Cartesian Product of Sets MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Cartesian Product of Sets - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒A∩B =10

अब, (A × B) ∩ (B × A) = 10² =100

इस प्रकार, A × B और B × A में 100 अवयव उभयनिष्ठ हैं।

∴ विकल्प (d) सही है

स्पष्टीकरण:

A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} और C = {4, 5, 6}

A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

A × C = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

इसलिए, (A × B) ∩ (A × C) = {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}

अतः (4) सही है।

अवधारणा का उपयोग:

"X × Y = { (a, b); a, X से संबंधित है, b, Y से संबंधित है}" दो सेटों के कार्टेशियन उत्पाद की अवधारणा है।

दो सेट एक्स और वाई का कार्टेशियन उत्पाद सभी संभावित क्रमित जोड़े का सेट है जहां पहला तत्व सेट एक्स से है और दूसरा तत्व सेट वाई से है।

अंकन |एक्स| एक सेट X की कार्डिनैलिटी को दर्शाता है, जिसका अर्थ है सेट में तत्वों की संख्या। इसी प्रकार, |Y| सेट Y में तत्वों की संख्या को दर्शाता है।

गणना:

|एक्स| = n, जिसका अर्थ है कि समुच्चय X में n तत्व हैं। |Y| = m, इसका मतलब है कि सेट Y में m तत्व हैं।

दो सेटों के कार्टेशियन उत्पाद की कार्डिनैलिटी |X × Y| प्रत्येक व्यक्तिगत सेट की कार्डिनैलिटी के उत्पाद के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सेट X के प्रत्येक तत्व के लिए, हम सेट Y के प्रत्येक तत्व के साथ एक जोड़ी बना सकते हैं।

इसलिए यदि सेट X में n तत्व हैं और सेट Y में m तत्व हैं, तो कार्टेशियन उत्पाद X × Y में संभावित युग्मों की कुल संख्या n × m होगी, अर्थात्

इसलिए, |X × Y| का मान = एन × एम = एमएन

दिया गया है:

A = [2, 5] और B = [3, 8]

गणना:

A × B = [2, 5] × [3, 8]

A × B = [(2, 3), (2, 8), (5, 3), (5, 8)]

∴ सही उत्तर 2 है। 

अवधारणा:

समुच्चयों का प्रतिच्छेदन:

माना कि A और B दो समुच्चय हैं। A और B का प्रतिच्छेदन उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो A और B दोनों समुच्चयों में मौजूद हैं।

A और B के सर्वनिष्ठ को A ∩ B द्वारा निरूपित किया जाता है

यानी A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}

प्रतिच्छेदन के लिए वेन आरेख नीचे दिखाया गया है :

कार्टेशियन गुणनफल: A × B द्वारा निरूपित दो समुच्चय A और B का कार्टेशियन गुणनफल सभी संभव क्रमबद्ध जोड़ों का समुच्चय है जहां A के अवयव पहले और B के अवयव दूसरे हैं।

सेट-बिल्डर संकेतन में A × B = {(a, b) : a ∈ A और b ∈ B}

गणना:

दिया गया: A = {1, 3, 5}, B = {4, 6} और C = {5, 6, 7}

B ∩ C = {6}

A × (B ∩ C) = {1, 3, 5} × {6}

⇒ {(1, 6) (3, 6) (5, 6)}

अवधारणा:

किसी भी दो गैर-खाली सेट A और B के लिए, हमारे पास:

• A X B = {(a, b) |  a ∈ A और b ∈ B}
• B X A = {(b, a) | a ∈ A और b ∈ B}

गणना:

दिया गया: Z = [2]

Z × Z = [2] × [2] = [2 × 2]

Z × Z × Z = [2] × [2] × [2] = [2 × 2] × [2] = [2 × 2 × 2]

Z × Z × Z × Z = [2] × [2] × [2] × [2] = [2 × 2 × 2] × [2] = [2 × 2 × 2 × 2]

संकल्पना:

गणनीयता: यह समूह में तत्वों की संख्या है। 

गणना:

यहाँ, A = [2, 3] 

A × A = [2, 3] × [2, 3]  = [(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)]

A × A × A= [2, 3] × [2, 3] × [2, 3] =  [(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)] × [2, 3]

= [(2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 3, 3), (3, 2, 2), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 3, 3)]

इसलिए, n(A× A× A) = 8

इसलिए, गणनीयता = 8 

अतः विकल्प (3) सही है।  

अवधारणा :

क्रमित युग्म समान हैं, संगत तत्व समान हैं।

(a, b) = (c, d)

तब a = c और b = d

गणना :

दिया है : (x2 - 4x + 5, y2 – 63) = (x2 + 1,1)

क्रमित युग्म समान हैं, संगत तत्व समान हैं।

x2 - 4x + 5 = x2 + 1

⇒  - 4x + 5 = 1

⇒  - 4x = - 4

⇒  x = 1

और y2 – 63 = 1

⇒  y2 = 64

⇒  y = ± 8

संकल्पना:

