Classical Mechanics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Classical Mechanics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

1. पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट:
एक पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट में, गतिज ऊर्जा और संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।
चूँकि दोनों कण सर्वसम हैं और संघट्ट प्रत्यास्थ है, इसलिए संवेग और ऊर्जा के संरक्षण से अंतिम वेग और दिशाएँ निर्धारित करने में मदद मिलेगी।

2. संवेग का संरक्षण:
मान लीजिए कि प्रत्येक कण का द्रव्यमान m है।
प्रारंभ में, कण p1 v चाल से गतिमान है, जबकि p2 विरामावस्था में है।
संघट्ट के बाद, कण p1 अपनी मूल दिशा से \(60^\circ\) के एक निश्चित कोण पर गति करता है, और कण p2 भी किसी वेग से गति करेगा।

3. संघट्ट के बाद वेग संबंध:
संघट्ट के बाद, p1 का वेग दिशा बदलता है, और इसके संवेग का एक भाग p2 में स्थानांतरित हो जाता है।
पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट में दो सर्वसम कणों के लिए, यदि एक प्रारंभ में स्थिर है, तो वे संघट्ट के बाद एक दूसरे के \(90^\circ \) के कोण पर गति करते हैं।
इसका अर्थ है कि संघट्ट के बाद p1 और p2 की गति की दिशाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।

4. कण p2 की चाल:
गतिज ऊर्जा और संवेग के संरक्षण का उपयोग करके, हम दोनों कणों के वेग निर्धारित कर सकते हैं।
सर्वसम द्रव्यमानों के लिए, संघट्ट के बाद कणों के वेग इस प्रकार संतुष्ट कर सकते हैं:
संघट्ट के बाद \(p_1\) की चाल \(v_1' = \frac{v}{2}\) है।
संघट्ट के बाद \(p_2\) की चाल भी \(v_2' = \frac{v\sqrt{3}}{2}\) है।
इस प्रकार, संघट्ट के बाद \(p_2\) की चाल \(\frac{v}{2}\) नहीं है। कथन गलत है।

5. \(p_2\) की गतिज ऊर्जा:
संघट्ट के बाद \(p_2\) की गतिज ऊर्जा संबंध का उपयोग करके पाई जा सकती है:

\( K_{p_2} = \frac{1}{2} m v_2'^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{v\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{8} m v^2 \)
निकाय की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा थी:

\( K_{\text{total}} = \frac{1}{2} m v^2\)

संघट्ट के बाद \(p_2 \) के पास कुल ऊर्जा का अंश है:

\( \frac{K_{p_2}}{K_{\text{total}}} = \frac{\frac{3}{8} m v^2}{\frac{1}{2} m v^2} = \frac{3}{4}\)

इसलिए, \(p_2\) की गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा का \( \frac{1}{3} \) नहीं है। यह कथन गलत है।

6. गति की लंबवत दिशाएँ:
जैसा कि पहले बताया गया है, संघट्ट के बाद, दो कण ऐसी दिशाओं में गति करते हैं जो एक दूसरे के लंबवत होती हैं।
यह कथन सही है।

7. कुल गतिज ऊर्जा:
चूँकि संघट्ट पूर्णतः प्रत्यास्थ है, इसलिए निकाय की कुल गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।
यह कथन सही है।

∴ सही उत्तर: विकल्प 3 (1 - a, 2 - b, 3 - c, 4 - d) है।

संप्रत्यय:

जब दो घूर्णन चकती संयुक्त होती हैं, तो कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। चकती के संयोजन से पहले कुल कोणीय संवेग, चकती के संयोजन के बाद कुल कोणीय संवेग के बराबर होता है।

निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग पहली चकती का कोणीय संवेग है:

L_{प्रारंभिक} = I₁ × ω

चकती के संयोजन के बाद, अंतिम कोणीय संवेग है:

L_{अंतिम} = (I₁ + I₂) × ω_{अंतिम}

कोणीय संवेग के संरक्षण का उपयोग करने पर: L_{प्रारंभिक} = L_{अंतिम}, हमें मिलता है:

I₁ × ω = (I₁ + I₂) × ω_{अंतिम}

ω_{अंतिम} के लिए हल करने पर:

