Composition of Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Composition of Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

fog(x) =cos 2 √x और go f(x) = |cos x|.

यदि हम विकल्प (c) लेते हैं,

⇒ f(x) = cos² x; तब g(x) = √x

⇒ fog(x) = cos 2 √x और go f(x) = \(√{cos^2x}\)

= |cos²x|

तब f(x) = cos² x

यदि f(x) = cos² x तब g(x) = √ x

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

fog(x) =cos 2 √x और go f(x) = |cos x|.

यदि हम विकल्प (c) लेते हैं,

⇒ f(x) = cos² x; तब g(x) = √x

⇒ fog(x) = cos 2 √x और go f(x) = \(\sqrt{cos^2x}\)

= |cos²x|

तब f(x) = cos² x

∴ विकल्प (c) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) = 9x - 8√x

g(x) = f(x) - 1

माना x = t²

⇒ g(t² ) = 9t² - 8t - 1 = 0

⇒ t = \(\frac{8± 10}{18} = 1, \frac{-1}{9}\)

⇒ x = 1 , 1/81

g(x) = 0 का केवल एक वास्तविक मूल है जो एक पूर्णांक है।

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है

f(x) = 4x + 1, g(x) = kx + 2

⇒ fog(x) = 4(kx + 2) + 1 = 4kx + 9

⇒ gof(x) = k(4x + 1) + 2 = 4kx + k + 2

इसलिए fog(x) = gof(x)

⇒ 9 = k + 2

⇒ k = 7

∴ विकल्प (a) सही है

गणना

दिया गया है:

\(\rm f(x)=\frac{4x+3}{6x-4}, x \ne \frac{2}{3}\)

g(x) = (fof)(x)

⇒ g(x) = f(f(x)) = \(\frac{4f(x)+3}{6f(x)-4}\) = \(\frac{4\frac{4x+3}{6x-4}+3}{6\frac{4x+3}{6x-4}-4}\) = \(\frac{16x+12+18x-12}{24x+18-24x+16}\) = \(\frac{34x}{34}\) = x

⇒ (gogog)(x) = g(g(g(x))) = g(g(x)) = g(x) = x

⇒ (gogog)(4) = 4

अतः विकल्प (4) सही है। 

अवधारणा:

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

यहाँ g का प्रक्षेत्र R है और f का प्रांत भी R है इसलिए (fog) (x) परिभाषित किया गया है

फलन का संयोजन:

(fog) (x) = f[g(x)]

गणना:

दिया हुआ, f, g : R → R, f(x) = |x| + x और g(x) = |x| - x ∀ x ∈ R द्वारा परिभाषित दो फलन हैं।

दिया हुआ, x < 0

If(x) = |x| + x और g(x) = |x| - x 

अभी, (fog) (x) = f[g(x)] = |g(x)| + g(x)

For x < 0, g(x) = - x +  x = 0

⇒ (fog) (x) = f[g(x)] = |g(x)| + g(x)

= 0 + 0 = 0

संकल्पना:

• दो फलन f(x) और g(x) के लिए (f o g)(x) को f[g(x)] के रूप में परिभाषित किया गया है। 

गणना:

f(x) = sin x और g(x) = x2

∴ (f o g)(x) = f[g(x)] = sin [g(x)] = sin (x²) = sin x²

संकल्पना:

किन्हीं दो फलनों f और g के लिए, f o g को f[g(x)] के रूप में परिभाषित किया गया है।

गणना:

दिया गया है कि,

f(x) = 4x + 3  

उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करके

⇒ fof(x) = 4(4x + 3) + 3

⇒ fof(x) = 16x + 15 

फिर से उसी अवधारणा का उपयोग करके

⇒ fofof(x) = 16(4x + 3) + 15

⇒ fofof(x) = 64x + 63

उपरोक्त फलन में x = -1 रखने पर

⇒ fofof(-1) = 64(-1) + 63 = -1

∴ f o f o f(-1), -1 के बराबर है।

संकल्पना:

फलन का संयोजन: माना कि f और g कोई फलन है, तो f ∘ g(x) = f[g(x)] है। 

गणना:

यहाँ, f(x) = \(\rm \frac{x+1}{x-1}\)

f{f(x)} = \(\rm \frac{f(x)+1}{f(x)-1}\)

