Stability Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Stability Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा :

रुथ स्थिरता प्रणाली का उपयोग LTI प्रणाली की स्थिरता का परीक्षण करने के लिए किया जाता है। स्थिरता के लिए शर्तें हैं:

• यह आवश्यक और पर्याप्त है कि विशेषता समीकरण के रुथ सरणी के पहले स्तंभ का प्रत्येक पद प्रणाली के स्थिर होने के लिए धनात्मक होता है अर्थात प्रत्येक पंक्ति के पहले स्तंभ में कोई भी चिह्न परिवर्तन नहीं होना चाहिए।
• चिह्न-परिवर्तन की संख्या s-समतल के दाईं ओर मूलों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती है।
• यदि रुथ सरणी के किसी पंक्ति में पहला पद शून्य है जबकि शेष पंक्ति में कम से कम एक गैर-शून्य पद है। इस पद के कारण अगली पंक्ति में पद अनंत हो जायेगा।
• जब रुथ सरणी के किसी पंक्ति में सभी तत्व शून्य होते हैं। तो यह स्थिति दर्शाती है कि s - समतल में सममित/काल्पनिक मूल हैं।

अनुप्रयोग:

A(s) = s4 + 8s3 + 18s2 + 16s + 5 

रुथ सरणी बनते हुए हम प्राप्त करते हैं:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{s^4}}\\ {{s^3}}\\ {{s^2}}\\ {{s^1}}\\ {{s^0}} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 1&18&5\\ 8&16\\ 16&5&\\ { 216/16}&&\\ 5&& \end{array}\)

चूंकि रुथ सरणी के पहले स्तंभ में कोई चिह्न परिवर्तन नहीं हैं, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रणाली स्थिर है।

व्याख्या:

नियंत्रण प्रणालियों में स्थायित्व

परिभाषा: नियंत्रण प्रणालियों में, स्थायित्व किसी प्रणाली की अपनी स्थिति बनाए रखने या किसी विक्षोभ का अनुभव करने के बाद वांछित स्थिति में वापस आने की क्षमता को संदर्भित करता है। एक सीमित इनपुट के अधीन होने पर एक स्थिर प्रणाली समय के साथ असीमित आउटपुट प्रदर्शित नहीं करेगी। नियंत्रण प्रणालियों के उचित कामकाज के लिए स्थायित्व एक मौलिक आवश्यकता है।

ध्रुव और s-समतल: एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (LTI) नियंत्रण प्रणाली के स्थायित्व का विश्लेषण इसके स्थानांतरण फलन का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसे आमतौर पर लाप्लास रूपांतरण डोमेन में जटिल आवृत्ति (s) के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। स्थानांतरण फलन के ध्रुव s के वे मान हैं जो हर को शून्य बनाते हैं। जटिल s-समतल में इन ध्रुवों का स्थान प्रणाली के स्थायित्व को निर्धारित करता है।

स्थायित्व के लिए शर्तें:

• s-समतल के बाएँ आधे भाग में सभी ध्रुव: यदि किसी स्थानांतरण फलन के सभी ध्रुव s-समतल के बाएँ आधे भाग में स्थित हैं (अर्थात, उन सभी के ऋणात्मक वास्तविक भाग हैं), तो एक प्रणाली स्थिर होती है। यह सुनिश्चित करता है कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ क्षय हो जाएगी, जिससे एक सीमित आउटपुट प्राप्त होगा।
• s-समतल के दाएँ आधे भाग में ध्रुव: यदि कोई ध्रुव s-समतल के दाएँ आधे भाग में स्थित है (अर्थात, इसका एक धनात्मक वास्तविक भाग है), तो प्रणाली अस्थिर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस तरह के ध्रुव से जुड़ी प्रतिक्रिया समय के साथ तेजी से बढ़ेगी, जिससे एक असीमित आउटपुट प्राप्त होगा।
• काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव: यदि ध्रुव काल्पनिक अक्ष पर ठीक स्थित हैं (अर्थात, उनके वास्तविक भाग शून्य हैं), तो प्रणाली सीमांत रूप से स्थिर है। इस मामले में, प्रणाली निरंतर दोलन प्रदर्शित करेगी, और आउटपुट समय के साथ न तो बढ़ेगा और न ही घटेगा।

सही विकल्प विश्लेषण:

सही विकल्प है:

विकल्प 1: स्थायी

यदि सभी ध्रुव s-समतल के बाईं ओर स्थित हैं, तो प्रणाली स्थिर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ध्रुवों के ऋणात्मक वास्तविक भाग यह सुनिश्चित करते हैं कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ तेजी से घटेगी, जिससे एक सीमित आउटपुट प्राप्त होगा। स्थायित्व किसी भी नियंत्रण प्रणाली के लिए एक महत्वपूर्ण विशेषता है, क्योंकि यह पूर्वानुमेय और विश्वसनीय प्रदर्शन सुनिश्चित करता है।

अतिरिक्त जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 2: दोलनशील

यह विकल्प s-समतल के काल्पनिक अक्ष पर स्थित ध्रुवों वाली प्रणाली का वर्णन करता है। ऐसे मामले में, प्रणाली निरंतर दोलन प्रदर्शित करेगी, और आउटपुट समय के साथ न तो बढ़ेगा और न ही घटेगा। इस परिदृश्य को सीमांत स्थायित्व के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालाँकि, प्रणाली को सख्ती से स्थिर होने के लिए, सभी ध्रुवों को s-समतल के बाएँ आधे भाग में होना चाहिए।

विकल्प 3: अस्थिर

यह विकल्प s-समतल के दाएँ आधे भाग में एक या अधिक ध्रुवों वाली प्रणाली का वर्णन करता है। धनात्मक वास्तविक भाग वाले ध्रुव प्रणाली की प्रतिक्रिया को समय के साथ तेजी से बढ़ाते हैं, जिससे एक असीमित आउटपुट प्राप्त होता है। ऐसी प्रणाली को अस्थिर माना जाता है और यह अपनी स्थिति को विश्वसनीय रूप से बनाए नहीं रख सकती है।

विकल्प 4: सीमांत रूप से स्थायी

यह विकल्प तब लागू होता है जब प्रणाली में ध्रुव s-समतल के काल्पनिक अक्ष पर ठीक स्थित होते हैं। एक सीमांत रूप से स्थिर प्रणाली निरंतर दोलन प्रदर्शित करेगी, यह दर्शाता है कि आउटपुट समय के साथ न तो बढ़ेगा और न ही घटेगा। यह सख्ती से स्थिर नहीं है, क्योंकि आउटपुट स्थिर अवस्था में परिवर्तित नहीं होता है।

निष्कर्ष:

s-समतल में ध्रुवों के स्थान को समझना नियंत्रण प्रणालियों के स्थायित्व का विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण है। एक प्रणाली को स्थिर माना जाता है यदि इसके सभी ध्रुव s-समतल के बाएँ आधे भाग में स्थित हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ घटती है और सीमित रहती है। इसके विपरीत, s-समतल के दाएँ आधे भाग में ध्रुव अस्थिरता का संकेत देते हैं, जबकि काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव सीमांत स्थायित्व का परिणाम देते हैं। ध्रुव स्थानों का ठीक से विश्लेषण करने से नियंत्रण प्रणालियों को डिजाइन करने में मदद मिलती है जो उनके प्रदर्शन में विश्वसनीय और पूर्वानुमेय हैं।

अवधारणा:

• s-तल के दाहिने आधे भाग पर स्थित मूलों की संख्या = राउथ सरणी के प्रथम स्तंभ में चिह्न परिवर्तनों की संख्या।
• काल्पनिक अक्ष पर स्थित मूलों की संख्या = 2 × [एक पंक्ति के शून्य होने की संख्या]
• इसलिए, s-तल के बाएं आधे भाग पर स्थित मूलों की संख्या = कुल मूल - [दायां आधा भाग मूल - काल्पनिक अक्ष मूल]

गणना:

दिया गया है q(s) =s6 + 3s5 + 5s4 + 9s3 + 8s2 + 6s + 4 = 0

अतः कुल मूल = 6

राउथ हर्विट्ज़ मानदंड को लागू करते हुए,

सहायक समीकरण A = 2s4 + 6s2 +4

केवल चार मूल काल्पनिक अक्ष पर स्थित हैं।

लेकिन विभाजन से पता चलता है कि मूल बहुपद में चार विशुद्ध काल्पनिक मूल और दो वास्तविक ऋणात्मक मूल हैं। इसलिए, विकल्प 3 सही है।