ω_{अंतिम} = I₁ × ω / (I₁ + I₂)

निष्कर्ष:

संयोजन का अंतिम कोणीय वेग ω_{अंतिम} = I₁ × ω / (I₁ + I₂) है। विकल्प 4 सही है।

गणना:

दिया गया है:

क्षेत्रीय द्रव्यमान घनत्व, σ = M / (16 R²) (∵ क्षेत्रफल = 4R × 4R = 16R²)

प्रत्येक छेद का द्रव्यमान, m₁ = σ × π R²

= (M / 16 R2) × π R2

= (π M) / 16

प्लेट के केंद्र और छेद के केंद्र के बीच की दूरी:

x = √ [(2R)² + (2R)²] / 2

= (2 √2 R) / 2

Z-अक्ष के परितः एक छेद का जड़त्व आघूर्ण:

I₁ = (1/2) m₁ R² + m₁ x²

= (5 π M R²) / 32

Z-अक्ष के परितः पूरी प्लेट का जड़त्व आघूर्ण:

I = (M (4 R)²) / 6

= (8 / 3) M R²

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण:

I₀ = I - 4 I₁

= [(8 / 3) - 4 (5 π / 32)] M R²

= [(8 / 3) - (5 π / 8)] M R²

दिया गया है, R = 5 cm और M = 1 kg

इसलिए,

I₀ = [(8 / 3) - (5 π / 8)] × 1 × 25 × 10^-4

= 0.0017 kg·m²

∴ आवश्यक जड़त्व आघूर्ण 0.0017 kg·m² है।

अवधारणा:

L = L₀ √(1 - v²/C²)

• विशिष्ट आपेक्षिकता में, v वेग से गतिमान वस्तु गति की दिशा में **लंबाई संकुचन** से गुजरती है।
• संकुचित लंबाई L सूत्र द्वारा दी जाती है:
• y-अक्ष के अनुदिश लंबाई घटक अपरिवर्तित रहता है।
• हम x और y के अनुदिश लंबाई घटकों को हल करते हैं और x-घटक पर लंबाई संकुचन लागू करते हैं।

गणना:

अपने विरामस्थ तंत्र में मीटर की छड़ की लंबाई, L₀ = 1 m

x-अक्ष के साथ कोण, θ = 45°

छड़ का वेग, v = (1/√2) C

प्रकाश की चाल, C

⇒ विरामस्थ तंत्र में लंबाई के घटक:

L₀ₓ = L₀ cos(θ) = 1 × cos 45° = 1/√2

L₀ᵧ = L₀ sin(θ) = 1 × sin 45° = 1/√2

⇒ x-दिशा में लंबाई संकुचन:

Lₓ = L₀ₓ √(1 - v²/C²)

⇒ Lₓ = (1/√2) √(1 - (1/2))

⇒ Lₓ = (1/√2) × (√1/√2) = 1/2

⇒ फ्रेम S में कुल लंबाई:

L = √(Lₓ² + L₀ᵧ²)

⇒ L = √((1/2)² + (1/√2)²)

⇒ L = √(1/4 + 1/2)

⇒ L = √(3/4)

⇒ L = √3 / 2

∴ फ्रेम S में छड़ की लंबाई √3/2 मीटर है।

गणना:

प्रयोगशाला फ्रेम में 0.9c की चाल से विपरीत दिशाओं में गतिमान दो कणों के सापेक्ष वेग की गणना करने के लिए, हम आपेक्षिकीय वेग योग सूत्र का उपयोग करते हैं:

\(v_{\text{relative}} = \frac{v_1 - v_2}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}}\)

यह दिया गया है कि दोनों कण \(v_1 = 0.9c \) और \(v_2 = -0.9c\) पर गतिमान हैं, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

\(v_{\text{relative}} = \frac{0.9c - (-0.9c)}{1 - \frac{(0.9c)(-0.9c)}{c^2}}\)

समीकरण को सरल करने पर:

\(v_{\text{relative}} = \frac{1.8c}{1 - (-0.81)} = \frac{1.8c}{1 + 0.81} = \frac{1.8c}{1.81}\)

\(v_{\text{relative}} \approx 0.9945c\)

