Angular Momentum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Angular Momentum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग (L) स्थिति सदिश (r) और रेखीय संवेग (p) के सदिश गुणन द्वारा दिया जाता है। किसी कण पर कार्य करने वाले बल F के लिए, कोणीय संवेग के समय परिवर्तन की दर निम्न द्वारा दी जाती है:

dL/dt = r x F

कोणीय संवेग के संरक्षित होने के लिए, समय अवकलज शून्य होना चाहिए:

r x F = 0

यदि उपरोक्त शर्त संतुष्ट होती है, तो मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग संरक्षित होता है।

गणना:

दिया गया बल F = αi + 3j और स्थिति सदिश r = 2i - 6j - 12k है।

r और F का सदिश गुणन है:

r x F = (2i - 6j - 12k) x (αi + 3j + 6k)

सदिश गुणन के गुणधर्मों का उपयोग करके और प्रत्येक घटक की गणना करने पर:

r × F = (2 × 3 - (-6) × α)i + ((-6) × α - 2 × 3)j + ((2 × 3) - (-6) × α)k

r × F = (6 + 6α)i + (-6α - 6)j + (6 + 6α)k

कोणीय संवेग के संरक्षित होने के लिए, r x F = 0, जो समीकरणों का निम्नलिखित निकाय देता है:

6 + 6α = 0,

-6α - 6 = 0,

6 + 6α = 0.

इन समीकरणों को हल करने पर, हम α = -1 पाते हैं।

∴ सही उत्तर विकल्प 4: α = -1 है। 

अवधारणा:

जब किसी कण पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा होता है, तो केंद्रीय बल के साथ घूमने वाले कण का कोणीय संवेग नियत रहता है।

गणना:

केंद्रीय बल के अधीन घूमने वाले कण के लिए, कोणीय संवेग इस तथ्य के कारण नियत रहता है कि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है। यह कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम पर आधारित एक मौलिक अवधारणा है।

सही विकल्प: विकल्प 4: शून्य बल आघूर्ण है। 

गणना:

केंद्र (O) के चारों ओर छड़ की MI = \(\frac{m L^{2}}{12}+m\left(L+\frac{L}{2}\right)^{2}\)

\(I_{0}=\frac{7 m L^{2}}{3}\)

चूँकि छड़ 'O' के चारों ओर शुद्ध घूर्णन में है

तो, कोणीय आवेग = \(\rm P\left(x+\frac{3 L}{2}\right)=I_{0} \omega_{0} \quad ...(i)\)

तथा रैखिक आवेग = mv _c ...(ii)

जहाँ V _c = \(\rm \frac{3 L}{2} \omega_{0} \quad ...(iii)\)

\(\text { (20m (i)) } m\left(\frac{3 L}{2} \omega_{0}\right)\left(x+\frac{3 L}{2}\right)=\frac{7}{3} m L^{2} \cdot \omega_{0}\)

\(x+\frac{3 L}{2}=\frac{14}{0} L\)

\(x=\frac{L}{18}\)

हल:

τ = Iα = fr

= (Ml² / 3) × α = mg sin θ × (l / 2)

⇒ α = (3g sin θ) / (2l)

अवधारणा:

इस समस्या में कोणीय संवेग के संरक्षण का समावेश है। जब चूहा पंखे पर कूदता है, तो निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है, जिससे कोणीय वेग कम हो जाता है। कोणीय वेग में आंशिक क्षय की गणना निकाय के प्रारंभिक और अंतिम कोणीय वेगों के आधार पर की जाती है।

कोणीय संवेग का संरक्षण:

निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग है:

\( L_{\text{initial}} = I \omega_{\text{initial}} \)

अंतिम कोणीय संवेग, जब द्रव्यमान $m$ का चूहा त्रिज्या $R$ पर पंखे पर कूदता है, है:

\( L_{\text{final}} = (I + mR^2) \omega_{\text{final}} \)

कोणीय संवेग के संरक्षण से:

\( L_{\text{initial}} = L_{\text{final}} \)

