फलन के परिवर्तन की अधिकतम स्थान दर को किस रूप में जाना जाता है जो रेखा फलन की बढ़ती दिशा है?

स्पष्टीकरण:

अदिश फलन की प्रवणता:

प्रवणता का परिमाण अदिश क्षेत्र के परिवर्तन की अधिकतम दर के बराबर है और इसकी दिशा अदिश फलन में सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा के साथ है।

माना कि ϕ, (x, y, z) का एक फलन है

फिर \(\left( ϕ \right)=\hat{i}\frac{\partial ϕ }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial ϕ }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial ϕ }{\partial z}\)

सदिश फलन का अपसरण:

एक बिंदु के चारों ओर एक आयतन तत्व से शुद्ध बाहरी अभिवाह उस बिंदु पर सदिश क्षेत्र के अपसरण का एक माप है।

फलन का विचलन \(\vec F = {F_1}\hat i + {F_2}\hat j + {F_3}\hat k\)

\( \nabla \cdot \vec F = \frac{{\partial {F_1}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {F_2}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {F_3}}}{{\partial z}}\)

गॉस अपसरण प्रमेय:

यह बताता है कि एक बंद सतह ‘S’ पर लिए गए सदिश फलन \(\vec F\) के लंब घटक का पृष्ठ समाकल एक बंद सतह ‘S’ द्वारा घेरे गए आयतन पर उस सदिश फलन \(\vec F\)

\(\underset{S}{\mathop \iint }\,\vec{F}.\hat{n}ds=\iiint\limits_{V}{\nabla .\vec{F}dv}\)

स्टोक्स प्रमेय:

• इसमें कहा गया है कि किसी भी बंद पृष्ठ C के चारों ओर एक सदिश क्षेत्र \(\vec F\) का रेखा समाकल एक खुली सतह 'S' पर सदिश \(\vec F\) के कर्ल के सामान्य घटक के पृष्ठ समाकल के बराबर होता है।

\(\underset{C}{\mathop \oint }\,\vec{F}.\overrightarrow{dr}=\underset{S}{\mathop \iint }\,curl~\vec{F}.\hat{n}ds\)

Important Points

अदिश फलन के कर्ल और अदिश फलन के अपसरण को परिभाषित नहीं किया जाता है।