Principal Values MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Principal Values - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

• মূল মান: একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান যা তার প্রধান মানের শাখায় থাকে তাকে সেই বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল মান বলে।
• tan^-1 এর মূল মানের শাখার পরিসীমা হল
• sec-1 এর মূল মানের শাখার পরিসীমা হল \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)
• tan-1(- x) = - tan-1x

গণনা:

ধরি, tan-1(-√3)= - tan-1(√3),

তাহলে, tan y = -√3

আমরা জানি যে tan^-1 এর মূল মানের শাখার পরিসীমা হল \(\big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)\)

এবং \(tan (\frac{\pi}{3}) = \sqrt3\)

∴ tan-1(√3) এর মূল মান হল \(-\frac{\pi}{3}\) .......(1)

পরবর্তী,

ধরি, x = sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)),

তাহলে, sec x = \(\frac{2}{\sqrt3}\)

আমরা জানি যে sec-1 এর মূল মানের শাখার পরিসীমা হল \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)

এবং.

∴ sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)) এর মূল মান হল \(\frac{\pi}{3}\) .......(2)

(1) এবং (2) কে যোগ করার পর, আমাদের আছে আছে

\(tan^{-1}(-\sqrt3) + 2 sec^{-1}(\frac{2}{\sqrt 3})= -\frac{\pi}{3}+2\times\frac{\pi}{6}\)​​

​​​​​

\([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)​

∴ ​

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2)।

ধারণা:

cos (-θ) = cos θ 

\(\cos\left({\pi\over2}\right) = 0\)

গণনা:

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left(-{\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left({\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[0\right]\)

∵ মূল মানটি হতে পারে ∈ \(\left[-{\pi\over2},{\pi\over2}\right]\)

∴ x = 0

ধারণা:

sin (π - θ) = sin θ

\({\sin ^{ - 1}}(sinx)= x\) , x ∈ [ \(\rm \frac {-\pi}{2},\rm \frac {\pi}{2}\) ]

গণনা:

\(\rm {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{3\pi }}{5})\)

\(\rm = {\sin ^{ - 1}}[sin \rm (\pi - \frac{{2\pi }}{5})]\)

\(= {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{2\pi }}{5})\) (∵ sin (π - θ) = sin θ)

\(= \frac{{2\pi }}{5}\)

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

sin (π - θ) = sin θ

\({\sin ^{ - 1}}(sinx)= x\) , x ∈ [ \(\rm \frac {-\pi}{2},\rm \frac {\pi}{2}\) ]

গণনা:

\(\rm {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{3\pi }}{5})\)

\(\rm = {\sin ^{ - 1}}[sin \rm (\pi - \frac{{2\pi }}{5})]\)

\(= {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{2\pi }}{5})\) (∵ sin (π - θ) = sin θ)

\(= \frac{{2\pi }}{5}\)

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

cos (-θ) = cos θ 

\(\cos\left({\pi\over2}\right) = 0\)

গণনা:

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left(-{\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left({\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[0\right]\)

∵ মূল মানটি হতে পারে ∈ \(\left[-{\pi\over2},{\pi\over2}\right]\)

∴ x = 0

ধারণা:

sin (π - θ) = sin θ

\({\sin ^{ - 1}}(sinx)= x\) , x ∈ [ \(\rm \frac {-\pi}{2},\rm \frac {\pi}{2}\) ]

গণনা:

\(\rm {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{3\pi }}{5})\)

\(\rm = {\sin ^{ - 1}}[sin \rm (\pi - \frac{{2\pi }}{5})]\)

\(= {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{2\pi }}{5})\) (∵ sin (π - θ) = sin θ)

\(= \frac{{2\pi }}{5}\)

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

cos (-θ) = cos θ 

\(\cos\left({\pi\over2}\right) = 0\)

গণনা:

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left(-{\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left({\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[0\right]\)

∵ মূল মানটি হতে পারে ∈ \(\left[-{\pi\over2},{\pi\over2}\right]\)

∴ x = 0

ধারণা:

• মূল মান: একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান যা তার প্রধান মানের শাখায় থাকে তাকে সেই বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল মান বলে।
• tan^-1 এর মূল মানের শাখার পরিসীমা হল
• sec-1 এর মূল মানের শাখার পরিসীমা হল \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)
• tan-1(- x) = - tan-1x

গণনা:

ধরি, tan-1(-√3)= - tan-1(√3),

তাহলে, tan y = -√3

আমরা জানি যে tan^-1 এর মূল মানের শাখার পরিসীমা হল \(\big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)\)

এবং \(tan (\frac{\pi}{3}) = \sqrt3\)

∴ tan-1(√3) এর মূল মান হল \(-\frac{\pi}{3}\) .......(1)

পরবর্তী,

ধরি, x = sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)),

তাহলে, sec x = \(\frac{2}{\sqrt3}\)

আমরা জানি যে sec-1 এর মূল মানের শাখার পরিসীমা হল \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)

এবং.

∴ sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)) এর মূল মান হল \(\frac{\pi}{3}\) .......(2)

(1) এবং (2) কে যোগ করার পর, আমাদের আছে আছে

\(tan^{-1}(-\sqrt3) + 2 sec^{-1}(\frac{2}{\sqrt 3})= -\frac{\pi}{3}+2\times\frac{\pi}{6}\)​​

​​​​​

\([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)​

∴ ​

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2)।