2 या अधिक चर में रेखीय समीकरण MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Equation in 2 or more Variables - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

दो विद्यार्थी एक परीक्षा में बैठे।

उनमें से एक ने दूसरे से 9 अंक अधिक प्राप्त किये।

उसके अंक उनके अंकों के योग का 56% है।

प्रयुक्त अवधारणा:

दी गई स्थितियों को दर्शाने के लिए बीजीय समीकरणों का उपयोग करते हैं और अज्ञात को हल करते हैं।

गणना:

माना कि कम अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक x हैं।

इसलिए, अधिक अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक x + 9 हैं।

उनके अंकों का योग = x + (x + 9) = 2x + 9

प्रश्नानुसार, अधिक अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक, उनके अंकों के योग का 56% हैं।

⇒ x + 9 = 56/100 × (2x + 9)

⇒ x + 9 = 0.56(2x + 9)

⇒ x + 9 = 1.12x + 5.04

⇒ x + 9 - 1.12x = 5.04

⇒ -0.12x + 9 = 5.04

⇒ -0.12x = 5.04 - 9

⇒ -0.12x = -3.96

⇒ x = -3.96 / -0.12

⇒ x = 33

कम अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक = 33

अधिक अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक = 33 + 9 = 42

∴ विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंक 33 और 42 हैं।

गणना

15(a⁶b¹¹c⁷)/135/10(a²bc³)/27

⇒ 15 × 27(a⁴b¹⁰c⁴)/(135 × 10)

⇒ 3(a⁴b¹⁰c⁴)/10

दिया गया है:

2 मिक्सर और 1 टीवी का मूल्य = ₹7000

2 टीवी और 1 मिक्सर का मूल्य = ₹9800

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए कि 1 मिक्सर का मूल्य M और 1 टीवी का मूल्य T है।

2M + T = 7000

2T + M = 9800

गणना:

2M + T = 7000 ...(i)

2T + M = 9800 ...(ii)

समीकरण (i) को 2 से गुणा करें:

⇒ 4M + 2T = 14000 ...(iii)

समीकरण (ii) को 1 से गुणा करें:

⇒ 2T + M = 9800

समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) घटाएँ:

⇒ 4M + 2T - (2T + M) = 14000 - 9800

⇒ 4M + 2T - 2T - M = 4200

⇒ 3M = 4200

⇒ M = 1400

समीकरण (i) में M = 1400 रखें:

⇒ 2 × 1400 + T = 7000

⇒ 2800 + T = 7000

⇒ T = 4200

⇒ 2T = 2 × 4200 = 8400

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

4 पुरुषों और 2 महिलाओं का कुल मासिक वेतन ₹46,000 है।

एक महिला एक पुरुष से ₹500 अधिक कमाती है।

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए कि एक पुरुष का मासिक वेतन ₹x है।

तो, एक महिला का मासिक वेतन = ₹(x + 500).

4 पुरुषों और 2 महिलाओं का कुल वेतन = 4x + 2(x + 500).

गणना:

4x + 2(x + 500) = 46,000

⇒ 4x + 2x + 1000 = 46,000

⇒ 6x + 1000 = 46,000

⇒ 6x = 46,000 - 1000

⇒ 6x = 45,000

⇒ x = 7,500

एक महिला का मासिक वेतन = x + 500

⇒ 7,500 + 500 = 8,000

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

x + y = 10

(10y + x) - (10x + y) = 72

प्रयुक्त सूत्र:

संख्या = 10x + y

उलटी संख्या = 10y + x

गणना:

(10y + x) - (10x + y) = 72

⇒ y - x = 8

इसके अलावा, x + y = 10

⇒ y = 10 - x

तब,

⇒ (10 - x) - x = 8

⇒ 10 - 2x = 8

⇒ 2x = 2

⇒ x = 1

⇒ y = 10 - 1 = 9

संख्या = 10 × 1 + 9 = 19

∴ संख्या 19 है।

माना मेरी वर्तमान आयु = x वर्ष और मेरे कजिन की आयु = y वर्ष

मेरी वर्तमान आयु का तीन-पांचवां भाग, मेरे एक कजिन के पांच-छठे भाग के समान है,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

दस वर्ष पहले मेरी आयु, चार वर्ष बाद उसकी आयु के बराबर होगी,

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

∴ x = 50 वर्ष

दिया है:

बदली हुई संख्या – वास्तविक संख्या = 297

गणना:

माना संख्या ‘pqrs’ है।

⇒ pqrs = 1000p + 100q + 10r + s

⇒ psrq – pqrs = 297

⇒ 1000p + 100s + 10r + q – (1000p + 100q + 10r + s) = 297

⇒ 1000p + 100s + 10r + q – 1000p – 100q – 10r – s = 297

⇒ 100s + q – 100q – s = 297

⇒ 99s – 99q = 297

⇒ 99(s – q) = 297

⇒ s – q = 3

∴ दूसरा अंक – अंतिम अंक = 3

Alternate Method

वास्तविक संख्या चार अंकों की संख्या है। आइए इसे ABCD के रूप में निरूपित करें (जहाँ A, B, C, D इसके अंक हैं)।

जब दूसरा अंक और अंतिम अंक आपस में बदल दिए जाते हैं, तो ADCB नई संख्या बन जाती है।

प्रश्न कहता है कि ADCB = ABCD + 297.