आरएच मानदंड एक गणितीय उपकरण है जिसका उपयोग किसी रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) नियंत्रण प्रणाली की स्थिरता को उसके विशिष्ट समीकरण के आधार पर निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
इससे यह पता लगाने में मदद मिलती है कि क्या प्रणाली में जटिल s-तल के दाहिने आधे भाग में मूल (ध्रुव) हैं, जो अस्थिरता से जुड़े हैं।

चूँकि हम मानते हैं कि ∈ > 0
इसका तात्पर्य है कि -2-5 ∈ 2 /(2 ∈ +4) ऋणात्मक है
और चूंकि 2 चिह्न परिवर्तन हैं
इसलिए 2 ध्रुवों वाली प्रणाली अस्थिर है जो S-तल के RHS में स्थित है

राउत-हर्वित्ज मानदंड:

• राउत हर्वित्ज पद्धति का उपयोग करके, बंद लूप प्रणाली के ध्रुवों को हल करने की आवश्यकता के बिना स्थिरता की जानकारी प्राप्त की जा सकती है। यह उन ध्रुवों की संख्या निर्धारित करके प्राप्त किया जा सकता है जो आधे बाएं या आधे दाएं सतह में और काल्पनिक अक्ष पर हैं।
• इसमें इसकी स्थिरता को निर्धारित करने के लिए एक रैखिक प्रणाली की अभिलाक्षणिक बहुपद की मूलों की जांच करना शामिल है।
• इसका उपयोग किसी प्रणाली की पूर्ण स्थिरता को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

स्थिरता का निर्धारण करने के अन्य विधियाँ में शामिल हैं:

रूट लोकस:

• यह विधि अभिलाक्षणिक के मूलों की स्थिति देती है क्योंकि लाभ K परिवर्तित है।
• रूट लोकस (राउत-हर्विट्ज मानदंड के मामले के विपरीत) के साथ, हम दोनों का विश्लेषण कर सकते हैं (यानी, प्रत्येक लाभ मान के लिए हम जानते हैं कि बंद लूप ध्रुव कहां हैं) और डिजाइन (यानी, वक्र पर हम एक लाभ मान को प्राप्त सकते है जो वांछित बंद-लूप ध्रुवों में परिणाम करता है)।

नाइक्विस्ट प्लॉट:

• इस पद्धति का उपयोग मुख्य रूप से फीडबैक के साथ प्रणाली की स्थिरता का आकलन करने के लिए किया जाता है।
• जबकि नाइक्विस्ट एक आलेखी तकनीक है, यह केवल इस बात के लिए सीमित मात्रा में अंतर्ज्ञान प्रदान करती है कि कोई प्रणाली स्थिर या अस्थिर क्यों है, या स्थिर होने के लिए अस्थिर प्रणाली को कैसे संशोधित किया जाए।

बोड प्लॉट जैसी तकनीकें, जबकि कम सामान्य, कभी-कभी एक अधिक उपयोगी डिजाइन उपकरण होती हैं।

दिया गया है कि अभिलक्षणिक समीकरण है,

s3 + Ks2 + (K + 2)s + 3 = 0

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{s^3}}\\ {{s^2}}\\ {{s^1}}\\ {{s^0}} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\left( {K + 2} \right)}\\ k&3\\ {\frac{{K\left( {K + 2} \right) - 3}}{K}}&0\\ 3&{} \end{array}\)

प्रणाली के स्थिर होने के लिए,

K > 0, K (K + 2) - 3 > 0

⇒ K > 0, K2 + 2K - 3 > 0

⇒ K > 0, (K + 3) (K - 1) > 0

⇒ K > 0, K > -3, K > 1 ⇒ K > 1

अवधारणा:

दिए गए विवृत-पाश अंतरण फलन G(s) के लिए अभिलक्षणिक समीकरण निम्न है

1 + G(s) H(s) = 0

रूथ सारणीकरण विधि के अनुसार,

रूथसरणी के पहले स्तंभ में कोई संकेत परिवर्तन नहीं होने पर प्रणाली को स्थिर कहा जाता है

s तल के दाहिने अर्ध भाग पर स्थित ध्रुवों की संख्या = चिन्ह परिवर्तन की संख्या

गणना:

विशेषता समीकरण: \(1 + \frac{1}{{s\left( {2{s^4} + 3{s^3} + 2{s^2} + 3s + 2} \right)}} = 0\)

⇒ 2s⁵ + 3s⁴ + 2s³ + 3s² + 2s + 1 = 0

रूथ सारणीकरण विधि को लागू करने से,

\(\begin{array}{*{20}{c}} {{s^5}}\\ {{s^4}}\\ {{s^3}}\\ {{s^2}}\\ {{s^1}}\\ {{s^0}} \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2&2\\ 3&3&1\\ {0\left( \varepsilon \right)}&{\frac{4}{3}}&{}\\ {\left( {3 - \frac{4}{\varepsilon }} \right)}&1&{}\\ {\frac{4}{3}}&{}&{}\\ 1&{}&{} \end{array}} \right.\)

चूंकि ε बहुत छोटा मान है, (3 - 4/ε) एक ऋणात्मक मान है और इसलिए दो संकेत परिवर्तन हैं।

अत: दाएं अर्ध ध्रुवों की संख्या = 2

प्रणाली अस्थिर है।

संकल्पना:

दिए गए खुले-पाश स्थानांतरण फलन G(s) के लिए अभिलक्षणिक समीकरण निम्न है

1 + G(s) H(s) = 0

रॉथ सारणीकरण विधि के अनुसार,

रॉथ एरे के पहले स्तंभ में कोई संकेत परिवर्तन नहीं होने पर प्रणाली को स्थिर कहा जाता है

s तल के दाहिने आधे भाग पर स्थित ध्रुवों की संख्या = चिन्ह परिवर्तन की संख्या

गणना:

विशेषता समीकरण: s4 + 2ks3 + s2 + 5s + 5 = 0

रॉथ सारणीकरण विधि को लागू करके,

\(\begin{array}{*{20}{c}} {{s^4}}\\ {{s^3}}\\ {{s^2}}\\ {{s^1}}\\ {{s^0}} \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&5\\ {2k}&5&0\\ {1 - \frac{5}{{2k}}}&5&{}\\ {5 - \frac{{20{k^2}}}{{2k - 5}}}&0&{}\\ 5&{}&{} \end{array}} \right.\)

प्रणाली स्थिर होने के लिए, रॉथ टेबल के पहले स्तंभ में साइन परिवर्तन शून्य होना चाहिए।

k > 0, \(1 - \frac{5}{{2k}} > 0\)

⇒ k > 2.5

k > 2.5 के सभी मानों के लिए, \(5 - \frac{{20{k^2}}}{{2k - 5}}\) ऋणात्मक मान देता है।

इसलिए, दिया गया निकाय k के सभी मानों के लिए अस्थिर है।

संकल्पना:

दिए गए खुले-लूप स्थानांतरण फलन G(s) के लिए विशेषता समीकरण निम्न है

1 + G(s) H(s) = 0

RH मानदंड का प्रयोग करके बंद प्रणाली की स्थिरता ज्ञात करने के लिए हमें एक विशेषता समीकरण की आवश्यकता होती है। जबकि शेष सभी स्थिरता तकनीकों में हमें खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन की आवश्यकता होती है। 

CE के nवें कोटि का सामान्य रूप निम्न है 

a0 sn + a1 sn-1 + a2sn-2 + __________an-1 s1 + an

RH तालिका को नीचे दर्शाया गया है

आवश्यक स्थिति: विशेषता समीकरण के सभी गुणांकों को धनात्मक और वास्तविक होना चाहिए। 

स्थिरता के लिए पर्याप्त स्थिति:

1. पहले स्तंभ में सभी गुणांकों में समान चिन्ह होने चाहिए और कोई भी गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। 

2. यदि पहले स्तंभ में कोई चिन्ह परिवर्तित होता है, तो प्रणाली अस्थिर होती है। 

और परिवर्तित चिन्ह की संख्या = s - तल के दाएँ पक्ष में ध्रुवों की संख्या। 

गणना:

विशेषता समीकरण: s3 + Ks2 + 5s + 10 = 0

रूथ सारणीकरण विधि लागू करने पर,

\(\begin{array}{*{20}{c}} {{s^3}}\\ {{s^2}}\\ {{s^1}}\\ {{s^0}} \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5\\ K&{10}\\ {\frac{{5K - 10}}{K}}&0\\ {10}&{} \end{array}} \right.\)

