Kinematic equations for uniformly accelerated motion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Kinematic equations for uniformly accelerated motion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही विकल्प: (2) 2/3 है। 

कार्य-ऊर्जा प्रमेय से

कार्य = Δ गतिज ऊर्जा

⇒ F . S = Δ गतिज ऊर्जा

⇒ (Δगतिज ऊर्जा)_A / (Δगतिज ऊर्जा)_B = - F_A S_A / F_B S_B

⇒ (-100) / (225) = - F_A(1000) / F_B(1500)

F_A / F_B = 2 / 3

उत्तर : 2

हल :

घूर्णन गति में,

ω = ω₀ + αt

ω = αt

(∵ ω0 = 0; कण विरामावस्था में है।)

∴ अभिकेन्द्रीय त्वरण a = ω²r

∴ a = α²t²r

स्पर्शरेखीय त्वरण a_t = α x r

दिया गया है: a = a_t

⇒ α²t²r = αr

\(t^2=\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{4}\)

∴ \(\mathrm{t}=\frac{1}{2}=0.5 \mathrm{~s}\)

संप्रत्यय:

गिराए जाने के बाद पत्थर का विस्थापन निम्न द्वारा दिया गया है:

h = v₀ × t - (1/2) × g × t²

जहाँ v₀ = 29 m/s, t = 10 s, and g = 9.8 m/s².

गणना:

h = 29 × 10 - (1/2) × 9.8 × 10²

h = 290 - 490 = -200 m

∴ पत्थर को गिराए जाने पर गुब्बारे की ऊँचाई 200 m है। विकल्प 2 सही है।

गणना:

दिया गया है:

प्रारंभिक वेग, u = 0 (विरामावस्था से प्रारंभ)

त्वरण, a = 5/4 m/s²

ज्ञात कीजिए: तीसरे सेकंड में तय की गई दूरी

nवें सेकंड में तय की गई दूरी के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग करें:

S_n = u + (1/2) × a × (2n - 1)

तीसरे सेकंड के लिए मान रखने पर:

S₃ = 0 + (1/2) × (5/4) × (2×3 - 1)

S₃ = (1/2) × (5/4) × 5 = 25/8 m

सही उत्तर: विकल्प (2) → 25/8 m है। 

अवधारणा

• गति का समीकरण: वे गणितीय समीकरण जिनका उपयोग एक गतिमान निकाय पर कार्यरत बल को ध्यान में रखे बिना अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को ज्ञात करने के लिए किया जाता है उन्हें गति के समीकरण कहा जाता है।
• ये समीकरण तभी मान्य होते हैं जब निकाय का त्वरण नियत होता है और वे सरल रेखा में गतिमान होते हैं।

गति के तीन समीकरण हैं:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

जहां V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के अधीन निकाय द्वारा तय दूरी, a = गति के अधीन निकाय का त्वरण और t = गति के अधीन निकाय द्वारा लिया समय

व्याख्या:

दिया गया है:

प्रारंभिक वेग (u) = 0

दूरी (S) = 20 m

समय (t) = 4 सेकंड

 \({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\) का प्रयोग कीजिये

20 = 0 + \(\frac{1}{2} \times a \times 4^2\)

त्वरण = a = 20/8 = 2.5 m/s²

अवधारणा:

• गति के समीकरणों का उपयोग निकाय की गति को वर्णित करने के लिए किया जाता है और यह इस प्रकार है-

\(S = ut+ \frac{1}{2}a t^{2}\)

V = u + at

V² = U² + 2as

जहाँ S = विस्थापन, t = समय a = त्वरण, V = अंतिम वेग,U = प्रारंभिक वेग

गणना:

दिया गया है: S = 70 m, t = 7 सेकंड u = 0m/s

• विस्थापन, प्रारंभिक वेग और समय में सम्बन्ध स्थापित करने वाला गति का समीकरण है-

\(⇒ S = ut+ \frac{1}{2}a t^{2}\)