चार अंकों की संख्या में:
- हजार स्थान अपने मान का 1000 गुना देता है
- सैकड़ा स्थान अपने मान का 100 गुना देता है
- दहाई का स्थान अपने मान का 10 गुना देता है
- इकाई का स्थान अपने मान का 1 गुना देता है

अतः, हम वास्तविक संख्या (ABCD) को 1000A + 100B + 10C + D के रूप में लिख सकते हैं।

इसी प्रकार, नई संख्या (ADCB) 1000A + 100D + 10C + B के रूप में लिखी जा सकती है।

प्रश्न में दिए अनुसार समीकरण स्थापित करना:

1000A + 100D + 10C + B = 1000A + 100B + 10C + D + 297

समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं कि 99B - 99D = 297, या B - D = 3.

इसलिए, संख्या के दूसरे अंक (B) और अंतिम अंक (D) के बीच का अंतर 3 है।

दिया गया है

2 मिक्सर + 1 टी. वी. = 700 रुपये

2 टी. वी. + 1 मिक्सर = 980 रुपये

अवधारणा:

इस प्रश्न को समीकरणों की प्रणाली का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

हल:

2M + T = 700

2T + M = 980

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

2T + M + (2M + T) = 980 + 700 ⇒ T + M = 1680/3 = 560

2T + M = 980

T + T + M = 980

T + 560 = 980

T = 420

इसलिए, एक टी. वी. का मूल्य 420 रुपये है।

दिया गया है:

x + y = 12, y + z = 15, x + z = 18

गणना:

x + y = 12     ---- (1)

y + z = 15     ---- (2)

x + z = 18     ---- (3)

समीकरणों (1) और (2) को हल करने पर,

⇒ x - z = -3     ---- (4)

समीकरणों (3) और (4) को हल करने पर,

⇒ x = 7.5

समीकरण (1) में x का मान रखने पर 

⇒ y = 4.5

समीकरण (2) में y का मान रखने पर

⇒ z = 10.5

x + y + z

⇒ 7.5 + 4.5 + 10.5

⇒ 22.5

∴ x + y + z का मान 22.5 है।

Shortcut Trick

(1), (2) और (3) को जोड़ने पर,

⇒ 2(x + y + z) = 45     

⇒ (x + y + z) = 45/2 = 22.5

∴ x + y + z का मान 22.5 है।

दिया हुआ है:

(x + y) : (y + z) : (z + x) = 11 : 13 : 16 है और x + y + z = 200

गणना:

(x + y) का मान = 11A

(y + z) का मान = 13A

(z + x) का मान = 16A

तीनों समीकरणों को जोड़ने पर,

⇒ x + y + y + z + z + x = 40A

⇒ 2(x + y + z) = 40A

⇒ (x + y + z) = 20A

प्रश्नानुसार,

⇒ 20A = 200

⇒ A = 10

अब, 

(x + y) का मान = 11 × 10 = 110

प्रश्नानुसार,

⇒ (x + y + z) - (x + y) = 200 - 110

⇒ z = 90

∴ चर 'z' का मान 90 है।

माना प्रत्येक आइसक्रीम, बर्गर और शीतल पेय का मूल्य क्रमशः x, y और z है।

3x + 2y + 4z = 128      ---- (i)

2x + y + 2z = 74      ---- (ii)

3 × (ii) और 2 × (i) को गुणा करें, हमें मिलता है

6x + 3y + 6z = 222      ----(iii)

6x + 4y + 8z = 256      ----(iv)

समीकरण (iv) से समीकरण (iii) घटाएं

y + 2z = 34

उपरोक्त समीकरण को 5 से गुणा करें

हम प्राप्त करते है,

5 (y + 2z) = 5 × 34

5y + 10z = 170 

∴ 5 बर्गर और 10 शीतल पेय का मूल्य = 34 × 5 = 170

⇒ समीकरणों का कोई हल नहीं होता जब उनकी ढलान समान होती है

⇒ समीकरण 1 की ढलान = - 14/8 = - 7/4

⇒ समीकरण 2 की ढलान = 21/k

⇒ अतः 21/k = - 7/4

∴ k का मान - 12 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

दो चर x और y में रैखिक समीकरणों के युग्म पर विचार करें।

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

यहाँ a1, b1, c1, a2, b2, c2 सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

ध्यान दें कि, a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0

यदि (a1/a2) = (b1/b2) ≠ (c1/c2), तो कोई हल नहीं होगा।

गणना:

जब दो समीकरणों का कोई हल नहीं है, तब समीकरणों के समानांतर पद्धति का उपयोग करने पर,

तब,

⇒ 6/15 = -5/k

⇒ k = -25/2

⇒ k = -12.5

दिया गया है:

3 समीकरण, a(a + b + c) = 126, b(a + b + c) = 147 और c(a + b + c) = 168 हैं 

गणना:

सभी के संयोजन से, हमें (a + b + c) (a + b + c) = 126 + 147 + 168 प्राप्त होता है

⇒ (a + b + c)² = 441

⇒ (a + b + c) = 21

गणना:

x + 1/y = 3      ----(1) 

y + 1/z = 2      ----(2) 

z + 1/x = 4      ----(3)

समीकरण (1), (2) and (3) का योग करने पर

⇒ x + y + z + 1/x + 1/y + 1/z = 9      ----(4)

अब समीकरण (1), (2) और (3) को गुणा करने पर

⇒ (x + 1/y) × (y + 1/z) × (z + 1/x) = 3 × 2 × 4

⇒ (xy + x/z + 1 + 1/zy)(z + 1/x) = 24

⇒ (xyz + y + x + 1/z + z + 1/x + 1/y + 1/xyz) = 24

⇒ [xyz + (1/xyz) + x + y + z + 1/x + 1/y + 1/z] = 24

⇒ xyz + 1/xyz + 9 = 24 

⇒ xyz + 1/xyz = 24 – 9 = 15

∴ उत्तर 15 है।