कोणीय संवेग के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करें:

\( I \omega_{\text{initial}} = (I + mR^2) \omega_{\text{final}} \)

कोणीय वेग अनुपात:

प्रारंभिक कोणीय वेग के लिए अंतिम कोणीय वेग के अनुपात को ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें:

\( \frac{\omega_{\text{final}}}{\omega_{\text{initial}}} = \frac{I}{I + mR^2} \)

कोणीय वेग में आंशिक क्षय:

कोणीय वेग में आंशिक क्षय इस प्रकार दिया गया है:

\( \text{Fractional loss} = 1 - \frac{\omega_{\text{final}}}{\omega_{\text{initial}}} \)

अनुपात को प्रतिस्थापित करें:

\( \text{Fractional loss} = 1 - \frac{I}{I + mR^2} = \frac{mR^2}{I + mR^2} \)

कोणीय वेग में आंशिक क्षय है: $\frac{mR^2}{I + mR^2}$

सही उत्तर विकल्प 4 है अर्थात L = √(2EI)

अवधारणा:

• निकाय के कोणीय संवेग को, जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
  • कोणीय संवेग भी संवेग के संरक्षण के नियम का पालन करता है अर्थता पहले और बाद का कोणीय संवेग संरक्षित होता है।

कोणीय संवेग L = I × ω 

घूर्णन गतिज ऊर्जा: घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के लिए, घूर्णन गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:

 \(KE = \frac{1}{2} Iω^2\)

जहां I जड़त्व आघूर्ण है, ω कोणीय वेग है।

गणना:

कोणीय संवेग L = I × ω      ----(1) 

घूर्णन गतिज ऊर्जा = \(E = \frac{1}{2} Iω^2\) ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{2E}{I}}\)      ----(2)

(2) को (1) में रखने पर हमें प्राप्त होगा -

L = I × \(\sqrt{\frac{2E}{I}}\)= √(2EI)

अवधारणा:

• किसी अक्ष के अनुरूप घूमने वाले कण के कोणीय संवेग को उस अक्ष के कण के रैखिक संवेग के आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह रैखिक संवेग और घूर्णन अक्ष से इसकी क्रिया की लंबवत दूरी के गुणनफल रूप में मापा जाता है।

L = pd

जहां p=रैखिक संवेग और d = घूर्णन अक्ष से कार्रवाई रेखा की लंबवत दूरी।

कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण के बीच संबंध है-

L = Iω

जहां मैं I  =जड़त्व आघूर्ण, L = कोणीय संवेग, और ω =कोणीय वेग।

गणना:

दिया गया है:

वलय का द्रव्यमान  (M) = 5 kg, वलय का व्यास (d) = 20 cm, वलय की त्रिज्या (r) = 10 cm = 10^-1 m 

\(\nu= 4200rpm=\frac{4200}{60} \,rps=70 \,rps\)

एक समान वृत्ताकार वलय की जड़ता का क्षण है

\(⇒ I = MR^2\)

\(⇒ I = 5\times 10^{-2}\)

कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण के बीच संबंध है-

 ⇒  L = Iω 

\(\Rightarrow L =5\times 10^{-2}\times \frac{2\times 22\times 70}{7}\)

\(=2200\times 10^{-2}=22\, kgm^2/s\)

अवधारणा:

कोणीय संवेग

• यह एक घूर्णन निकाय का गुणधर्म है और इसे घूर्णन निकाय के जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
•  यह एक सदिश राशि है

​\(\Rightarrow \vec{L}=I\times\vec{\omega}\)     

जहाँ I = जड़त्व आघूर्ण और ω = कोणीय वेग

व्याख्या:

• गणितीय रूप से, कोणीय संवेग इस के रूप में लिखा जाता है

\(\Rightarrow \vec{L}=I\times\vec{\omega}\)     -----(1)

• चूंकि कोणीय वेग घूर्णन अक्ष के साथ काम करता है, इसलिए समीकरण 1 से यह स्पष्ट है कि कोणीय संवेग घूर्णन अक्ष के साथ भी कार्य करेगा।
• इसलिए, विकल्प 3 सही है।

