Continuity of a function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuity of a function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

x = a पर फलन  f(x) संतत है, यदि \(\lim_{x\to a^{-}}\) f(x) = \(\lim_{x\to a^{+}}\)f(x) = f(a).

गणना:

दिया है: f(x) = \(\left\{\begin{array}{l}\rm mx+1, \text { if } x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin \rm x+n, \text { if } x>\frac{\pi}{2}\end{array}\right.\)

f(\(\frac{π}{2}\)) = m × \(\frac{π}{2}\) + 1

बाएँ पक्ष की सीमा = \(\lim_{h\to0}f(\frac{π}{2}-h)\,\)

\(=\,\lim_{h\to0}\,m\times \left(\frac{π}{2}-h\right) + 1 \)

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

बाएँ पक्ष की सीमा = m × \(\frac{π}{2}\) + 1

दाएँ पक्ष की सीमा = \(\lim_{h\to0}f(\frac{π}{2}+h)\,\)

\(=\,\lim_{h\to0}\,\sin\left(\frac{π}{2}+h\right) +n\)

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

 \(=\sin \frac{π}{2}+n\)

दाएँ पक्ष की सीमा = 1 + n

x = \(\frac{π}{2}\) पर फलन के संतत होने के लिए, 

बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = f(π/2)

⇒ m× \(\frac{π}{2}\) + 1 = 1 + n

⇒ n = \(\frac{mπ}{2}\)

सही उत्तर n = = \(\frac{mπ}{2}\) है। 

संकल्पना:

यदि कोई फलन किसी बिन्दु a पर सतत है, तो

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)\)

sin(∞) = a, जहाँ -1≤ a ≤ 1

गणना:

दिया गया है:

f(0) = 1

f(x) = x sin (1/x)

x = 0 पर सांतत्यता की जाँच करने पर

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = f(0)\)

बायाँ पक्ष 

= 0 × sin(∞)

= 0 

दायाँ पक्ष

= f(0) = 1

बायाँ पक्ष ≠ दायाँ पक्ष

अतः, x = 0 पर फलन असंतत है।

अवधारणा:

यदि कोई फलन x = a पर संतत है, तो L.H.L = R.H.L = f(a) 

 x = a  पर f(x) की बाएँ  पक्ष की सीमा (L.H.L)  \(\lim_{h\to0}\,f(a-h)\) है 

 x = a पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.L)  \(\lim_{h\to0}\,f(a+h)\) है 

गणना:

अवधारणा:

फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि

 f(a-) = f(a) = f(a+)

गणना:

दिया गया है, f(x) = |x| 

x ≥ 0 के लिए, f(x) = x

और x < 0 के लिए, f(x) = - x 

तो x > 0 और x < 0 के लिए फलन सतत है

x = 0 पर, 

f(0-) = f(0) = f(0+) = 0

⇒ f(x), x = 0 पर सतत है

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

अवधारणा:

फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि

 f(a-) = f(a) = f(a+)

गणना:

दिया गया है, f(x) = |x| 

x ≥ 0 के लिए, f(x) = x

और x < 0 के लिए, f(x) = - x 

तो x > 0 और x < 0 के लिए फलन सतत है

x = 0 पर, 

f(0-) = f(0) = f(0+) = 0

⇒ f(x), x = 0 पर सतत है

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

परिभाषा:

• यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख बिंदु x = a पर एकल अखंडित वक्र है, तो फलन f(x) को इसके डोमेन में उस बिंदु पर निरंतर कहा जाता है।
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).

सूत्र:

• \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)
• \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\)

गणना:

चूँकि f(x), x = 0 पर निरंतर है, इसलिए, \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\)  है।

साथ ही, \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)\) है, क्योंकि f(x), x > 0 और x < 0 के लिए समान है।

 \(\rm \therefore \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\)

\(\rm \Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{e^{2x}-1}=k-2\)

\(\rm \Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sin 3x}{3x}\times3x}{\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\times2x}=k-2\)

\(\rm \Rightarrow \dfrac{3}{2}=k-2\)

\(\rm \Rightarrow k=\dfrac{7}{2}\).

संकल्पना:

परिभाषा:

• एक फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x + a पर निरंतर कहा जाता है, यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).

