Continuity of a function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuity of a function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 20, 2025
Latest Continuity of a function MCQ Objective Questions
Continuity of a function Question 1:
यदि x = \(\frac{\pi}{2}\) पर f(x) = \(\left\{\begin{array}{l}\rm mx+1, \text { if } x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin \rm x+n, \text { if } x>\frac{\pi}{2}\end{array}\right.\), संतत है, तो
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
x = a पर फलन f(x) संतत है, यदि \(\lim_{x\to a^{-}}\) f(x) = \(\lim_{x\to a^{+}}\)f(x) = f(a).
गणना:
दिया है: f(x) = \(\left\{\begin{array}{l}\rm mx+1, \text { if } x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin \rm x+n, \text { if } x>\frac{\pi}{2}\end{array}\right.\)
f(\(\frac{π}{2}\)) = m × \(\frac{π}{2}\) + 1
बाएँ पक्ष की सीमा = \(\lim_{h\to0}f(\frac{π}{2}-h)\,\)
\(=\,\lim_{h\to0}\,m\times \left(\frac{π}{2}-h\right) + 1 \)
सीमाओं का प्रयोग करने पर:
बाएँ पक्ष की सीमा = m × \(\frac{π}{2}\) + 1
दाएँ पक्ष की सीमा = \(\lim_{h\to0}f(\frac{π}{2}+h)\,\)
\(=\,\lim_{h\to0}\,\sin\left(\frac{π}{2}+h\right) +n\)
सीमाओं का प्रयोग करने पर:
\(=\sin \frac{π}{2}+n\)
दाएँ पक्ष की सीमा = 1 + n
x = \(\frac{π}{2}\) पर फलन के संतत होने के लिए,
बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = f(π/2)
⇒ m× \(\frac{π}{2}\) + 1 = 1 + n
⇒ n = \(\frac{mπ}{2}\)
सही उत्तर n = = \(\frac{mπ}{2}\) है।
Continuity of a function Question 2:
फलन f(x) = x Sin (1/x) है, यदि _________, x = 0 और f(0) = 1 पर असांतत्य है
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 2 Detailed Solution
संकल्पना:
यदि कोई फलन किसी बिन्दु a पर सतत है, तो
\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)\)
sin(∞) = a, जहाँ -1≤ a ≤ 1
गणना:
दिया गया है:
f(0) = 1
f(x) = x sin (1/x)
x = 0 पर सांतत्यता की जाँच करने पर
\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = f(0)\)
बायाँ पक्ष
= 0 × sin(∞)
= 0
दायाँ पक्ष
= f(0) = 1
बायाँ पक्ष ≠ दायाँ पक्ष
अतः, x = 0 पर फलन असंतत है।
Continuity of a function Question 3:
k का मान, जो फलन को x = 0 पर संतत, f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}\sin \frac{1}{\rm x}, & \text { if } \rm x \neq 0 \\ \rm k, & \text { if } \rm x = 0\end{array}\right.\) द्वारा परिभाषित करता है, है:
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
यदि कोई फलन x = a पर संतत है, तो L.H.L = R.H.L = f(a)
x = a पर f(x) की बाएँ पक्ष की सीमा (L.H.L) \(\lim_{h\to0}\,f(a-h)\) है
x = a पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.L) \(\lim_{h\to0}\,f(a+h)\) है
गणना:
= \(\lim_{h\to0}\sin\Big(\frac{1}{0-h}\Big)\)
= \(\lim_{h\to0}\,\sin\Big(\frac{1}{-h}\Big)\)
\(=-\lim_{h\to0}\,\sin\Big(\frac{1}{h}\Big)\)
हम जानते हैं कि -1 ≤ sin θ ≤ 1
⇒ - 1 ≤ \(\,\sin\Big(\frac{1}{h}\Big)\) ≤ 1
∴ \(\,\sin\Big(\frac{1}{h}\Big)\) परिमित मान है।
माना \(\,\sin\Big(\frac{1}{h}\Big)\) = a
\(=-\lim_{h\to0}\ a\)
∴ L.H. L = - a
f(0) = k
x = 0 पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.L) \(\lim_{h\to0}\,f(0+h)\) है
= \(\lim_{h\to0}\,\sin\Big(\frac{1}{0+h}\Big)\)
= \(\lim_{h\to0}\,\sin\frac{1}{h}\)
R.H.L. = a
स्पष्ट रूप से, L.H.L. ≠ R.H.L.