प्रणाली को स्थिर बनाने के लिए रूथ तालिका के पहले स्तंभ में परिवर्तित चिन्हों को शून्य होना चाहिए।

5K – 10 > 0 और K > 0

स्थिरता:

प्रणाली (1):

• प्रणाली 1 की प्रतिक्रिया से हम यह देख सकते हैं कि यह विशिष्ट रूप से संतुलित है और BIBO संतुलित स्थिति का पालन करता है।
• और दी गयी प्रणाली के ध्रुव काल्पनिक हैं और s - तल के बाएँ पक्ष में है, इसलिए यह एक संतुलित प्रणाली है।

प्रणाली (2):

• प्रणाली की प्रतिक्रिया से हम यह देख सकते हैं कि प्रणाली की प्रतिक्रिया तब अनंत होती है जब 't' अनंत तक होता है। इसलिए हमें अस्थिर आउटपुट प्राप्त होता है, अतः प्रणाली असंतुलित है।
• केंद्र (एक से अधिक) पर ध्रुवों की पुनरावृत्ति प्रणाली को असंतुलित बनाती है।

प्रणाली (3):

• केंद्र या काल्पनिक अक्ष पर एकल ध्रुव प्रणाली को सीमांत रूप से संतुलित या केवल संतुलित बनाता है।

प्रणाली (4):

• उपरोक्त प्रणाली (4) की प्रतिक्रिया से हम यह देख सकते हैं कि प्रतिक्रिया में प्रमाणित दोलन है, इसलिए यह काल्पनिक अक्ष पर ध्रुवों के युग्म को दर्शाता है। 
• काल्पनिक अक्ष पर ध्रुवों का युग्म प्रणाली को सीमांत रूप से संतुलित या केवल संतुलित बनाता है।
• यदि काल्पनिक अक्ष पर ध्रुवों के एक युग्म की तुलना में अधिक युग्म होते हैं, तो प्रणाली असंतुलित होती है।

किसी रैखिक बंद-लूप प्रणाली की स्थिरता को s - तल में बंद-लूप ध्रुवों के स्थान से निर्धारित किया जा सकता है। 

संतुलित प्रणाली:

यदि अभिलाक्षणिक समीकरण के सभी मूल 's' तल के बाएँ आधे पर है, अर्थात् यदि सभी मूलों में ऋणात्मक वास्तविक भाग हैं, तो प्रणाली को संतुलित प्रणाली कहा जाता है। 

उदाहरण: बंद लूप स्थानांतरण फलन वाली प्रणाली निम्न है:

\(C.L.T.F.=\frac{1}{s+4}\)

इसमें s = - 4 पर ध्रुव है। ध्रुव में ऋणात्मक वास्तविक भाग है। यह प्रणाली को विशिष्ट रूप से समाकलनीय बनाती है और इस प्रकार प्रणाली संतुलित हो जाती है।

सीमांत रूप से संतुलित प्रणाली:

• एक रैखिक समय-भिन्न प्रणाली को क्रांतिक या सीमांत रूप से संतुलित तब कहा जाता है यदि परिबद्ध इनपुट के लिए इसका आउटपुट स्थिर आवृत्ति और आयाम के साथ दोलन करता है। 
• आउटपुट का ऐसा दोलन अन्देंप्त या निरंतर दोलन कहलाता है। ऐसी प्रणाली के लिए गैर-पुनरावृत्त मूलों का एक या एक से अधिक युग्म काल्पनिक अक्ष पर स्थित होते हैं। 

असंतुलित प्रणाली:

• यदि प्रणाली के कोई या सभी मूल 'S' तल के बाएँ आधे पर है, तो प्रणाली को असंतुलित प्रणाली कहा जाता है। 
• साथ ही, यदि काल्पनिक अक्ष पर शुद्ध रूप से स्थित पुनरावृत्तीय ध्रुव हैं, तो प्रणाली को असंतुलित कहा जाता है।

विभिन्न ध्रुव स्थितियों के लिए प्रणाली की स्थिरता निम्नानुसार है:

सूचना:

1: यदि किसी पंक्ति के सभी तत्व रॉथ हर्विट्ज़ सारणी में शून्य है, तो हम इसे शून्य (ROZ) की एक पंक्ति के रूप में लेते हैं, इस ROZ को हटाने के लिए हम उपरोक्त पंक्ति के अवकलज को ज्ञात करते हैं और इसके गुणांक को लिखते हैं।