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Key Points

• जब कोई वस्तु त्वरण से गुजरती है, तब इसका अर्थ है कि उसके वेग में परिवर्तन होता है। वेग में यह परिवर्तन गति, दिशा या दोनों के संदर्भ में हो सकता है।
• इस पर हमेशा एक बल कार्य करता है:
  • यह कथन सामान्यतः सत्य है।
  • न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान (F = ma) के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
  • इसलिए, यदि त्वरण है, तंब वस्तु पर कोई बल अवश्य कार्य करेगा।

Additional Information

• त्वरण भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो समय के संबंध में वेग में परिवर्तन की दर का वर्णन करती है।
• वेग एक सदिश राशि है, अर्थात इसमें परिमाण (गति) और दिशा दोनों होते हैं। इसलिए, गति, दिशा या दोनों में कोई भी परिवर्तन त्वरण कहलाता है।
• त्वरण (a) का सूत्र a = F/m है जहां a त्वरण है। F किसी वस्तु पर लगने वाला कुल बल है और m वस्तु का द्रव्यमान है।
• यह सूत्र बताता है कि किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• सरल शब्दों में, यदि आप किसी वस्तु पर बल लगाते हैं, तब उसमें तेजी आएगी, और यदि बल अधिक मजबूत है या वस्तु का द्रव्यमान कम है तब त्वरण ज्यादा होगा।
• त्वरण विभिन्न रूपों में हो सकता है:
  • रैखिक त्वरण: एक सीधी रेखा में गति में परिवर्तन।
  • कोणीय त्वरण: घूर्णी गति या दिशा में परिवर्तन।
  • अभिकेंद्रीय त्वरण: वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण।
• त्वरण सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है:
  • सकारात्मक त्वरण: सकारात्मक दिशा में गति बढ़ाना।
  • नकारात्मक त्वरण (मंदन): धीमा होना या विपरीत दिशा में चलना।
• गुरुत्वाकर्षण एक सामान्य बल है जो त्वरण उत्पन्न करता है। पृथ्वी की सतह के निकट, मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का अनुभव करती हैं, जिसे g (लगभग 9.8 m/s²) के रूप में दर्शाया जाता है।

Concept:

Projectile motion is the motion of an object thrown or projected into the air, subject to only the acceleration of gravity. The object is called a projectile, and its path is called its trajectory.

Calculation:

v = \(\sqrt{2gh} \) and v = e\(\sqrt{2gh} \)

0 = (ev)² - 2gh₁

h₁ = \({e^2 × 2gh\over 2g}\) = e²h

Similarly, h₂ = e⁴h

H = h + 2h₁ + 2h₂ +...∞ 

= h + 2(e²h + e⁴h + ... ∞)

= h + 2e²h(\({1\over 1-e^2}\))

= h × (\({1+ e^2 \over 1-e^2}\))

The coefficient of restitution between the ball and the floor is 0.5.

e = 0.5

H = 5h/3

The correct answer is option (2).

संप्रत्यय:

हम यहाँ केप्लर के नियम का उपयोग कर रहे हैं जो बताता है कि सूर्य से ग्रह तक खींचा गया त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रों को पार करता है।

• \(\frac{dA}{dT}=\frac{L}{2m}=\frac{A} {T}=constant\)

व्याख्या:

केप्लर के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,

• \(\frac{dA}{dT}=\frac{L}{2m}=\frac{A} {T}=constant\)
• \(A_1=\frac {\pi ab}{2}+2\times\frac{1}{2}\times b\times c\)

उत्केन्द्रता(e)\(=\frac {c}{a}\)=>\(c=ea\)

• \(A_1=\frac {\pi ab}{2}+eba=ab(\frac {\pi} {2}+e)\)
• \(A_2=\pi ab-ab(\frac {\pi}{2}+e)=ab(\frac {\pi} {2}-e)\)

अब,

• \(\frac{T_1}{T_2}=\frac{A_1}{A_2}\)
• \(\frac{T_1}{T_2}=\frac {ab(\frac {\pi}{2}+e)} {ab(\frac {\pi}{2}-e)}=\frac {(\frac {\pi}{2}+e)} {(\frac {\pi}{2}-e)}\)
• \(T_1=\frac {\frac{\pi }{2}+e}{\pi}, T_2=\frac {\frac{\pi }{2}-e}{\pi}\)
• \(T_1-T_2=\frac{2e}{\pi}=\frac {2\times0.0167\times 365}{3.14}\approx3.9 days.\)

