Correlation and Regression MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Correlation and Regression - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

x पर y की समाश्रयण रेखा

⇒x - 3y + 4 = 0

⇒x = 3y - 4

⇒ b_xy = 3

x पर y की समाश्रयण रेखा

⇒ 2x - 7y+8 = 0

⇒ y =\(\frac{2}{7}x + \frac{8}{7}\)

⇒ b_yx = 2/7

अब

⇒ b _xy + 7b _yx = 3 + 7 x 2 /7 = 5

∴ विकल्प (d) सही है

सही उत्तर है - 0 (शून्य)Key Points

• समकोण पर प्रतीपगमन रेखाएँ
  • जब दो प्रतीपगमन रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके बीच का कोण 90 डिग्री होता है।
  • यह केवल तभी होता है जब सहसंबंध गुणांक (r) शून्य हो।
• सहसंबंध गुणांक
  • सहसंबंध गुणांक (r) दो चरों के बीच एक रैखिक संबंध की शक्ति और दिशा को मापता है।
  • यदि r शून्य है, तो यह चरों के बीच कोई रैखिक संबंध नहीं दर्शाता है।

Additional Information

• प्रतीपगमन रेखाओं के गुण
  • प्रतीपगमन रेखाओं का उपयोग दो चरों के बीच संबंध का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
  • Y पर X की प्रतीपगमन रेखा Y = a + bX द्वारा दी गई है।
  • X on Y की प्रतीपगमन रेखा X = a' + b'Y द्वारा दी गई है।
  • यदि ये रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनके ढलानों का गुणनफल -1 है।
• सहसंबंध गुणांक की व्याख्या
  • +1 का सहसंबंध गुणांक एक पूर्ण धनात्मक रैखिक संबंध को इंगित करता है।
  • -1 का सहसंबंध गुणांक एक पूर्ण ऋणात्मक रैखिक संबंध को इंगित करता है।
  • 0 का सहसंबंध गुणांक कोई रैखिक संबंध नहीं दर्शाता है।
  • 0 और ±1 के बीच के मान रैखिक संबंध शक्ति की अलग-अलग डिग्री को इंगित करते हैं।

\( \Rightarrow \text{Cor}(X,Y)=\dfrac{1}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{4}}=\dfrac{1}{2} \)

सही उत्तर 0.3 है।

Key Points

• 2X और 3Y के बीच सहसंबंध गुणांक भी 0.3 है।
• जब किसी चर को किसी स्थिरांक से गुणा किया जाता है, जैसे कि X को 2 से गुणा करना और Y को 3 से गुणा करना, तो यह दो चर के बीच सहसंबंध गुणांक को प्रभावित नहीं करता है। सहसंबंध गुणांक पैमाने या मूल के परिवर्तन से प्रभावित नहीं होता है।
• सहसंबंध गुणांक दो चर के बीच रैखिक संबंध की घात और दिशा को मापता है और चर को स्थिरांक से मापने या गुणा करने से वह संबंध नहीं बदलता है।

इसलिए यदि X और Y के बीच सहसंबंध 0.3 है, तो 2X और 3Y के बीच सहसंबंध गुणांक अभी भी 0.3 होगा।

व्याख्या

Y पर प्रत्यागम गुणांक X = b_xy

⇒ ∑xy/∑y²

X पर प्रत्यागम गुणांक Y = b_yx

⇒ ∑xy/x²

सहसंबंध गुणांक r द्वारा दर्शाया जाता है

⇒ r = √(b_xy b_yx)

∴ सहसंबंध गुणांक, प्रत्यागमन गुणांकों का गुणोत्तर माध्य होता है।

संकल्पना:

सहसंबंध गुणांक समाश्रयण गुणांकों के बीच ज्यामितीय माध्य है अर्थात्

\({\rm{r}} = \pm \sqrt {{{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}}{{\rm{b}}_{{\rm{xy}}}}} \)

गणना: 

\({\rm{r}} = \pm \sqrt {{{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}}{{\rm{b}}_{{\rm{xy}}}}} \)