2: यह दिया गया है कि ROZ केवल S के विषम घांत में होता है।

3: यदि किसी पंक्ति में पहला तत्व केवल शून्य है, तो उस स्थान में हम एक यदृच्छ स्थिरांक है जिसका मान शून्य तक है।

4: बीजगणितीय समीकरण की कोटि ध्रुवों की संख्या प्रदान करती है।

5: एक पंक्ति के पहले स्तंभ में चिन्ह परिवर्तनों की संख्या केंद्र या धनात्मक पक्ष के दाएँ पक्ष पर ध्रुवों की संख्या प्रदान करता है।

अब, दिए गए समीकरण के लिए रॉथ हर्विट्ज़ सारणी का निर्माण करने के लिए

इसलिए जैसा कि हम \(s^1\) पर देखते हैं, हमें ऋणात्मक अनंत प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि हमें पहले स्तंभ पर दो विशिष्ट परिवर्तन प्राप्त होते हैं, जिसका अर्थ है कि केंद्र के दाएँ पक्ष पर दो ध्रुव हैं।

या हमें धनात्मक पक्ष पर दो ध्रुव प्राप्त होते हैं।

संकल्पना:

• एक प्रणाली को इनपुट-आउटपुट स्थिर, या BIBO स्थिर तब कहा जाता है यदि स्थानांतरण फलन के ध्रुव सम्मिश्र तल के बाएँ पक्ष में होता है।
• एक प्रणाली को इनपुट-आउटपुट अस्थिर, या BIBO अस्थिर तब कहा जाता है यदि कम से कम स्थानांतरण फलन का एक ध्रुव सम्मिश्र तल के दाएँ पक्ष में होता है।
• एक प्रणाली को आंशिक रूप से स्थिर तब कहा जाता है यदि स्थानांतरण फलन का एक या एक से अधिक पृथक ध्रुव काल्पनिक अक्ष पर होता है, और किसी शेष ध्रुवों में ऋणात्मक वास्तविक भाग होते हैं।

स्थिरता के साथ ध्रुवों का स्थान और प्रणाली प्रतिक्रिया नीचे दी गई है:

जब भी ध्रुव s-तल के दाईं ओर जटिल संयुग्मित होते हैं तो प्रणाली में दोलनों की घातीय वृद्धि आवृत्ति होती है। प्रणाली अस्थिर है।

राउत-हर्वित्ज स्थिरता मानदंड:

• इसका प्रयोग LTI प्रणाली के स्थिरता की जाँच करने के लिए किया जाता है।
• राउत सारणीकरण विधि के अनुसार प्रणाली को तब संतुलित कहा जाता है यदि राउत सारणी के पहले स्तंभ में कोई चिन्ह परिवर्तित नहीं होता है।
• s तल के दाएँ पक्ष पर आने वाले ध्रुवों की संख्या = परिवर्तित चिन्ह की संख्या 
• यदि इसमें समान चिन्ह नहीं होते हैं या यहाँ एक चिन्ह परिवर्तन होता है, तो पहले स्तंभ में चिन्ह परिवर्तनों की संख्या s - तल के दाएँ पक्ष में विशेषता समीकरण के मूलों की संख्या के बराबर होती है अर्थात् धनात्मक वास्तविक भागों के साथ मूलों की संख्या के बराबर होती है। 

अनुप्रयोग:

F(s) = 6s + K

राउत सारणीकरण विधि को लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\begin{array}{*{20}{c}} {{}}{{}}{{}} {{s^1}}\\ {{s^0}} \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{}{}} {6}&{0}\\ {K}&0 \end{array}} \right.\)

प्रणाली स्थिर होगी जब

K > 0

राउत सारणी में शून्य की एक पंक्ति:

यह स्थिति तब होती है जब विशेषता समीकरण निम्न होते हैं

• विपरीत चिन्ह (±a) के साथ वास्तविक मूलों का एक युग्म
• काल्पनिक अक्ष (± jω) पर जटिल संयुग्म मूल
• विपरीत वास्तविक भागों (-a ± jb, a ± jb) के साथ जटिल संयुग्म मूलों का योग।