर उस सदिश फलन \(\vec F\)

\(\underset{S}{\mathop \iint }\,\vec{F}.\hat{n}ds=\iiint\limits_{V}{\nabla .\vec{F}dv}\)

स्टोक्स प्रमेय:

• इसमें कहा गया है कि किसी भी बंद पृष्ठ C के चारों ओर एक सदिश क्षेत्र \(\vec F\) का रेखा समाकल एक खुली सतह 'S' पर सदिश \(\vec F\) के कर्ल के सामान्य घटक के पृष्ठ समाकल के बराबर होता है।

\(\underset{C}{\mathop \oint }\,\vec{F}.\overrightarrow{dr}=\underset{S}{\mathop \iint }\,curl~\vec{F}.\hat{n}ds\)

Important Points

अदिश फलन के कर्ल और अदिश फलन के अपसरण को परिभाषित नहीं किया जाता है।

अवधारणा:

स्टोक्स प्रमेय द्वारा:

\(\oint_{c}^{}\vec{F}.\vec{dr}=\iint_{s}^{}(∇\times\vec{F}).\hat {n}.ds\)

गणना:

दिया हुआ:

\(\vec{F}.\vec{dr}= \left[ {\left( {x + y} \right)dx + \left( {2x - z} \right)dy + \left( {y + z} \right)dz} \right]\)

\(∴\vec{F}=(x+y)\hat{i}\;+(2x-z)\hat{j}\;+(y+z)\hat{k}\)

\(∇ \times \vec F = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\ {x + y}&{2x - z}&{y + z} \end{array}} \right| = 2\hat{i} + \hat{k}\)

A, B, C के माध्यम से समतल का समीकरण निम्न है

\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1\)

\(∴\; 3x + 2y + z = 6 \)

∴ ϕ = 3x + 2y + z - 6 सतह के समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।

सतह के लिए सदिश लंब निम्न प्रवणता द्वारा दिया जाता है:

\(\nabla \phi=\left ( \hat{i}\frac{\partial}{\partial x}\;+\;\hat{j}\frac{\partial}{\partial y}\;+\;\hat{k}\frac{\partial}{\partial z} \right )(3x\;+\;2y\;+\;z\;-6)\)

\(\vec{n}=3\hat{i}\;+\;2\hat{j}\;+\hat{k}\)

इकाई सदिश n̂: 

\(̂{n}=\frac{\vec{n}}{|\vec n|}\Rightarrow\frac{3\hat{i}\;+\;2\hat{j}\;+\;\hat{k}}{\sqrt{3^2\;+\;2^2\;+\;1^2}}=\frac{3\hat{i}\;+\;2\hat{j}\;+\;\hat{k}}{\sqrt{14}}\)

\(\oint_{c}^{}\vec{F}.\vec{dr}=\iint_{s}^{}(∇\times\vec{F}).\hat{n}.ds\)

\(\iint_{s}^{}(2\hat{i}\;+\;\hat{k}).\left ( \frac{3\hat{i}\;+\;2\hat{j}\;+\;\hat k}{\sqrt{14}} \right )ds\)

\(\frac{1}{\sqrt{14}}(6\;+\;1)\iint_{s}^{}ds\;\;\;[where \iint_{s}^{}represents\;area\;of\;triangle\;ABC]\)

A (2, 0, 0), B (0, 3, 0) और C (0, 0, 6)

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) ⇒ [(0 - 2), (3 - 0), (0 - 0)] = (-2, 3, 0)

\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \) ⇒ [(0 - 0), (0 - 3), (6 - 0)] = (0, -3, 6)

\(Area\;of\;{\rm{\Delta }}ABC = \frac{1}{2} \times \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} \)

\(\therefore\;\frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ {-2}&3&0\\ 0&{-3}&6 \end{array}} \right|\)

\(\therefore\;\frac{1}{2}\left( {18\hat i + 12\hat j + 6\hat k} \right)\)

\(\therefore\;9\hat i + 6\hat j + 3\hat k\)

\(\therefore\;Area = \sqrt {{9^2} + {6^2} + {3^2}} \Rightarrow \sqrt {126} = \sqrt {14 \times 9} \Rightarrow 3\sqrt {14} \)

\(\frac{1}{\sqrt{14}}(6\;+\;1)\iint_{s}^{}ds\)