किसी दो गैर-रिक्त समुच्चय A और B के लिए, हमारे पास निम्न हैं:

• A ×  B = {(a, b) | a ∈ A और b ∈ B}
• B ×  A = {(b, a) | a ∈ A और b ∈ B}

 
गणना:

दिया गया है: A = {1, 4}, B = {2, 3}, C = {3, 5}

यहाँ, हमें (A × B) ∩ (A × C) ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, A × B = {(a, b) | a ∈ A और b ∈ B}

⇒ A × B = {(1, 2), (1, 3), (4, 2), (4, 3)}-----------(1)

⇒ A × C = {(1, 3), (1, 5), (4, 3), (4, 5)}-----------(2)

(1) और (2) से हम कह सकते हैं कि,

∴  (A × B) ∩ (A × C) = {(1, 3), (4, 3)}

दिया गया:

V = x (y2 - 4x2)

संकल्पना:

विभव फलन से विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम क्रमशः x, y और z के सापेक्ष आंशिक अवकलज  का उपयोग करते हैं।

सूत्र:

Ex = -δV/δx,

Ey = -δV/δy,

Ez = -δV/δz

जहाँ  δy/δx का अर्थ है अन्य चरों को स्थिर मानकर x के सापेक्ष आंशिक अवकलज ।

गणना:

V = x (y2 - 4x2)

⇒ V = xy2 - 4x3  

• Ex = -δV/δx

⇒ Ex = \(-\frac{\delta(xy^2 - 4x^3) }{\delta x}\)

= -(y2 - 12x2)

= 12x2 - y2

• Ey = -δV/δy

⇒ Ex = \(-\frac{\delta(xy^2 - 4x^3) }{\delta y}\)

= -2x

• Ez = \(-\frac{\delta(xy^2 - 4x^3) }{\delta z}\)

= 0

∴ Ex = 12x2 - y2, Ey = -2xy, Ez = 0

अवधारणा:

समुच्चयों का संघ: माना कि A और B दो समुच्चय हैं।

A और B का संघ उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो A या B या A और B दोनों के हैं।

A और B के संघ को A ∪ B द्वारा निरूपित किया जाता है।

यानी A ∪ B = {x : x ∈ A या x ∈ B}

किसी भी दो समुच्चयों के संघ के लिए वें आरेख नीचे दिखाया गया है:

कार्टेशियन गुणनफल: A × B द्वारा निरूपित दो समुच्चय A और B का कार्टेशियन गुणनफल सभी संभव क्रमबद्ध जोड़ों का समुच्चय है जहां A के तत्व पहले और B के तत्व दूसरे हैं।

सेट-बिल्डर संकेतन में A × B = {(a, b) : a ∈ A और b ∈ B}

गणना:

दिया गया: A = {1, 3, 5}, B = {4, 5} और C = {4, 5, 6}

B U C = {4, 5, 6}

A × (B U C) = {1, 3, 5} × {4, 5, 6}

⇒ {(1, 4) (1, 5) (1, 6) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (5, 4) (5, 5) (5, 6)}

संकल्पना:

किन्हीं दो अरिक्त समुच्चयों A और B के लिए, हमारे पास:

• A X B = {(a, b) | a ∈ A और b ∈ B}
• B X A = {(b, a) | a ∈ A और b ∈ B}

गणना:

दिया गया है: B = [-1, 5] 

B × B = [-1, 5] × [-1, 5]  = [(-1, -1), (-1, 5), (5, -1), (5, 5)]

B × B × B= [-1, 5] × [-1, 5] × [-1, 5] =  [(-1, -1), (-1, 5), (5, -1), (5, 5)] × [-1, 5]

= [(-1, -1, -1), (-1, -1, 5), (-1, 5, -1), (-1, 5, 5), (5, -1, -1), (5, -1, 5), (5, 5, -1), (5, 5, 5)]

अवधारणा:

क्रमबद्ध जोड़े समान हैं, संगत तत्व समान हैं।

(a, b) = (c, d)

फिर a = c और b = d

गणना:

दिया हुआ: (x2 - 3x + 5, y – 4) = (3,1)

क्रमबद्ध जोड़े समान हैं, संगत तत्व समान हैं।

x2 - 3x + 5 = 3

⇒ x2 - 3x + 2 = 0

⇒ x2 - 2x - x + 2 = 0

⇒ x(x - 2) -1(x - 2) = 0

⇒ (x - 1)(x - 2) = 0

⇒ x = 1, 2

और y - 4 = 1

⇒ y = 5

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒A∩B =10

अब, (A × B) ∩ (B × A) = 10² =100

इस प्रकार, A × B और B × A में 100 अवयव उभयनिष्ठ हैं।

∴ विकल्प (d) सही है