दिए गए मानों के प्रतिस्थापन पर उपरोक्त समीकरण होगा-

\(\Rightarrow 70 = 0\times 7+ \frac{1}{2}a \times 7^{2}\)

\(\Rightarrow a = \frac{70\times 2}{7\times 7} = \frac{20}{7} = 2.85m/s^{2}\)

• इसलिए, विकल्प 2 उत्तर है।

अवधारणा:

• गतिकी के समीकरण: एकसमान त्वरण से गतिमान कण के लिए u, v, a, t और s के बीच के विभिन्न संबंध निम्न अनुसार हैं, जहां संकेतों का उपयोग निम्न प्रकार किया जाता है:
• गति के समीकरणों को इस रूप में लिखा जा सकता है

V = U + at

\(s =ut+\frac{1}{2}{at^{2}}\)

V2 =U2+ 2as

जहां, U = आरंभिक वेग, V = अंतिम वेग, g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, t = समय, और h = तय की गई दूरी/ऊंचाई

जहां u = समय t = 0 सेकंड पर कण का आरंभिक वेग

v = समय t सेकंड पर अंतिम वेग

a = कण का त्वरण

s = समय t सेकंड मे तय की गई दूरी

व्याख्या:

दिया गया है - प्रारंभिक वेग u = 0 km/h, अंतिम वेग v = 72 km/h = 20 m/s, समय t = 5 मिनट

• गति के प्रथम नियम के अनुसार

⇒ v = u + a t

⇒ 20 = 0 + (a1 × 5 × 60)

\(\Rightarrow a = \frac{{20}}{{5 \times 60}} = \frac{1}{{15}}\, ms^2\)

• गति के दूसरे नियम के अनुसार

\(⇒ S = u t + \left( {\frac{1}{2} \times a \times {t^2}} \right)\)

\(⇒ S = 0 \times 300 + \left( {\frac{1}{2} \times \frac{1}{{15}} \times {{300}^2}} \right)\)

⇒ S = 3000 m = 3 km

• उपरोक्त वेग प्राप्त करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी 3 km है।

अवधारणा :

• गति का समीकरण: किसी गतिशील वस्तु पर कार्य करनेवाले बल पर विचार किए बिना किसी गतिशील वस्तु के अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को खोजने के लिए प्रयुक्त गणितीय समीकरणों को गति के समीकरण कहा जाता है।
• ये समीकरण केवल तभी मान्य होते हैं जब निकाय का त्वरण स्थिर होता है और वे एक सीधी रेखा पर चलते हैं।

गति के तीन समीकरण होते हैं:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

जहाँ, V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के तहत निकाय द्वारा तय की गई दूरी, a = गति के तहत निकाय का एक त्वरण और t = गति के तहत निकाय द्वारा लिया गया समय

गणना :

दिया गया है कि:

त्वरण (a) = 20 m/s2

दूरी की यात्रा (S) = 90 m

प्रारंभिक वेग (u) = 0

90 m की दूरी तय करने में लगने वाला समय (t) ज्ञात करने के लिए

गति का समीकरण बताता है कि:

\(S=ut+\frac{1}{2}at^2 \)

\(90=0\times t+\frac{1}{2}\times 20 \times t^2\)

\(t^2=9\)

लिया गया समय (t) = 3 सेकंड

इसलिए विकल्प 2 सही है।

सही उत्‍तर है → 75

अवधारणा :

• गति का समीकरण: किसी गतिशील वस्तु पर कार्य करनेवाले बल पर विचार किए बिना किसी गतिशील वस्तु के अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को खोजने के लिए प्रयुक्त गणितीय समीकरणों को गति के समीकरण कहा जाता है।
• ये समीकरण केवल तभी मान्य होते हैं जब निकाय का त्वरण स्थिर होता है और वे एक सीधी रेखा पर चलते हैं।

