Shear Force MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Shear Force - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

L मीटर लंबाई वाली एक कैंटिलीवर बीम जिस पर M N-m/m तीव्रता का एकसमान आघूर्ण उसकी पूरी लंबाई में लगता है, संरचनात्मक यांत्रिकी में विश्लेषण करने के लिए एक रोचक मामला है। कैंटिलीवर बीम की लंबाई के साथ अपरूपण बल वितरण के बारे में सही कथन को समझने के लिए, हमें बीम सिद्धांत और आघूर्ण वितरण की मूल अवधारणाओं में तल्लीन करने की आवश्यकता है।

अपरूपण बल और आघूर्ण वितरण को समझना:

बीम सिद्धांत में, अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण दो महत्वपूर्ण पैरामीटर हैं जो बाहरी भार के अधीन एक बीम के भीतर आंतरिक बलों का वर्णन करते हैं। बीम के किसी भी भाग में अपरूपण बल बीम पर बाईं या दाईं ओर कार्य करने वाले सभी ऊर्ध्वाधर बलों का योग है। किसी भी भाग में बंकन आघूर्ण उस भाग के बारे में बाहरी भार के कारण आघूर्णों का योग है।

एकसमान आघूर्ण के अधीन एक कैंटिलीवर बीम के लिए, बीम की लंबाई के साथ आघूर्ण वितरण स्थिर होता है। एकसमान आघूर्ण का अर्थ है कि बीम की लंबाई के प्रत्येक बिंदु पर, M N-m/m तीव्रता का एक आघूर्ण कार्य कर रहा है।

अपरूपण बल गणना:

बीम में अपरूपण बल वितरण का निर्धारण करने के लिए, हमें बीम की संतुलन स्थितियों पर विचार करने की आवश्यकता है। एकसमान आघूर्ण के अधीन एक कैंटिलीवर बीम में, आघूर्ण पूरी लंबाई में स्थिर होता है। चूँकि आघूर्ण समान रूप से वितरित है, इसलिए कोई बिंदु भार या वितरित भार नहीं हैं जो बीम के साथ अपरूपण बल में परिवर्तन का कारण बनते हैं।

मुख्य बिंदु: ऊर्ध्वाधर भार के अभाव में, बीम में अपरूपण बल उसकी पूरी लंबाई में शून्य रहता है।

इसे बीम सिद्धांत में अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण के बीच विभेदक संबंधों पर विचार करके और स्पष्ट किया जा सकता है। अपरूपण बल (V) और बंकन आघूर्ण (M) निम्नलिखित विभेदक समीकरण से संबंधित हैं:

dM/dx = V

जहाँ:

• dM/dx बीम की लंबाई के संबंध में बंकन आघूर्ण के परिवर्तन की दर है।
• V किसी विशेष भाग में अपरूपण बल है।

चूँकि बंकन आघूर्ण 'M' बीम की लंबाई (एकसमान आघूर्ण) के साथ स्थिर है, इसलिए इसका परिवर्तन की दर dM/dx शून्य है। इसलिए, अपरूपण बल V बीम की पूरी लंबाई में शून्य होना चाहिए।

निष्कर्ष:

उपरोक्त विश्लेषण के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि M N-m/m तीव्रता का एकसमान आघूर्ण ले जाने वाली कैंटिलीवर बीम की पूरी लंबाई में अपरूपण बल शून्य है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

L लंबाई के एक सरल सहारा वाले बीम पर समान रूप से वितरित भार w लगाने पर, सहारा प्रतिक्रियाएँ हैं:

\( R_A = R_B = \frac{wL}{2} \)

\( x = L/4 \) पर अपरूपण बल:

\( V_{x=L/4} = R_A - \text{x तक UDL भार} \)

\( V_{x=L/4} = \frac{wL}{2} - \frac{wL}{4} \)

\( V_{x=L/4} = \frac{wL}{4} \)

स्पष्टीकरण:

संकेंद्रित आघूर्ण (दक्षिणावर्त) M समर्थित किरण के मध्य पर कार्य करता है जैसा कि प्रश्न में दिया गया है।

साइन कन्वेंशन मान लिया गया:

अपरूपण बल: +ve (बाएं से ऊपर की ओर) और इसके विपरीत

बंकन आघूर्ण: +ve (बाएं से दक्षिणावर्त) और इसके विपरीत

गणना:

स्थैतिक साम्यस्व्स्था के समीकरणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

\(\Sigma V_y =0 \)

V_A + V_B = 0 

और \(\Sigma M_z= 0\) B पर

\(V_A L +M = 0\)

∴ V_A = -M/L

और, VB = M/L

अब,

बाएं आलम्ब से L/4 पर अपरूपण बल (आलम्ब A) = V_A+ 0 = -M/L

गणना:

दिया गया है

B (V_B) पर अपरूपण बल = 3 kN (E तक नियत)

D (V_D) पर अपरूपण बल = 3 + 1 × 2 = 5 kN

C (V_C) पर अपरूपण बल = 5 + 2 = 7 kN (A तक नियत)

दिए गए प्रास धरन में अधिकतम अपरूपण बल 7 kN है। अतः विकल्प (3) सही है।

Concept:

Shear force at any section X-X is given by:

Cantilever beam:

F_x-x = wx

At x = 4 m (mid-point)

F_x-x = 12 kN

w × 4 = 12 kN

स्पष्टीकरण:

संकेंद्रित आघूर्ण (दक्षिणावर्त) M समर्थित किरण के मध्य पर कार्य करता है जैसा कि प्रश्न में दिया गया है।

साइन कन्वेंशन मान लिया गया:

अपरूपण बल: +ve (बाएं से ऊपर की ओर) और इसके विपरीत

बंकन आघूर्ण: +ve (बाएं से दक्षिणावर्त) और इसके विपरीत

गणना:

स्थैतिक साम्यस्व्स्था के समीकरणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

\(\Sigma V_y =0 \)

V_A + V_B = 0 

और \(\Sigma M_z= 0\) B पर

\(V_A L +M = 0\)

∴ V_A = -M/L

और, VB = M/L

अब,

बाएं आलम्ब से L/4 पर अपरूपण बल (आलम्ब A) = V_A+ 0 = -M/L

Concept:

The figure shows the simply supported beam with the point loads.