गणना:

x ≠ 0 के लिए दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\rm f(x) = \left\{ \begin{matrix} \rm \frac{2x-\sin^{-1} x}{2x + \tan^{-1} x}; & \rm x \ne 0 \\ \rm K; & \rm x = 0 \end{matrix}\right.\)

चूँकि फलन का समीकरण x < 0 और x > 0 के लिए समान है, हमारे पास निम्न है:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{2x-\sin^{-1} x}{2x + \tan^{-1} x}\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2- \frac {\sin^{-1} x} x}{2 +\frac {\tan^{-1} x} x} = \frac {2-1}{2+1} = \frac 1 3\)

x = 0 पर फलन को निरंतर होने के लिए, हमारे पास निम्न होना चाहिए:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\)

⇒ K = \(\dfrac{1}{3}\)

अवधारणा:

किसी फलन के लिए f, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) मौजूद हैं

\( ⇒ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = l = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) , जहाँ l एक परिमित मान है।

किसी भी फलन का कहना है कि f को बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, अगर और केवल यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = f\left( a \right)\), जहाँ l एक परिमित मान है।

गणना:

दिया गया है कि: \(\rm f(x)= \frac{x^2+x-6}{x^2 +kx-3}\), x = 3 पर निरंतर नहीं है।

अतः, यदि कोई फलन x = a पर निरंतर नहीं है तब

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l \neq f\left( a \right)\)

तो, फलन f(x) के लिए यदि भाजक x = 3 पर 0 है तो हम कह सकते हैं कि f (3) अनंत है और सीमा मौजूद नहीं हो सकती।

माना k का मान ज्ञात करें जिसके लिए f(x) का भाजक x = 3 के लिए 0 है।

तो, x2 + kx - 3 = 0 में x = 3 प्रतिस्थापित करें

⇒ 32 + 3k - 3 = 0.

⇒ 6 + 3k = 0.

⇒ k = - 2.

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

माना कि f(x) = \(\rm \frac {p(x)}{q(x)}\) है। 

ऐसी तीन स्थितियां हैं जिसे एक संख्या a पर निरंतर होने के क्रम में फलन f(x) द्वारा पूरा होना चाहिए। 

• f(a) परिभाषित है। [आपके पास फलन में एक छिद्र नहीं हो सकता है] 
• \(\rm \lim_{x \to a} f(x)\) मौजूद है। 
• \(\rm \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

सूचना:

यदि निरंतरता की तीन स्थितियों में से किसी भी एक स्थिति का उल्लंघन होता है, तो फलन को अनिरंतर कहा जाता है। 

यदि sin x = 0 है, तो x = nπ, n ∈ Z है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = cot x

\(\rm \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

जाँच कीजिए कि हर कहाँ शून्य हो जाता है। 

sin x = 0

x = nπ, n ∈ Z

∴ दिया गया फलन x = nπ पर अनिरंतर है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

Important Points

• उस परिमेय समीकरण के साथ कार्य करने पर जिसमें अंश और हर दोनों निरंतर होते हैं। 
• केवल वह बिंदु जिसमें परिमेय समीकरण अनिरंतर होगा जहाँ हर शून्य हो जाती है। 

अवधारणा:

एक फलन y = f(x) को बिंदु x = a पर सतत कहा जाता है यदि \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)\) = f(a)

\(\lim_{x\to a}{\sin x\over x}\) = 1

स्पष्टीकरण:

LHL = f(0^-) = \(\lim_{x\to0}{1-\cos2x\over x^2}\) = \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x}{x^2}\) = 2\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} (\frac{\sin x}{x})^2\) = 2

RHL = f(0⁺) = \(\lim_{x\to0}\frac{β √{1-\cos x}}{x} \)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} β √{2} \frac{\sin \frac{x}{2}}{2\frac{x}{2}} = \frac{β}{√{2}}\)

चूँकि x = 0 पर f(x) सतत है।

इसलिए, LHL = RHL = f(0)

अर्थात, 2 = \({β\over √2}\) = α

इसलिए, α = 2 और β = 2√2

∴ \(α^2 + β^2 = 4 + 8 = 12\)