Concept:

The Lagranges equation of motion of a system is given by

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{q}} - {\partial L \over \partial q} = 0\)

Calculation:

The Lagrangian L depends on 

L(x,y,\(̇ x\),\(̇ y\))

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{x}} - {\partial L \over \partial x} = 0\)

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{ y}} - {\partial L \over \partial y} = 0 \)

L^' = L(x,y,\(\dot x\),\(\dot{y}\))

\({d' \over dt'} {\partial L' \over \partial x} - {\partial L' \over \partial x} = ​​{d \over dt} {\partial L \over \partial x} - {\partial L \over \partial x}+ \ddot{y} = 0\)

⇒\(\dot{y} = c_1\)

Similarly \(\dot{x} = c_2\)

The correct answer is option (2).

Consider:

Let us consider the potential be V and distance be x.

If V ∝ xn

∴ T ∝ E1/n - 1/2 

Calculation:

V = A|x|

V ∝ x1 

∴ n = 1

∴ T ∝ E1-1/2

∝ E1/2 

Total energy = Eα

α = 1/2

The correct answer is option (2).

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Key Points

• जब कोई वस्तु त्वरण से गुजरती है, तब इसका अर्थ है कि उसके वेग में परिवर्तन होता है। वेग में यह परिवर्तन गति, दिशा या दोनों के संदर्भ में हो सकता है।
• इस पर हमेशा एक बल कार्य करता है:
  • यह कथन सामान्यतः सत्य है।
  • न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान (F = ma) के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
  • इसलिए, यदि त्वरण है, तंब वस्तु पर कोई बल अवश्य कार्य करेगा।

Additional Information

• त्वरण भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो समय के संबंध में वेग में परिवर्तन की दर का वर्णन करती है।
• वेग एक सदिश राशि है, अर्थात इसमें परिमाण (गति) और दिशा दोनों होते हैं। इसलिए, गति, दिशा या दोनों में कोई भी परिवर्तन त्वरण कहलाता है।
• त्वरण (a) का सूत्र a = F/m है जहां a त्वरण है। F किसी वस्तु पर लगने वाला कुल बल है और m वस्तु का द्रव्यमान है।
• यह सूत्र बताता है कि किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• सरल शब्दों में, यदि आप किसी वस्तु पर बल लगाते हैं, तब उसमें तेजी आएगी, और यदि बल अधिक मजबूत है या वस्तु का द्रव्यमान कम है तब त्वरण ज्यादा होगा।
• त्वरण विभिन्न रूपों में हो सकता है:
  • रैखिक त्वरण: एक सीधी रेखा में गति में परिवर्तन।
  • कोणीय त्वरण: घूर्णी गति या दिशा में परिवर्तन।
  • अभिकेंद्रीय त्वरण: वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण।
• त्वरण सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है:
  • सकारात्मक त्वरण: सकारात्मक दिशा में गति बढ़ाना।
  • नकारात्मक त्वरण (मंदन): धीमा होना या विपरीत दिशा में चलना।
• गुरुत्वाकर्षण एक सामान्य बल है जो त्वरण उत्पन्न करता है। पृथ्वी की सतह के निकट, मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का अनुभव करती हैं, जिसे g (लगभग 9.8 m/s²) के रूप में दर्शाया जाता है।

Concept:

Projectile motion is the motion of an object thrown or projected into the air, subject to only the acceleration of gravity. The object is called a projectile, and its path is called its trajectory.

Calculation:

v = \(\sqrt{2gh} \) and v = e\(\sqrt{2gh} \)

0 = (ev)² - 2gh₁

h₁ = \({e^2 × 2gh\over 2g}\) = e²h

Similarly, h₂ = e⁴h

H = h + 2h₁ + 2h₂ +...∞ 

= h + 2(e²h + e⁴h + ... ∞)

= h + 2e²h(\({1\over 1-e^2}\))

= h × (\({1+ e^2 \over 1-e^2}\))

The coefficient of restitution between the ball and the floor is 0.5.

e = 0.5

H = 5h/3

The correct answer is option (2).