इसलिए, k का कोई मान मौजूद है जिसके लिए x = 0 पर फलन f(x) संतत है।
Continuity of a function Question 4:
यदि f(x)=|x|, तब f(x) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि
f(a-) = f(a) = f(a+)
गणना:
दिया गया है, f(x) = |x|
x ≥ 0 के लिए, f(x) = x
और x < 0 के लिए, f(x) = - x
तो x > 0 और x < 0 के लिए फलन सतत है
x = 0 पर,
f(0-) = f(0) = f(0+) = 0
⇒ f(x), x = 0 पर सतत है
∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।
Continuity of a function Question 5:
यदि f(x)=|x|, तब f(x) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि
f(a-) = f(a) = f(a+)
गणना:
दिया गया है, f(x) = |x|
x ≥ 0 के लिए, f(x) = x
और x < 0 के लिए, f(x) = - x
तो x > 0 और x < 0 के लिए फलन सतत है
x = 0 पर,
f(0-) = f(0) = f(0+) = 0
⇒ f(x), x = 0 पर सतत है
∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।
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यदि \(\rm f(x)=\left\{\begin{matrix}\rm \dfrac{\sin 3x}{e^{2x}-1}, &\rm x \ne 0\\\rm k-2, &\rm x=0 \end{matrix}\right.\), x = 0 पर निरंतर है, तो k का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
परिभाषा:
- यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख बिंदु x = a पर एकल अखंडित वक्र है, तो फलन f(x) को इसके डोमेन में उस बिंदु पर निरंतर कहा जाता है।
- f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
सूत्र:
- \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)
- \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\)
गणना:
चूँकि f(x), x = 0 पर निरंतर है, इसलिए, \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\) है।
साथ ही, \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)\) है, क्योंकि f(x), x > 0 और x < 0 के लिए समान है।
\(\rm \therefore \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\)
\(\rm \Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{e^{2x}-1}=k-2\)
\(\rm \Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sin 3x}{3x}\times3x}{\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\times2x}=k-2\)
\(\rm \Rightarrow \dfrac{3}{2}=k-2\)
\(\rm \Rightarrow k=\dfrac{7}{2}\).
यदि \(\rm f(x) = \left\{ \begin{matrix} \rm \frac{2x-\sin^{-1} x}{2x + \tan^{-1} x}; & \rm x \ne 0 \\ \rm K; & \rm x = 0 \end{matrix}\right.\), x = 0 पर एक निरंतर फलन है तो k का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 7 Detailed Solution
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परिभाषा:
- एक फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x + a पर निरंतर कहा जाता है, यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है।
- f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
गणना:
x ≠ 0 के लिए दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
\(\rm f(x) = \left\{ \begin{matrix} \rm \frac{2x-\sin^{-1} x}{2x + \tan^{-1} x}; & \rm x \ne 0 \\ \rm K; & \rm x = 0 \end{matrix}\right.\)
चूँकि फलन का समीकरण x < 0 और x > 0 के लिए समान है, हमारे पास निम्न है:
\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{2x-\sin^{-1} x}{2x + \tan^{-1} x}\)
\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2- \frac {\sin^{-1} x} x}{2 +\frac {\tan^{-1} x} x} = \frac {2-1}{2+1} = \frac 1 3\)
x = 0 पर फलन को निरंतर होने के लिए, हमारे पास निम्न होना चाहिए:
\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\)
⇒ K = \(\dfrac{1}{3}\)
यदि \(\rm f(x)= \frac{x^2+x-6}{x^2 +kx-3}\), x = 3 पर निरंतर नहीं है, तो k का मान ज्ञात कीजिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
किसी फलन के लिए f, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) मौजूद हैं
\( ⇒ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = l = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) , जहाँ l एक परिमित मान है।
किसी भी फलन का कहना है कि f को बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, अगर और केवल यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = f\left( a \right)\), जहाँ l एक परिमित मान है।
गणना:
दिया गया है कि: \(\rm f(x)= \frac{x^2+x-6}{x^2 +kx-3}\), x = 3 पर निरंतर नहीं है।
अतः, यदि कोई फलन x = a पर निरंतर नहीं है तब
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l \neq f\left( a \right)\)
तो, फलन f(x) के लिए यदि भाजक x = 3 पर 0 है तो हम कह सकते हैं कि f (3) अनंत है और सीमा मौजूद नहीं हो सकती।
माना k का मान ज्ञात करें जिसके लिए f(x) का भाजक x = 3 के लिए 0 है।
तो, x2 + kx - 3 = 0 में x = 3 प्रतिस्थापित करें
⇒ 32 + 3k - 3 = 0.