अतः विकल्प (2) सही है। 

धारणा:

• a² - b² = (a - b) (a + b)

गणना:

दिया हुआ है कि

\(\Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{{{\rm{x}}^2} - 9}}{{{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3}}\)

\(\Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}}{{{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + {\rm{x}} - 3}}\) [∵ a² - b² = (a-b) (a+b)]

⇒ \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 3} \right) + 1\left( {{\rm{x}} - 3} \right)}}\)

\(\Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}}\)

⇒ \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}}\)

दिया हुआ f(x), x = 3 पर निरंतर है

अवधारणा:

फलन निरंतर होने के लिए:

LHL = RHL = f(x)

जहाँ LHL = \(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\)f(x - α) और RHL = \(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\)f(x + α)

गणना:

दिया गया है कि f(x) निरंतर फलन है

LHL = f(x) = RHL

\(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\) f(1 - α) = f(1)

\(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\) [a + b(1 - α)] = 5

\(\rm\mathop {\lim }\limits_{α \to 0}\) [a + b - bα] = 5

a + b = 5

सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है: \(f(x)=\dfrac{x-|x|}{x}\)

गणना:

⇒ \(f(x)=\dfrac{x-|x|}{x}\)

x = 2 के मान के लिए

फलन f(2)= \(\dfrac{2-|2|}{2}\) = 0

x = 0 के मान के लिए; f(0) = \(\dfrac{0-|0|}{0}\) = असंभव मूल्य

x = -2 के मान के लिए; f(-2) = \(\dfrac{-2-|-2|}{-2}\) = 2

इसलिए, x = 0 को छोड़कर x के सभी मानों के लिए फलन का कुछ निश्चित हल है।

Sin x

|sinx|

f(x) = 1 + |sin x| का आलेख जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

ग्राफ से, यह स्पष्ट है कि फलन प्रत्येक जगह पर संतत है लेकिन π के समाकल गुणजों पर अवकलनीय नहीं है (∴ इन बिंदुओं पर वक्र में तीक्ष्ण मोड़ हैं)।

संकल्पना:

f(x) = |x| ⇒ f(x) = x if x > 0 और f(x) = -x, x < 0

एक फलन f(x), x = a पर निरंतर है यदि \(\rm\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=lim _{x \rightarrow a} f(x)\)

एक फलन f(x), x = a पर अवकलनीय होता है यदि LHD = RHD

\(\begin{array}{l} \rm L H D=\lim _{x \rightarrow a^{-}}f'(x)=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \\ \rm R H D=\lim _{x \rightarrow a^{+}}f'(x)=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{array}\)

गणना:

यहाँ, f(x) = e-|x| 

\(\text {LHL =}\rm\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}e^{-|x|}=e^0=1\\ \text {RHL =}\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=lim _{x \rightarrow 0^+} e^{-|x|}=e^0=1\\ lim _{x \rightarrow 0}f(x)=lim _{x \rightarrow 0}e^{-|x|}=e^0=1\)

तो x = 0 पर फलन निरंतर है

f(x) = e-|x| 

x < 0 के लिए f'(x) = ex और x > 0 के लिए f'(x) = -e-x

\(\rm LHD=\rm \lim _{x \rightarrow 0^{-}}f'(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}e^x=e^0=1\\ \rm RHD=\rm \lim _{x \rightarrow 0^{+}}f'(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}-e^{-x}=-e^0=-1\)

यहाँ, LHD ≠ RHD तो f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

Alternate Method फलन के लिए ग्राफ का संदर्भ,

 f(x) = e-|x| 

 f(x) = ex x > 0 के लिए

 f(x) = e-x x > 0 के लिए

 f(x) = 1 x = 0 के लिए

• ग्राफ इस प्रकार हो सकता है,

• यह एक सम फलन होगा क्योंकि यह y-अक्ष के प्रति सममित है।
• हम देख सकते हैं कि फलन x = 0 पर सतत है, क्योंकि x = 0 पर कोई असतत नहीं है।
• आप देख सकते हैं कि ग्राफ़ के लिए x = 0  पर एक नुकीला कोना है इसलिए यह x = 0 पर अवकलनीय नहीं है
• इसलिए, विकल्प (1) सही है।