= \(\rm \frac{\frac{x+1}{x-1}+1}{\frac{x+1}{x-1}-1}\)

= \(\rm \frac{2x}{2}\)

= x

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

फलन का संयोजन: माना कि f और g कोई फलन है, तो f ∘ g(x) = f[g(x)] है। 

गणना:

दिया गया है f (x) = 16x⁴ और g (x) = x^1/4 

gof (x) = g[f(x)] = \(\rm [16x^{4}]^{\frac{1}{4}}\) 

⇒ gof (x) = \(\rm [(2x)^{4}]^{\frac{1}{4}}\) 

⇒ gof (x) = 2x . 

सही विकल्प 4 है।

संकल्पना:

फलन का संयोजन: माना कि f और g कोई फलन है, तो f ∘ g(x) = f[g(x)] है। 

गणना:

दिया गया है f (x) = 8x3 और g (x) = x1/3 

gof (x) = g[f(x)] = \(\rm [8x^{3}]^{\frac{1}{3}}\) 

⇒ gof (x) = \(\rm [(2x)^{3}]^{\frac{1}{3}}\) 

⇒ gof (x) = 2x . 

अब x = 2 रखने पर 

इसलिए, gof (2) = 4 

सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

फलन का संयोजन: माना कि f, और g कोई फलन है, तो f ∘ g(x) = f[g(x)] है। 

गणना:

दिया गया है, f(x) = e^x और g(x) = loge x

अब, f ∘ g(x) = f[g(x)]

= e^g(x)

= e^loge x

= x                (∵ e^loge x = x)

f ∘ g(x) = x

x = 1 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

fog(1) = 1

संकल्पना:

फलन का संयोजन: fog(x) = f(g(x)), इसका अर्थ है कि फलन f(x) के लिए x का मान g(x) है। 

उदाहरण: माना कि  f(x ) = x + 2 और g(x) = 2x है। तो f(g(x)) = g(x) + 2 = 2x + 2 है। 

\(\log {{\bf{a}}^{\bf{n}}} = {\bf{n}}\log {\bf{a}}\)

गणना:

दिया गया है कि, f(x) = \(\log \frac{{{\rm{x}} + 4}}{{{\rm{x}} + 1}}\) और g(x) = \(2{\rm{x}} + {{\rm{x}}^2}\)

f[g(x)] = \(\log \frac{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) + 4}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) + 1}}\)

\( = \log \left( {\frac{{2{\rm{x}} + {{\rm{x}}^2} + 4{\rm{\;}}}}{{2{\rm{x}} + {{\rm{x}}^2} + 1}}} \right)\)

अतः विकल्प (4) सही है।     

Mistake Pointsविकल्प C के लिए, अंश (4x + x² + 4) होना चाहिए लेकिन इसे (2x + x² + 4) के रूप में दिया गया है। इसलिए, विकल्प 4 सही उत्तर है।

गणना:

दिया हुआ: f(x) = px + q और g(x) = mx + n

f (g(x)) = g (f(x))

⇒ f (mx + n) = g (px + q)

⇒ p (mx + n) + q = m (px + q) + n

⇒ pmx + pn + q = pmx + mq + n

⇒ pn + q = mq + n

⇒ f (n) = g (q)

∴ विकल्प 3 सही उत्तर है।

गणना:

यहाँ, f(x) + 2f(\(\rm \frac 1 x\)) = \(\rm \frac 1 x\)                ....(1)

x को \(\rm \frac 1 x\) से प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f(\(\rm \frac 1 x\)) + 2f(x) = x                          ....(2)

(1) और (2) को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

 3f(x) + 3f(\(\rm \frac 1 x\))) = x + \(\rm \frac 1 x\)               ....(3)

अब, (1) को (2) में से घटाने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f(x) - f(\(\rm \frac 1 x\)) = x - \(\rm \frac 1 x\)

3 से गुणा करने पर,

3f(x) - 3f(\(\rm \frac 1 x\)) = 3x - \(\rm \frac 3 x\)                  ....(4)

अब, (3) और (4) को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

6f(x) = 4x - \(\rm \frac 2 x\)

f(x) = \(\rm \frac{1}{3} (2x-\frac 1 x)\)

अतः, विकल्प (4) सही है।