Measures of Central Tendency MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Measures of Central Tendency - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\overline x = \frac{x_1+x_2+x_3+......... x_n}{n}\)

⇒ \(x_1+x_2+X_3+......x_n= n\overline x \)

⇒ जब x_n को k से प्रतिस्थापित किया जाता है तब माध्य

⇒ नया माध्य = \(\frac{x_1+x_2+x_3+......... x_{n-1}+k}{n}\)

= \(\frac{n\overline x -x_n+k}{n}\)

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

माध्य = \(\frac{1+ 4+ 9 ... n^2}{n}\)

⇒ 130 = \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}\)

⇒ 780 = 2n² + 3n + 1

⇒ 2n² + 3n - 779 =0

⇒ 2n² + 41n - 38n - 779 = 0

⇒ n(2n + 41) - 19(2n + 41) = 0

⇒ (2n + 41) (n - 19) = 0

⇒ n = 19 ..... ( n = \(-\frac{41}{2}\) संभव नहीं है)

∴ विकल्प (b) सही है।

गणना

\(\text { medain }=\ell+\left(\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{F}}{\mathrm{f}}\right) \times \mathrm{h}\)

⇒ \(12+\left(\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-18}{12}\right) \times 6=14\)

⇒ \(\left(\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-18}{12}\right) \times 6=2\)

⇒ \(\frac{\mathrm{N}}{2}-18=4 \Rightarrow \mathrm{~N}=44\)

अतः विकल्प 2 सही है। 

सही उत्तर [(n + 1)/2)वाँ मान है।Key Points

• विविक्त सम श्रेणी का माध्यक
  • माध्यक वह मध्य मान है जो डेटा सेट के उच्च आधे भाग को निचले आधे भाग से अलग करता है।
  • एक विविक्त सम श्रेणी में, माध्यक की गणना सूत्र [(n + 1)/2)वाँ मान का उपयोग करके की जाती है, जहाँ 'n' श्रेणी में प्रेक्षणों की संख्या है।
  • यह सूत्र एक क्रमबद्ध डेटा सेट में माध्यक की स्थिति की पहचान करने में मदद करता है।
  • यदि प्रेक्षणों की संख्या सम है, तो माध्यक (n/2)वें और [(n/2) + 1]वें स्थानों पर मानों का औसत होता है।

Additional Information

• अन्य विकल्प
  • n/2वाँ मान
    • यह सही नहीं है क्योंकि यह एक क्रमबद्ध श्रेणी में माध्यक की स्थिति के पूर्णांक भाग को ध्यान में नहीं रखता है।
  • 5वाँ मान
    • यह आम तौर पर लागू नहीं होता है क्योंकि यह माध्यक की गणना के लिए एक सूत्र के बजाय एक विशिष्ट स्थिति को संदर्भित करता है।
  • [(n + 1) /4]वाँ मान
    • यह गलत है क्योंकि यह डेटा सेट के मध्य मान का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

गणना

\(\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}{n}-(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})^{2}\)

⇒ \(\frac{a_{1}^{2}+(a_{1}+r)^{2}+...+(a_{1}+(n-1)r)^{2}}{n}-\left(\frac{na_{1}+r\frac{n(n-1)}{2}}{n}\right)^{2}\)

⇒ \(\frac{na_{1}^{2}+r^{2}\cdot\frac{(n-1)\cdot n(2n-1)}{6}+a_{1}r(n-1)\cdot n}{n}-a_{1}^{2}-a_{1}r(n-1)-\frac{r^{2}(n-1)^{2}}{4}\)

⇒ \(\frac{na_{1}^{2}+r^{2}\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{6}+a_{1}r(n-1)\cdot n}{n}-a_{1}^{2}-a_{1}r(n-1)-\frac{r^{2}(n-1)^{2}}{4}\)

⇒ \(\frac{r^{2}(n-1)}{2}\cdot(\frac{2n-1}{3}-\frac{n-1}{2})\)

⇒ \(\frac{r^{2}(n-1)}{2}\cdot(\frac{4n-2-3n+3}{6})\)

⇒ \(\frac{r^{2}(n-1)(n+1)}{12}\)

⇒ \(\frac{r^{2}(n^{2}-1)}{12}\)

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

दिया गया है:

दिया गया आंकड़ा 5, 10, 3, 6, 4, 8, 9, 3, 15, 2, 9, 4, 19, 11, 4 है

प्रयुक्त अवधारणा:

बहुलक वह मान है जो किसी आंकड़े में सबसे अधिक बार आता है

माध्यक ज्ञात करने के समय

सबसे पहले, दिए गए आंकड़ें को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिये और फिर पद ज्ञात कीजिये

प्रयुक्त सूत्र:

माध्य = सभी पदों का योग/पदों की कुल संख्या

माध्यक = {(n + 1)/2}^वां पद जब n विषम होगा

माध्यक = 1/2[(n/2)वां पद + {(n/2) + 1}वां] पद जब n सम होगा

परास = अधिकतम मान – न्यूनतम मान

गणना:

दिए गए आंकड़ें को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 11, 15, 19

यहाँ, अधिकतर आने वाला आंकड़ा 4 है तो

बहुलक = 4

दिए गए आंकड़ें में कुल पद, (n) = 15 (यह विषम है)

माध्यक = {(n + 1)/2}वां पद जब n विषम है

⇒ {(15 + 1)/2}वां पद

⇒ (8)वां पद

⇒ 6 

अब, परास = अधिकतम मान – न्यूनतम मान

⇒ 19 – 2 = 17

परास, बहुलक और माध्यक का माध्य = (परास + बहुलक + माध्यक)/3

⇒ (17 + 4 + 6)/3 

⇒ 27/3 = 9

∴ परास, बहुलक और माध्यक का माध्य 9 है।

प्रयुक्त सूत्र:

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निम्न द्वारा दिया गया है,

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

जहां, \(u_i \ = \ \frac{X_i\ -\ a}{h}\)

Xi = वर्ग i का माध्य

fi = वर्ग i के अनुरूप बारंबारता

दिया गया है:

गणना:

अब, नीचे, आंकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए ∑fiXi और ∑fi को ज्ञात करना,

तब,

हम जानते हैं कि वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य है

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

= \(\frac{1535}{43}\)

= 35.7

अतः, वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य 35.7 है। 

संकल्पना:

माध्य: आंकड़ों के समूह का माध्य या औसत आंकड़ों के समूह में सभी संख्याओं को जोड़कर और फिर समूह में मानों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

बहुलक: बहुलक वह मान है जो आंकड़ों के समूह में सबसे अधिक बार आता है।

माध्यिका: माध्यिका एक संख्यात्मक मान है जो एक समूह के ऊपरी आधे हिस्से को निचले आधे हिस्से से अलग करता है।

माध्य, बहुलक और माध्यिका के बीच संबंध:

बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)

गणना:

दिया है कि,

आंकड़ों का माध्य = 4 और आंकड़ों का बहुलक = 10

हम जानते हैं कि,

बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)

⇒ 10 = 3(माध्यिका) - 2(4)

⇒ 3(माध्यिका) = 18

⇒ माध्यिका = 6

अतः, आंकड़ों की माध्यिका 6 होगी।

संकल्पना:

माध्यिका: माध्यिका संख्याओं के वर्गीकृत-आरोही या अवरोही सूची में मध्य संख्या होती है। 

स्थिति 1: यदि अवलोकनों (n) की संख्या सम होती है। 

\({\rm{Median\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{value\;of\;}}{{\left( {\frac{{\rm{n}}}{2}} \right)}^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation\;}} + {\rm{\;\;value\;of\;}}{{\left( {\frac{{\rm{n}}}{2}{\rm{\;}} + 1} \right)}^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation}}}}{2}\)

स्थिति 2: यदि अवलोकनों की संख्या (n) विषम होती है। \({\rm{Median\;}} = {\rm{value\;of\;}}{\left( {\frac{{{\rm{n}} + 1}}{2}} \right)^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation}}\)

गणना:

दिया गया मान 2, 6, 6, 8, 4, 2, 7, 9 

आरोही क्रम में अवलोकनों को व्यवस्थित करने पर:

2, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 9

यहाँ, n = 8 = सम 

चूँकि हम जानते हैं, यदि n सम है तो,

\({\rm{Median\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{value\;of\;}}{{\left( {\frac{{\rm{n}}}{2}} \right)}^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation\;}} + {\rm{\;\;value\;of\;}}{{\left( {\frac{{\rm{n}}}{2}{\rm{\;}} + 1} \right)}^{{\rm{th}}}}{\rm{\;observation}}}}{2}\)