\(0.8 = \pm \sqrt {{{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}} \times 0.32} \)    (दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)

\({{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}} = \frac{{0.64}}{{0.32}} = 2\)

गणना

रैंक सहसंबंध का गुणांक है = 1 – 6∑d2/n(n2 – 1)

D = r1 – r2

r1, r2 ------ रैंक हैं

स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक के अनुसार ρ = 1 – 6∑d2/n(n2 – 1)

⇒ 1 – 6 × 214/10(100 – 1)

⇒ 1 – 6 × 214/990

⇒ 1 – 1.297

∴ रैंक सहसंबंध का मान लगभग – 0.3 है। 

अवधारणा:

सहसंबंध का गुणांक (r):
सरल रेखीय समाश्रयण विश्लेषण में, सहसंबंध का गुणांक एक ऐसा आँकड़ा है जो स्वतंत्र चर और आश्रित चर के बीच संबंध को इंगित करता है। सहसंबंध के गुणांक को "r" द्वारा दर्शाया जाता है और इसका मान -1.00 और +1.00 के बीच होता है।

• जब सहसंबंध का गुणांक धनात्मक होता है, जैसे +0.80, तो इसका अर्थ है कि आश्रित चर बढ़ रहा है/घट रहा है जब स्वतंत्र चर बढ़ रहा है/घट रहा है। एक ऋणात्मक मान एक व्युत्क्रम संघ को इंगित करता है; आश्रित चर बढ़ रहा है/घट रहा है जब स्वतंत्र चर घट रहा है/बढ़ रहा है।
• +0.8 या -0.8 के सहसंबंध का गुणांक स्वतंत्र चर और आश्रित चर के बीच एक मजबूत सहसंबंध को दर्शाता है। +0.20 या -0.20 का एक r चरों के बीच कमजोर सहसंबंध को दर्शाता है। जब सहसंबंध का गुणांक 0.00 होता है, तो कोई सहसंबंध नहीं होता है।
• r = \(\rm \frac{\sum\left(x_i-\bar x\right)\left(y_i-\bar y\right)}{\sqrt{\sum\left(x_i-\bar x\right)^2\sum\left(y_i-\bar y\right)^2}}\)

गणना:

सहसंबंध गुणांक के गुण/प्रकृति से, हम जानते हैं कि सहसंबंध गुणांक मूल और पैमाने के चयन से स्वतंत्र है।

संकल्पना:

जब r = ± 1 है, तो 

• दो समाश्रयण रेखाएं समरूप हो जाते हैं अर्थात् वे मेल खाती है। 
• \({b_{yx}} = \frac{1}{{{b_{xy}}}}\)
• पूर्ण रैखिक सह-संबंध देखा जाता है और दो समाश्रयण रेखाओं के बीच का कोण 0° हो जाता है। 
• x के विशिष्ठ मान के लिए हम y का विशिष्ट मान प्राप्त करेंगे। 

वर्णन:

जब r = ± 1 है, तो 

• दो समाश्रयण रेखाएं समरूप हो जाते हैं अर्थात् वे मेल खाती है। 
• \({b_{yx}} = \frac{1}{{{b_{xy}}}}\)
• पूर्ण रैखिक सह-संबंध देखा जाता है और दो समाश्रयण रेखाओं के बीच का कोण 0° हो जाता है। 
• x के विशिष्ट मान के लिए हम y का विशिष्ट मान प्राप्त करेंगे। 

अवधारणा:

कुछ उपयोगी सूत्र हैं:

सहसंबंध गुणांक, r = \(\rm Cov (X, Y)\over σ_x\ \times\ σ_y\)

σ_x = √var X

गणना:

दिया हुआ, r = 0.8

Cov (X, Y) = 121

Var Y = 64

 r = \(\rm Cov (X, Y)\over σ_x\ \times\ σ_y\)

∴ 0.8 = \(121\over σ_x\ \times\ √64\), चूँकि Var X = 64, तो σ_y = √64 = 8

∴ σ_x = 18.91

∴ √var X = 18.91

∴ var X = 357.59

संकल्पना:

सहसंबंध गुणांक समाश्रयण गुणांकों के बीच ज्यामितीय माध्य है अर्थात्

\({\rm{r}} = \pm \sqrt {{{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}}{{\rm{b}}_{{\rm{xy}}}}} \)

गणना: 

दिया गया समीकरण x = 2y + 4 और y = kx + 6 हैं। 

\({{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}} = k\) और \({{\rm{b}}_{{\rm{xy}}}} = 2\)

\({\rm{r}} = \pm \sqrt {{{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}}{{\rm{b}}_{{\rm{xy}}}}} \)

\(\frac{1}{2} = \pm \sqrt {{{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}} \times 2} \)           ( दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)

\(2{{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}} = \frac{1}{4}\)                      ⇒ \({{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}} = \frac{1}{8}\)

∴ \({{\rm{b}}_{{\rm{yx}}}} = k = \frac{1}{8}\)

संकल्पना:

x और y के सहसंबंध गुणांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है, \(\rm r = \frac{cov(x, y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}\)

जहाँ cov(x, y) = x और y के बीच सहप्रसारण, V(x) = x की भिन्नता और V(y) = y की भिन्नता।

गणना:

यहाँ, सहप्रसारण(x, y) = 12, V(x) = 64, V(y) = 36 

सहसंबंध गुणांक,  \(\rm r = \frac{cov(x, y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}\)

\(=\rm \frac{12}{\sqrt{64\times36}}\)

\(=\rm \frac{12}{{8\times6}}\)

\(=\rm \frac{1}{{4}}\)

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

प्रयोग किया गया सूत्र:

\({\rm{r}}\left( {{\rm{x}},{\rm{y}}} \right) = \frac{{{\rm{\;Cov}}\left( {{\rm{x}},{\rm{y}}} \right)}}{{{\rm{\sigma }}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\sigma }}\left( {\rm{y}} \right)}}\)

जहाँ, 

r (x, y), x और y के बीच सहसंबंध गुणांक है। 

Cov(x, y), x और y का सहप्रसरण है। 

σ(x), σ(y) क्रमशः x, y के मानक विचलन है। 

गणना:

दिया गया है:

x और y के बीच सहसंबंध गुणांक, r(x, y) = 0.8014 

x और y का सहप्रसरण, Cov(x, y) = ?

y के मानक विचलन, σ(y) = (25)^1/2 = 5

x के मानक विचलन, σ(x) = (16)^1/2 = 4

हम जानते हैं कि, \({\rm{r}}\left( {{\rm{x}},{\rm{y}}} \right) = \frac{{{\rm{\;Cov}}\left( {{\rm{x}},{\rm{y}}} \right)}}{{{\rm{\sigma }}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\sigma }}\left( {\rm{y}} \right)}}\)

\(Cov(x,y)=r(x,y)× \sigma(x)\sigma(y)\)

Cov (x, y) = 0.8014 × 5 × 4 = 16.028

व्याख्या

Y पर प्रत्यागम गुणांक X = b_xy

⇒ ∑xy/∑y²

X पर प्रत्यागम गुणांक Y = b_yx

⇒ ∑xy/x²

सहसंबंध गुणांक r द्वारा दर्शाया जाता है

⇒ r = √(b_xy b_yx)

∴ सहसंबंध गुणांक, प्रत्यागमन गुणांकों का गुणोत्तर माध्य होता है।

अवधारणा:

सहसंबंध का गुणांक \(\rm = r = \sqrt{(b_{yx}×b_{xy} ) }\)

जहाँ b_yx और b_xy समाश्रयण गुणांक हैं या y पर x और x पर y समीकरणों की ढलानों को b_yx और b_xy के रूप में दर्शाया गया है

गणना:

दिया गया b_yx = - 8

r = - \(1\over 4\)

हम जानते हैं कि, r = √(byx × bxy)

∴ - \(1\over 4\) = √(- 8 × bxy)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,

\(1\over 16\) = -8 × bxy

∴ bxy = - \(1\over 128\)