\(\therefore\;\frac{7}{\sqrt{14}}\times\;3\sqrt{14}\Rightarrow21\;units\)

अवधारणा:

विचलन प्रमेय कहता है कि:

\(\mathop{{\int\!\!\!\ \!\!\int}\mkern-21mu \ \bigcirc} {D.ds = \iiint_V {\left( {∇ .D} \right)\;dV}}\)

जहां ∇.D सदिश क्षेत्र D का विचलन है।

आयताकार निर्देशांक में, विचलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

\(\nabla \cdot \vec D = \left( {\frac{{\partial {D_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {D_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {D_z}}}{{\partial z}}} \right)\)

स्थिति वेक्टर \({\bar r} =xi+yj+zk\)

गणना

\(\nabla.{\rm{\;}}\left( {{\rm{xi}} + {\rm{yj}} + {\rm{zk}}} \right) \)

\(= \frac{\partial }{{\partial {\rm{x}}}}\left( {\rm{x}} \right) + \frac{\partial }{{\partial {\rm{y}}}}\left( {\rm{y}} \right) + \frac{\partial }{{\partial {\rm{z}}}}\left( {\rm{z}} \right) = 1+1+1= 3\)

∴ किसी भी स्थिति वेक्टर का विचलन = 3

• विचलन एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है लेकिन एक अदिश में परिणाम होता है।
• कर्ल एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है और परिणाम एक सदिश क्षेत्र में होता है।
• ग्रेडिएंट एक अदिश पर संचालित होता है लेकिन परिणाम एक सदिश क्षेत्र में होता है।
• कर्ल का विचलन, ग्रेडिएंट का कर्ल हमेशा शून्य होता है।
• इस प्रकार, कर्ल, ग्रेडिएंट कर्ल का परिणाम देता है (जो एक सदिश क्षेत्र है) जिस पर संचालित करने के लिए ग्रेडिएंट, जो गणितीय रूप से अमान्य व्यंजक है।

संकल्पना:

गोलाकार निर्देशांक (r, θ, ϕ) से कार्तीय निर्देशांक (x, y, z) का रूपांतरण निम्न है

x = r cos ϕ sin θ

y = r sin ϕ sin θ

z = r cos θ

गणना:

A (x = 2, y = 3, z = -1) और B (r = 4, θ = 30°, ϕ = 120°)

बिंदु A कार्तीय निर्देशांक में दिया गया है और बिंदु गोलाकार निर्देशांक में दिया गया है। 

दिए गए गोलाकार निर्देशांक को कार्तीय निर्देशांक में परिवर्तित करने पर,

\(x = 4 \times \cos 120\sin 30 = - 1\)

\(y = 4 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times \frac{1}{2} = \sqrt 3 \)

\(z = 4 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \)

A (2, 3, -1), B (-1, √3, 2√3)

बिंदु A और B के बीच की दूरी निम्न है,

\(AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 5.53\)

अदिश राशि: जिन भौतिक राशियों को व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण की आवश्यकता होती है, उन्हें अदिश राशि कहा जाता है।

• उदाहरण: द्रव्यमान, दूरी, समय, गति, आयतन, तापमान, घनत्व, आयतन, चुंबकीय अभिवाह, चुंबकीय विभव, विद्युत धारा, कार्य, शक्ति, आपेक्षिक पारगम्‍यता आदि।

सदिश राशि: भौतिक राशियों को व्यक्त करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है, उन्हे सदिश राशि कहा जाता है।

• उदाहरण: विस्थापन, भार, वेग, त्वरण, बल, संवेग, आवेग, विद्युत क्षेत्र, चुंबकीय क्षेत्र घनत्व, चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता आदि।

Additional Information

• चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता: उस सामग्री की प्रति इकाई लंबाई से एक विशेष सामग्री के भीतर एक निश्चित अभिवाह घनत्व (B) बनाने के लिए आवश्यक MMF के अनुपात को चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता कहा जाता है।
• चुंबकत्व की तीव्रता (I): यह किसी पदार्थ के चुंबकत्व ग्रहण करने की कोटि है जब उस पदार्थ को चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है।
• इसे पदार्थ के प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल में ध्रुवीय सामर्थ्य या प्रति इकाई आयतन में प्रेरित द्विध्रुवीय आघूर्ण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

इसलिये,\(I = \frac{m}{A} = \frac{M}{V}\)