Total vertical force:

∑F_y = R_A + R_B = 20

Calculation:

From figure,

R_A = R_B = 10 N and C is the midpoint of the beam AB.

From SFD, at point "C", the magnitude of Shear force is zero.

स्पष्टीकरण:

∑F_y = 0

R_A + R_B = 0

साम्यावस्था पर विचार करें, ∑M_B = 0

तो, R_A × L + M = 0

R_A = -M/L

R_B = M/L

तो, अपरूपण बल पूर्ण खंड में समान है।

व्याख्या:

∑M = 0

⇒ RB × L = M

⇒ \({R_B} = \frac{M}{L}\)

∑Fy = 0 

⇒RA = RB \( = \frac{M}{L}\)

SED और BMD इस तरह कार्य करेंगे।

स्पष्टीकरण:

अपरुपण बल,बंकन आघूर्ण और भारण दर के बीच संबंध

• किसी भी खंड पर अपरूपण बल आरेख का ढलान उस खंड पर भार की तीव्रता के बराबर होगा।

\(\dfrac{{{\rm{dS}}}}{{{\rm{\;dx}}}} = {\rm{W}}\)

इस प्रकार कथन 2 सत्य है।

• भारित बीम के किसी भी खंड पर बंकन आघूर्ण आरेख का ढलान उस खंड पर अपरूपण बल की तीव्रता के बराबर होगा।

\(\dfrac{{{\rm{dM}}}}{{{\rm{\;dx}}}} = {\rm{S}}\)

इस प्रकार कथन 1 सत्य है।

वक्रता निम्न द्वारा दी जाती है

\(\dfrac{{\rm{M}}}{{{\rm{EI}}}} = \dfrac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{y}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{x}}^2}}} = \dfrac{1}{{\rm{R}}}\)

वक्रता का ढलान निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\dfrac{{{{\rm{d}}^3}{\rm{y}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{x}}^3}}} = \dfrac{d}{{dx}}\dfrac{{\rm{M}}}{{{\rm{EI}}}} = \dfrac{V}{{EI}}\)

इस प्रकार कथन 3 गलत है।

y विक्षेपण है।दूसरा व्युत्पन्न निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\dfrac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{y}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{x}}^2}}} = \dfrac{1}{{\rm{R}}}\)

मुक्त छोर पर एक बिंदु केंद्रित भार के साथ एक बाहुधारक बीम के लिए अपरूपण बल आरेख नीचे दिए गए आरेख में दर्शाया गया है।

चूँकि हम आरेख से देख सकते हैं कि लम्बाई के बावजूद अपरूपण बल समान अर्थात् W रहेगा।

स्पष्टीकरण:

अपरूपण बल आंतरिक अनुप्रस्थ बल है जिसे मुक्त निकाय की साम्यावस्था को खंड  के बाएं भाग या दाएं भाग में बनाए रखने के लिए विकसित किया जाता है।

अपरूपण बल के लिए चिह्न प्रथा

खण्ड या दक्षिणावर्त अपरूपण के बाईं ओर ऊपरी दिशा में अपरूपण बल धनात्मक रूप में लिया जाता है।

खण्ड या वामावर्त अपरूपण के दाईं ओर नीचे की दिशा में अपरूपण बल ऋणात्मक रूप में लिया जाता है।

वर्णन:

बंकन आघूर्ण आरेख बीम की लम्बाई के साथ बंकन आघूर्ण की भिन्नता को दर्शाता है।

प्राधार संकोच के बिंदु को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ बंकन आघूर्ण धनात्मक से ऋणात्मक और इसके विपरीत तक अपने चिन्ह को परिवर्तित करता है।

बंकन आघूर्ण आरेख में तत्काल परिवर्तन अर्थात् धनात्मक से ऋणात्मक तक तब होता है जब एक बिंदु पर कार्यरत एक केंद्रित आघूर्ण होता है।

उसीप्रकार, यदि एकसमान रूप से वितरित भार बीम पर कार्यरत होता है, तो BMD परवलयिक (2°) हो जाता है।

यदि बराबर और विपरीत आघूर्ण समर्थन पर कार्य करते हैं, तो BMD आयत बन जाता है।

व्याख्या:

∑Fx = 0

RA + RB = 50 kN

आघूर्ण A को शून्य के बराबर लेने पर,

RB × 5 = 50 × 3

∴ RB = 30 kN & RA = 20 kN

नोट: साधारण बीम के लिए शॉर्टकट विधि जैसा कि प्रश्न में दिया गया है

प्रतिक्रिया = भार × विपरीत दूरी / कुल दूरी

RA = 50 × 2/5 = 20 kN

RB = 50 × 3/5 = 30 kN