⇒ 6 + 3k = 0.
⇒ k = - 2.
इसलिए, विकल्प 1 सही है।
फलन f(x) = cot x किस समुच्चय पर अनिरंतर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि f(x) = \(\rm \frac {p(x)}{q(x)}\) है।
ऐसी तीन स्थितियां हैं जिसे एक संख्या a पर निरंतर होने के क्रम में फलन f(x) द्वारा पूरा होना चाहिए।
- f(a) परिभाषित है। [आपके पास फलन में एक छिद्र नहीं हो सकता है]
- \(\rm \lim_{x \to a} f(x)\) मौजूद है।
- \(\rm \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
सूचना:
यदि निरंतरता की तीन स्थितियों में से किसी भी एक स्थिति का उल्लंघन होता है, तो फलन को अनिरंतर कहा जाता है।
यदि sin x = 0 है, तो x = nπ, n ∈ Z है।
गणना:
दिया गया है: f(x) = cot x
\(\rm \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)
जाँच कीजिए कि हर कहाँ शून्य हो जाता है।
sin x = 0
x = nπ, n ∈ Z
∴ दिया गया फलन x = nπ पर अनिरंतर है।
अतः विकल्प (1) सही है।
Important Points
- उस परिमेय समीकरण के साथ कार्य करने पर जिसमें अंश और हर दोनों निरंतर होते हैं।
- केवल वह बिंदु जिसमें परिमेय समीकरण अनिरंतर होगा जहाँ हर शून्य हो जाती है।
माना f : R → फलन है, जिसे \(f(x) = \left\lbrace \begin{matrix} \frac{1-\cos 2x}{x^2} & , & x < 0 \\\ α & , & x = 0 \\\ \frac{β \sqrt{1-\cos x}}{x} & , & x>0 \end{matrix} \right.\) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ α, β ∈ R है। यदि x = 0 पर f सतत है, तब α2 + β2 का मान किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक फलन y = f(x) को बिंदु x = a पर सतत कहा जाता है यदि \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)\) = f(a)
\(\lim_{x\to a}{\sin x\over x}\) = 1
स्पष्टीकरण:
LHL = f(0-) = \(\lim_{x\to0}{1-\cos2x\over x^2}\) = \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x}{x^2}\) = 2\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} (\frac{\sin x}{x})^2\) = 2
RHL = f(0+) = \(\lim_{x\to0}\frac{β √{1-\cos x}}{x} \)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} β √{2} \frac{\sin \frac{x}{2}}{2\frac{x}{2}} = \frac{β}{√{2}}\)
चूँकि x = 0 पर f(x) सतत है।
इसलिए, LHL = RHL = f(0)
अर्थात, 2 = \({β\over √2}\) = α
इसलिए, α = 2 और β = 2√2
∴ \(α^2 + β^2 = 4 + 8 = 12\)
अतः विकल्प (2) सही है।
यदि \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{{{\rm{x}}^2} - 9}}{{{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3}}\), x ≠ 3, x = 3 पर निरंतर है तो निम्न में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
- a2 - b2 = (a - b) (a + b)
गणना:
दिया हुआ है कि
\(\Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{{{\rm{x}}^2} - 9}}{{{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3}}\)
\(\Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}}{{{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + {\rm{x}} - 3}}\) [∵ a2 - b2 = (a-b) (a+b)]
⇒ \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 3} \right) + 1\left( {{\rm{x}} - 3} \right)}}\)
\(\Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}}\)
⇒ \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}}\)
दिया हुआ f(x), x = 3 पर निरंतर है
\(\therefore {\rm{f}}\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 3} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to 3} \frac{{\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}} = \frac{{\left( {3 + 3} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{6}{4} = 1.5\)यदि फलन \(\rm f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + bx,\;\;}&{x < 1}\\ {5,}&{x = 1}\\ {b - ax,}&{x > 1} \end{array}} \right.\) स्थिरांक है, तो (a + b) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