• यह एक सदिश राशि है,
• इसकी S.I. इकाई A/m है।

अवधारणा:

गॉस अपसरण प्रमेय:

• यह बताता है कि एक बंद सतह 'S' पर लिए गए सदिश फलन \(\vec F\) के लंबवत घटक का पृष्ठ समाकल, बंद सतह 'S' द्वारा संलग्न आयतन पर लिए गए उसी सदिश फलन \(\vec F\) के अपसरण के आयतन समाकल के बराबर है।
• गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(\Rightarrow \underset{S}{\mathop \iint }\,\vec{F}.\hat{n}ds=\iiint\limits_{V}{\nabla .\vec{F}dv}\)

स्पष्टीकरण:

• यह बताता है कि एक बंद सतह 'S' पर लिए गए सदिश फलन \(\vec F\) के लंबवत घटक का पृष्ठ समाकल, बंद सतह 'S' द्वारा संलग्न आयतन पर लिए गए उसी सदिश फलन \(\vec F\) के अपसरण के आयतन समाकल के बराबर है।

स्टोक्स प्रमेय:

• यह बताता है कि किसी भी बंद सतह C के चारों ओर स्थित एक सदिश \(\vec F\) का रेखा समाकल, एक खुली सतह 'S' पर सदिश \(\vec F\) के कर्ल के सामान्य घटक की पृष्ठ समाकल के बराबर है। ।

\(\underset{C}{\mathop \oint }\,\vec{F}.\overrightarrow{dr}=\underset{S}{\mathop \iint }\,curl~\vec{F}.\hat{n}ds\)

अवधारणा:

वक्र के किसी बिंदु पर प्रवणता को उस बिंदु की स्पर्शरेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\(Δ f(x,y,z)= \frac{\delta f(x,y,z)}{\delta x}+\frac{\delta f(x,y,z)}{\delta y}+\frac{\delta f(x,y,z)}{\delta z}\)

विश्लेषण:

दिया गया है कि y = 3x2 - 7x + 2

\(\frac{dy}{dx}= {\frac{d(3x^2 -7x + 2)}{dx}}|_{(1,-2)}\)

\(\frac{dy}{dx}= {6x -7}|_{(1,-2)}\)

y की प्रवणता = -1 

अत: विकल्प (4) सही है

• प्रवणता एक अदिश क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित एक सदिश है।
• प्रवणता एक सदिश संचालन है जो एक सदिश उत्पादित करने के लिए अदिश फलन पर संचालित होता है जिसका परिमाण प्रवणता की बिंदु पर फलन के परिवर्तन की अधिकतम दर होती है और जो परिवर्तन के उस अधिकतम दर में सांकेतिक होता है।
• अन्य शब्दों में इसे अदिश क्षेत्र के प्रवणता के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, यह एक सदिश है जो उस दिशा में सांकेतिक होता है जिसमें क्षेत्र सबसे अधिक तीव्रता से बढ़ता है, और जिसका अदिश भाग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।

आयताकार निर्देशांक में फलन f(x,y,z) की प्रवणता:

\(\nabla f=\left[ i\frac{\partial }{\partial x}+j\frac{\partial }{\partial y}+k\frac{\partial }{\partial z} \right]f\)

बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक में:

\(\nabla f=\left[ \frac{\partial }{\partial r}{{\hat{a}}_{r}}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }{{\hat{a}}_{\theta }}+\frac{\partial }{\partial z}{{\hat{a}}_{z}} \right]f\)

गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक में:

\(\nabla f=\left[ \frac{\partial }{\partial r}{{\hat{a}}_{r}}+\frac{1}{rsin\theta }\frac{\partial }{\partial \phi }{{\hat{a}}_{\phi }}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }{{\hat{a}}_{\theta }} \right]f\)

जहाँ \(\nabla f\)को 'f की प्रवणता' या ‘del f’ के रूप में जाना जाता है।

अवधारणा:

दो सदिशों का अदिश गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है: 

a.b = |a||b| cosθ 

गणना:

दिया गया है, |a| = 9 एवं |b| = 5\(\sqrt{2}\) और θ = 45°.

a.b = 9 × 5\(\sqrt{2}\) × cos 45° 

a.b = 45

Additional Informationदो सदिशों का अदिश गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है: 

a x b = |a||b| sinθ