सही उत्तर विकल्प 2 है) अर्थात 1.2 kg m2 s-1

अवधारणा:

• कोणीय संवेग: किसी दृढ़ वस्तु के कोणीय संवेग को जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह एक दृढ़ निकाय की घूर्णी गति से संबंधित है।
  • कोणीय संवेग भी संवेग के संरक्षण के नियम का पालन करता है अर्थात कोणीय संवेग पहले और बाद में संरक्षित होता है।
  • कोणीय गति को दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

दूरी r पर एक निश्चित बिंदु के चारों ओर त्वरण करने वाली एक बिंदु वस्तु के लिए:

L = r × mv

एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमने वाली वस्तु के लिए:

L = I × ω

जहाँ I जड़त्व आघूर्ण है, m कण का द्रव्यमान है, v वेग है और ω कोणीय वेग है।

गणना:

दिया गया है कि:

द्रव्यमान, m = 400 g = 0.4 kg

त्रिज्या, r = 100 cm = 1 m

कोणीय वेग, ω = 3 rad/s

चूंकि कण एक गोलाकार कक्षा में घूम रहा है, कोणीय गति L = r × mv = r mvsinθ = rm(rω)sinθ = mr ² ωsinθ

चूँकि निकाय वृत्तीय गति में है, वेग सदिश वृत्त की परिधि के स्पर्शरेखा है। इस प्रकार, r और v के बीच के कोण θ = 90∘  है

⇒ L = mr2ωsinθ = 0.4 × (1)2 × 3 × sin90∘ = 1.2 kg m2 s-1

अवधारणा:

कोणीय संवेग (L) :

• दृढ निकाय के कोणीय गति को जड़त्वाघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

कोणीय संवेग (L) = जड़त्वाघूर्ण (I) × कोणीय वेग (L)
\(⇒ L = Iω \)

जहां I = जड़त्व आघूर्ण और ω =कोणीय वेग

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम:

• जब किसी दिए गए अक्ष के ओर एक निकाय पर काम करने वाला शुद्ध बाहरी बलाघूर्ण शून्य होता है, तो उस अक्ष के ओर निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

⇒ I1ω1 = I2ω2

व्याख्या:

• यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी बल आघूर्ण शून्य है, तो इसका  कोणीय संवेग स्थिर रहता है। इसलिए विकल्प 2 सही है।
• यह कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

हम जानते है कि dL/dt = I × α = τnet

जहाँ, L = कोणीय संवेग, α = कोणीय त्वरण, τnet = कुल बाह्य बल आघूर्ण

यदि τnet = 0

⇒ dL/dt = 0

⇒ L = नियतांक

अवधारणा:

बल आघूर्ण

• बल आघूर्ण एक भौतिक मात्रा है जो किसी वस्तु को अक्ष के चारों ओर घूमने का कारण बन सकती है।
• बल वह है जो किसी वस्तु को रैखिक गतिज विज्ञान में तीव्रता लाने का कारण बनता है। इसी तरह, बल आघूर्ण वह है जो कोणीय त्वरण का कारण बनता है। इसलिए, बल आघूर्ण को रैखिक बल के घूर्णन समकक्ष के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
  • बल आघूर्ण एक सदिश मात्रा है।
  • इसका SI मात्रक N-m है।
• यदि F बल कोण θ पर घूर्णन के अक्ष से r दूरी पर कार्य कर रहा है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है, तो बल आघूर्ण इस प्रकार दिया गया है,

​⇒ τ = F.r.sinθ

 यदि I और α क्रमशः जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण हैं, तो निकाय पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण इस प्रकार दिया जाता है, 

⇒ τ = Iα

गणना:

दिया गया है:

I = 100 kg-m2, और τ = 50 N-m

• यदि I और α क्रमशः जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण हैं, तो निकाय पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण इस प्रकार दिया जाता है,

​⇒ τ = Iα     -----(1)