गति के तीन समीकरण होते हैं:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

जहाँ, V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के तहत निकाय द्वारा तय की गई दूरी, a = गति के तहत निकाय का एक त्वरण और t = गति के तहत निकाय द्वारा लिया गया समय

गणना :

दिया गया है कि:

प्रारंभिक वेग (u) = 10 m/s

त्वरण (a) = 2 m/s²

समय (t) = 5 सेकंड

S = ut + 1/2 at2

विस्थापन (S) = 10 × 5 + (1/2) × 2 × 52 = 75 m

इसलिए विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

• गति का समीकरण: किसी गतिशील वस्तु पर कार्य करनेवाले बल पर विचार किए बिना किसी गतिशील वस्तु के अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को खोजने के लिए प्रयुक्त गणितीय समीकरणों को गति के समीकरण कहा जाता है।
• ये समीकरण केवल तभी मान्य होते हैं जब निकाय का त्वरण स्थिर होता है और वे एक सीधी रेखा पर चलते हैं।

गति के तीन समीकरण होते हैं:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

जहाँ, V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के तहत निकाय द्वारा तय की गई दूरी, a = गति के तहत निकाय का एक त्वरण और t = गति के तहत निकाय द्वारा लिया गया समय

गणना:

यह दिया जाता है कि,

⇒ प्रारंभिक वेग (u) = 36 km/hr = (36 × 1000 m)/3600 sec = 10 m/s

⇒ अंतिम वेग (V) = 72 km/hr = (72 × 1000 m)/3600 sec = 20 m/s

⇒ समय (t) = 5 सेकंड

V = u + at का प्रयोग करें

20 = 10 + a × 5

⇒ त्वरण (a) = 10/5 = 2 ms-2

तो विकल्प 1 सही है।

अवधारणा :

• गति का समीकरण: किसी गतिशील वस्तु पर कार्य करनेवाले बल पर विचार किए बिना किसी गतिशील वस्तु के अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को खोजने के लिए प्रयुक्त गणितीय समीकरणों को गति के समीकरण कहा जाता है।
• ये समीकरण केवल तभी मान्य होते हैं जब निकाय का त्वरण स्थिर होता है और वे एक सीधी रेखा पर चलते हैं।

गति के तीन समीकरण होते हैं:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

जहाँ, V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के तहत निकाय द्वारा तय की गई दूरी, a = गति के तहत निकाय का एक त्वरण और t = गति के तहत निकाय द्वारा लिया गया समय

गणना :

दिया गया है कि:

अंतिम वेग, v = 30 m/s; प्रारंभिक वेग, u = 25 m/s; समय, t = 10s

V = u + at का उपयोग करके

a = (v - u)/t

a = (30 - 25)/10

a = 5/10

त्वरण (a) = 0.5 m/s²

इसलिए विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

• चिरसम्मत यांत्रिकी में जब एक वस्तु को कुछ प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है और जैसे-जैसे यह ऊपर जाता है वैसे-वैसे इसका प्रारंभिक वेग गुरुत्वीय त्वरण के कारण कम होता रहता है, चूँकि यह नीचे की ओर क्रिया करता है।
• उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग शून्य हो जायेगा और उस स्थान तक पहुंचने के लिए लिए गए समय की गणना शुद्धगतिक समीकरण का प्रयोग करके की जा सकती है, जिसे निम्न रूप में व्यक्त किया गया है

v = u + gt

जहाँ अंतिम वेग = v, u = प्रारंभिक वेग, g= गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण और t = समय

व्याख्या:

तय की गई दुरी, s = 10 m

अंतिम वेग, v = 0 m/s

गुरुत्वीय त्वरण, g = 9.8 m/s²

वस्तु का त्वरण, a = –9.8 m/s² (उपर की ओर गति)

⇒ v2 = u2 + 2as

⇒ 0 = u2 + 2 × (–9.8 m/s2) × 10 m

⇒ –u2 = –2 × 9.8 × 10 m2/s2

⇒ u2 = 196 m2/s2

⇒ u = 14 m/s

• वस्तु द्वारा उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय कितना होगा

⇒ v = u + a t

⇒ 0 = 14 m/s – 9.8 m/s2 × t

​⇒ t = 14/9.81 = 1.43 s. 

