Principal Values MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Principal Values - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

• मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: सभी वास्तविक x के लिए sin²x + cos²x = 1 सत्य है।
• sin²x + cos²x = 1 + sin2x की तुलना करने पर 1 = 1 + sin2x ⇒ sin2x = 0।
• tanθ मान: tan15° = 2 - √3, tan75° = 2 + √3, tan45° = 1
• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: सभी x ∈ [-1, 1] के लिए sin^-1x + cos^-1x = π/2
• tanx = √3 ⇒ x = π/3 + nπ. हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए अंतराल में गणना करें।

गणना:

दिया गया है, [0, 2π] में sin²x + cos²x = 1 + sin2x

⇒ sin²x + cos²x = 1

⇒ 1 = 1 + sin2x

⇒ sin2x = 0

⇒ 2x = nπ

⇒ x = nπ/2

⇒ x ∈ [0, 2π]

⇒ x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π

⇒ कुल 5 मान

⇒ इन पर sin2x = 0 जांचें

⇒ सभी 5 के लिए मान्य

⇒ LHS = 1, RHS = 1 + 0 = 1

⇒ समीकरण मान्य है

⇒ लेकिन sin²x + cos²x = 1 हमेशा, इसलिए केवल तभी मान्य जब sin2x = 0

⇒ इसलिए हलों की संख्या = 5

⇒ लेकिन LHS = RHS से विरोधाभास के कारण, वास्तविक मान्य हल वे हैं जहाँ केवल sin2x = 0

⇒ इस प्रकार, a → P = 2 हल

अब, tan15° + tan75° - tan45°

(2 - √3) + (2 + √3) - 1

4 - 1 = 3

⇒ b → Q

[0, 3π] में tanx = √3

⇒ tanx = √3

⇒ x = π/3 + nπ

⇒ सामान्य हल: x = π/3, 4π/3, 7π/3

⇒ सभी ≤ 3π

⇒ c → R = 3 हल

इसके अलावा, cos^-1(x) + sin^-1(x) = π/2

⇒ सभी x ∈ [-1, 1] के लिए सर्वसमिका सत्य है

⇒ अनंत मान

⇒ d → S

इसलिए, सही मिलान:
(a) → P
(b) → Q
(c) → R
(d) → S
इसलिए, सही विकल्प (B) है।

व्याख्या:

यदि sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x, θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए,

cot (cot^-1 x) =x, x ∈ R के लिए,

हमें प्राप्त है, 

माना = θ

⇒ cosθ = 7/25

⇒ sinθ = 24/25

⇒ cotθ = 7/24

∴  

= cotθ 

= 7/24

व्याख्या:

यदि sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x,  θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए,

sin (sin^-1 x) =x, -π/2 ≤ x ≤ π/2  के लिए

हमारे पास है, 

= sin^-1(sin( ))  ----- चूँकि   ∈ [, ]

∴ sin-1(sin( )) = 

Additional Informationव्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का मुख्य मान:

गणना

16(sec⁻¹ x)² + (cosec⁻¹ x)²

=

योग = 22π²

अतः विकल्प 4 सही है। 

गणना

दिया गया है,

tan^-1x + tan^-1 2x = ; x > 0

⇒ tan-1 2x = - tan-1x

दोनों पक्षों में tan लेने पर

⇒ 2x =

⇒ 2x² + 3x - 1 = 0

⇒ x =

एकमात्र संभव मान, x =

इसलिए विकल्प (2) सही है। 

दिया गया है:

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय समीकरण के मुख्य समाधान वे समाधान होते हैं जो 0 और 2π के बीच होते हैं।

सूत्र:

tan(x) = tan(α) का सामान्य हल इस प्रकार दिया गया है;

x = nπ + α जहां α ∈ (-π/2 , π/2) और n ∈ Z है

गणना:

∵

⇒ tan(x) = tan(-π/6)

∴ α = -π/6

⇒ x = nπ + (-π/6) , n ∈ Z

n = 1 और 2 रखने पर हमें प्राप्त होता है -

x = 5π/6 और 11π/6

संकल्पना:

sin-1 (sin x) = x

गणना:

संकल्पना:

sin (π - θ) = sin θ 

, x ∈ []

गणना:

                       (∵ sin (π - θ) = sin θ)

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:​ 

यदि  है, तो sin-1 (sin θ ) = θ है। 

गणना:

हमारे पास θ = 9 रेडियन है, जो  और के बीच में नहीं है। लेकिन 3π - θ अर्थात् 3π - 9,  और  के बीच में है।  

साथ ही, sin (3π - 9) = sin 9

∴  sin^-1 (sin 9) = sin^-1 ( sin (3π - 9) ) = 3π - 9

सही विकल्प 4 है। 

Alternate Method 

Referring to the graph of the given periodic function,

For x = 9 ϵ [2.5π  3π]

⇒ sin-1 (sin x) = - (x -3π) =  3π - x 

⇒ sin-1 (sin 9) = - (9 -3π) =   3π - 9

संकल्पना:

त्रिकोणमिति सर्वसमिका:

व्युत्क्रम त्रिकोणमिति फलन के प्रमुख मान:

ऋणात्मक तर्क के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमिति फलन:

गणना:

उपरोक्त संकल्पना का प्रयोग करने पर, हम निम्न रूप में दिए गए समीकरण का प्रमुख मान ज्ञात कर सकते हैं:

.

वर्णन:

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रमुख मान:

दिया गया है: x∈ [-π/2, π/2] 

sin-1 (sin x) = x

संकल्पना:

cos (-θ) = cos θ 

गणना:

x = 

x = 

x = 

∵ प्रमुख मान ∈  हो सकता है। 

∴ x = 0

अवधारणा:

गणना: 

जैसा कि हम जानते हैं sin-1 (-x) = - sin-1 x

तो 

माना कि  = θ 

⇒ sin θ =  = sin 45° 

∴ θ = 45° 

इसलिए  = -θ = -45°

अवधारणा:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के मुख्य मान:

गणना:

मान कि sin-1 2x = y

⇒ 2x = sin y

हम जानते हैं कि, साइन फलन का अधिकतम और न्यूनतम मान -1 से 1 के बीच होता है

⇒ -1 ≤ sin y ≤ 1

⇒ -1 ≤ 2x ≤ 1

उपरोक्त असमिका के लिए sin-1 लागू करें

⇒ sin-1 (-1) ≤ sin-1 2x ≤ sin-1 (1)

⇒ (-π /2) ≤ sin-1 2x ≤ (π /2)

इसलिए, sin-1 2x का मुख्य मान अंतराल  में है

व्याख्या:

यदि sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x, θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए,

cot (cot^-1 x) =x, x ∈ R के लिए,

हमें प्राप्त है, 

माना = θ

⇒ cosθ = 7/25

⇒ sinθ = 24/25

⇒ cotθ = 7/24

∴  

= cotθ 

= 7/24