फलन निरंतर होने के लिए:
LHL = RHL = f(x)
जहाँ LHL = \(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\)f(x - α) और RHL = \(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\)f(x + α)
गणना:
दिया गया है कि f(x) निरंतर फलन है
LHL = f(x) = RHL
\(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\) f(1 - α) = f(1)
\(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\) [a + b(1 - α)] = 5
\(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\) [a + b - bα] = 5
a + b = 5
माना फलन f(x) को इस रूप में परिभाषित किया गया है \(f(x)=\frac{x-|x|}{x}\), तब
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसही उत्तर विकल्प 4 है।
दिया गया है: \(f(x)=\dfrac{x-|x|}{x}\)
गणना:
⇒ \(f(x)=\dfrac{x-|x|}{x}\)
x = 2 के मान के लिए
फलन f(2)= \(\dfrac{2-|2|}{2}\) = 0
x = 0 के मान के लिए; f(0) = \(\dfrac{0-|0|}{0}\) = असंभव मूल्य
x = -2 के मान के लिए; f(-2) = \(\dfrac{-2-|-2|}{-2}\) = 2
इसलिए, x = 0 को छोड़कर x के सभी मानों के लिए फलन का कुछ निश्चित हल है।
अतः, x = 0 को छोड़कर x के सभी मानों के लिए फलन एक सतत फलन है।फलन f(x) = 1 + |sin x| है:
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFSin x
|sinx|
f(x) = 1 + |sin x| का आलेख जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:
ग्राफ से, यह स्पष्ट है कि फलन प्रत्येक जगह पर संतत है लेकिन π के समाकल गुणजों पर अवकलनीय नहीं है (∴ इन बिंदुओं पर वक्र में तीक्ष्ण मोड़ हैं)।
f(x) = e-|x| के लिए निम्नलिखित कथनों पर विचार करें;
1. फलन x = 0 पर निरंतर है।
2. फलन x = 0 पर अवकलनीय है।
उपरोक्त कथनों में से कौन सा/से सही है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity of a function Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
f(x) = |x| ⇒ f(x) = x if x > 0 और f(x) = -x, x < 0
एक फलन f(x), x = a पर निरंतर है यदि \(\rm\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=lim _{x \rightarrow a} f(x)\)
एक फलन f(x), x = a पर अवकलनीय होता है यदि LHD = RHD
\(\begin{array}{l} \rm L H D=\lim _{x \rightarrow a^{-}}f'(x)=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \\ \rm R H D=\lim _{x \rightarrow a^{+}}f'(x)=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{array}\)
गणना:
यहाँ, f(x) = e-|x|
\(\text {LHL =}\rm\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}e^{-|x|}=e^0=1\\ \text {RHL =}\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=lim _{x \rightarrow 0^+} e^{-|x|}=e^0=1\\ lim _{x \rightarrow 0}f(x)=lim _{x \rightarrow 0}e^{-|x|}=e^0=1\)
तो x = 0 पर फलन निरंतर है
f(x) = e-|x|
x < 0 के लिए f'(x) = ex और x > 0 के लिए f'(x) = -e-x
\(\rm LHD=\rm \lim _{x \rightarrow 0^{-}}f'(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}e^x=e^0=1\\ \rm RHD=\rm \lim _{x \rightarrow 0^{+}}f'(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}-e^{-x}=-e^0=-1\)
यहाँ, LHD ≠ RHD तो f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है
इसलिए, विकल्प (1) सही है।
Alternate Method फलन के लिए ग्राफ का संदर्भ,
f(x) = e-|x|
f(x) = ex x > 0 के लिए
f(x) = e-x x > 0 के लिए
f(x) = 1 x = 0 के लिए
- ग्राफ इस प्रकार हो सकता है,
- यह एक सम फलन होगा क्योंकि यह y-अक्ष के प्रति सममित है।
- हम देख सकते हैं कि फलन x = 0 पर सतत है, क्योंकि x = 0 पर कोई असतत नहीं है।
- आप देख सकते हैं कि ग्राफ़ के लिए x = 0 पर एक नुकीला कोना है इसलिए यह x = 0 पर अवकलनीय नहीं है
- इसलिए, विकल्प (1) सही है।