= \(\rm \frac{4^{th} \;\text{observation}+5^{th} \;\text{observation}}{2} \)

= \(\frac{6+6}{2} =6\)

अतः माध्यक = 6

संकल्पना:

• \({\rm{Mean}} = \frac{{\sum {\rm{xf}}}}{{\sum {\rm{f}}}}\)

गणना:

हम जानते हैं कि, \({\rm{Mean}} = \frac{{\sum {\rm{xf}}}}{{\sum {\rm{f}}}}\)

\(\therefore {\rm{Mean}} = \frac{{800}}{{24}} = 33.3\)

संकल्पना:

मोड वह मान होता है जो अधिकांश मानों के आकड़ों के समूह में होता है।

गणना:

दिए गए आकड़ों के मान 3, 8, 6, 7, 1, 6, 10, 6, 7, 2k + 5, 9, 7, और 13 हैं।

उपरोक्त आकड़े के समूह में मान 6, 7 सबसे अधिक बार अर्थात् 3 बार आते हैं।

लेकिन दिया गया है कि मोड 7 है।

इसलिए, 7 को  6 से अधिक बार आना चाहिए।
अतः चर 2k + 5, 7 होना चाहिए।

⇒ 2k + 5 = 7

⇒ 2k = 2

धारणा:

250 और 300 के बीच प्रेक्षणों की संख्या का पता लगाने के लिए।

पहले हमें इस डेटा से एक आवृत्ति वितरण तालिका तैयार करनी होगी.

∴ 250-300 के बीच प्रेक्षणों की संख्या = 38 - 15 = 23

प्रयुक्त सूत्र:

यदि दिए गए प्रेक्षणों की कुल संख्या विषम है, तो माध्यिका ज्ञात करने के लिए सूत्र निम्न प्रकार है:

माध्यिका = {(n+1)/2}वां पद

यदि दिए गए प्रेक्षणों की कुल संख्या सम है, तो माध्यिका सूत्र निम्न प्रकार है:

माध्यिका  = [(n/2)वां पद + {(n/2)+1}वां पद]/2

जहाँ n प्रेक्षणों की संख्या है।

बहुलक:

बहुलक वह मान जो आंकड़ों के समूह में सबसे अधिक बार आता है।

दिया गया है:

गणना:

चूँकि x = 14 की बारंबारता 9 है, जो सबसे अधिक है।

इसलिए, बहुलक = 14

बारंबारता बंटन के लिए,

तो, अवलोकन की कुल संख्या = (1 + 4 + 7 + 5 + 9 + 3) = 29

तो, 29 विषम संख्या है, विषम संख्या के लिए, माध्यिका सूत्र निम्न है,

\(Median=\frac{n+1}{2}\)

\(Median=\frac{29+1}{2}=15\)

⇒ माध्यिका = 15^वां पद

⇒ 15^वें पद की बारंबारता

तालिका के अनुसार, 15^वें का मान x = 13 पर है

अतः, माध्यिका = 13

संकल्पना:

माना कि ‘n’ अवलोकन {\({\rm{\;}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}},{{\rm{x}}_{{\rm{2\;}}}},{{\rm{x}}_{{\rm{3\;}}}}, \ldots ,{{\rm{x}}_{{\rm{n\;}}}}\)} हैं। 

माध्य \(\left( {{\rm{\bar x}}} \right) = \frac{{{\rm{\;}}({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_{2{\rm{\;}}}} + {{\rm{x}}_{3{\rm{\;}}}} + \ldots + {{\rm{x}}_{{\rm{n\;}}}})}}{{\rm{n}}}\) \( = {\rm{\;}}\frac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{n}} {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{n}}}\)

पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग = \(\rm \frac{n(n+1)}{2}\)

गणना:

ज्ञात करना है: पहले 99 प्राकृतिक संख्या का माध्य

चूँकि हम जानते हैं, पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग = \(\rm \frac{n(n+1)}{2}\)

अब, माध्य = \(\rm \dfrac { \frac{99(99+1)}{2}}{99}\)

= \(\rm \frac{(99+1)}{2}=50\)

संकल्पना:

'n' अवलोकनों का माध्य = अवलोकनों का योग / n

गणना:

यहाँ n = 3 है। माना कि तीसरी संख्या x है। 

∴ \(\rm 16=\dfrac{x+8+10}{3}\)

⇒ x + 18 = 48

⇒ x = 30