धारणा:

• गति का समीकरण: किसी गतिशील वस्तु पर लगने वाले बल का विचार किए बिना वस्तु के अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को खोजने के लिए प्रयुक्त गणितीय समीकरणों को गति का समीकरण कहलाता है।
• ये समीकरण केवल तभी मान्य होते हैं जब पिण्ड का त्वरण स्थिर हो और वे एक सीधी रेखा पर चलते हैं।

गति के तीन समीकरण हैं:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\(s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}\)

जहाँ, V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के अधीन पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी, गति के अधीन पिण्ड का त्वरण = और गति के अधीन पिण्ड द्वारा लिया गया      t = समय।

गणना

दिया हुआ,

गुब्बारे की ऊँचाई (s)  = - 50 m

प्रारंभिक वेग (u) = 5 m/s

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (a) = -10 m/s²

हम जानते हैं कि,

\(s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}\)

\(⇒ -50 = 5t + \frac{1}{2}(-10){t^2}\)

\(⇒ -50 = 5t - 5{t^2}\)

\(⇒ 5{t^2}-5t-50 = 0\)

\(⇒ {t^2}-t-10 = 0\)

\(t = {-(-1) \pm \sqrt{1^2-4(1)(-10)} \over 2}\)

\(⇒ t = {1 \pm \sqrt{41} \over 2}\)

⇒ t = - 2.7 s or 3.7 सेकेंड

इस समस्या में नकारात्मक t  का कोई महत्व नहीं है। पत्थर समय t = 3.7 s. पर जमीन तक पहुंचता है।

इस समय के बीच गुब्बारा समान रूप से ऊपर चला जाता है। इसके द्वारा तय की गई दूरी है -

⇒ 5 m/s × 3.7 = 18.5 m

अतः,जब पत्थर जमीन तक पहुँचता है तब गुब्बारे की ऊंचाई​ 50 m +18.5 m = 68.5m होगी।

अवधारणा

गतिकी का समीकरण:

• ये U, V, a, t, और s के बीच विभिन्न संबंध हैं, जो एकसमान त्वरण के साथ चलने वाले कण के लिए हैं जहां नोटेशन का उपयोग किया जाता है:
• गति के समीकरणों को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

⇒ V = U + at

\(⇒ s =Ut+\frac{1}{2}{at^{2}}\)

⇒ V2 = U2+ 2as

जहाँ , U = प्रारंभिक वेग, V =अंतिम वेग, a = त्वरण, t = समय, और h = तय की गई दूरी

गणना:

दिया गया है:

U = 0 m/s

मान लीजिये त्वरण a है।

गति के दूसरे समीकरण से, पहले 10 सेकंड में तय की गई दूरी इस प्रकार है-

(s₁₀ = x),

\(⇒ s_{10} =0\times10+\frac{1}{2}{\times a\times10^{2}}\)

⇒ x = 50a     -----(1)

अगले 10 सेकंड में तय की गई दूरी इस प्रकार है (s2 = y),

⇒ y =पहले 20 सेकंड में तय की गई दूरी - पहले 10 सेकंड में तय की गई दूरी

⇒ y = s₂₀ - s₁₀     -----(2)

गति के दूसरे समीकरण से, पहले 20 सेकंड में तय की गई दूरी इस प्रकार है

\(⇒ s_{20} =0\times10+\frac{1}{2}{\times a\times20^{2}}\)

⇒ s20 = 200a     -----(3)

समीकरण 1, समीकरण 2, और समीकरण 3 से

⇒ y = 200a - 50a

⇒ y = 150a     -----(4)

समीकरण 1 और समीकरण 4 से

\(\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{50a}{150a}\)

\(\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{3}\)

• इसलिए, विकल्प 2 सही है।