समीकरण 1 द्वारा पिंड में उत्पन्न कोणीय त्वरण इस प्रकार दिया गया है,

\(⇒ α=\frac{\tau}{I}\)

\(⇒ α=\frac{50}{100}\)

⇒ α = 0.5 rad/sec²

अत: विकल्प 2 सही है।

सही उत्तर विकल्प 4 है) यानी बाहरी बल आघूर्ण अनुपस्थित है।

अवधारणा:

• कोणीय संवेग: एक कठोर वस्तु के कोणीय संवेग को जड़ता और कोणीय वेग के जड़ता प्रवृत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है। यह एक कठोर निकाय के घूर्णन गति से संबंधित है।
  • कोणीय संवेग, संवेग के संरक्षण के नियम का पालन करता है अर्थात् कोणीय संवेग पहले और बाद में संरक्षित होता है।
  • कोणीय संवेग, L = I × ω

जहाँ I जड़त्वाघूर्ण है और ω कोणीय वेग है।

• न्यूटन के द्वितीय नियम के घूर्णी सादृश्य: यह बताता है कि एक निश्चित अक्ष के ओर एक घूर्णन प्रणाली पर बल आघूर्णों (Στ) का योग जड़त्वाघूर्ण (I) और कोणीय त्वरण (α) के गुणनफल के बराबर होता है। यह निम्न द्वारा दिया जाता है

\(Σ τ = I \times α\)

हम जानते हैं कि कोणीय वेग के परिवर्तन की दर = कोणीय त्वरण।

∴ कोणीय गति के परिवर्तन की दर, \(\frac{dL}{dt} = \frac{d(I\omega)}{dt} = I \times \frac{d\omega}{dt} = I \times α\)

⇒ Στ = I × α = \(\frac{dL}{dt}\)

व्याख्या:

हम जानते हैं, Στ = \(\frac{dL}{dt}\)

• कोणीय संवेग (L) के संरक्षण के लिए, कोणीय संवेग में परिवर्तन शून्य होना चाहिए।
• यह तभी संभव है जब Στ = 0 यानी बाहरी आघूर्णों का योग शून्य हो।

​यदि बाहरी आघूर्ण अनुपस्थित हो तो निकाय या निकायों के समूह का कुल कोणीय संवेग अपरिवर्तित रहता है। 

सही उत्तर P/m है।

Key Points

• संवेग से तात्पर्य गति की मात्रा से है जो किसी वस्तु में होती है।
  • यदि कोई वस्तु गति में है (चलती है) तो उसमें गति होती है। गति को "गति में द्रव्यमान" के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
  • सभी वस्तुओं का द्रव्यमान होता है।
• अतः, यदि कोई वस्तु गतिमान है, तो उसका संवेग होता है - गति में उसका द्रव्यमान होता है।
  • p = mv
  • इसलिए \(v = {p\over{m}}\)
    • p = गति
    • m = द्रव्यमान
    • v = वेग

अवधारणा:

• किसी अक्ष के अनुरूप घूमने वाले कण के कोणीय संवेग को उस अक्ष के कण के रैखिक संवेग के आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह रैखिक संवेग और घूर्णन अक्ष से इसकी क्रिया की रेखा की लंबवत दूरी के गुणनफल रूप में मापा जाता है।

L = pd

जहां p = रैखिक संवेग और d = घूर्णन अक्ष से इसकी क्रिया की रेखा की लंबवत दूरी।

• कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण के बीच का संबंध इस प्रकार है-

L = Iω

जहां I = जड़त्व आघूर्ण , L= कोणीय संवेग, और ω = कोणीय वेग।

व्याख्या:

• जैसा कि हम जानते हैं एक निकाय के कोणीय संवेग को इसके वेग और मूल से इसकी दूरी के अन्योन्य गुणनफल से ज्ञात किया जा सकता है।
• n कणों की एक प्रणाली पर विचार करें। माना कि \(\overrightarrow {{L_1}} \), \(\overrightarrow {{L_2}} \).......... मूल के ओर विभिन्न कणों की कोणीय गति है।
• कणों की एक प्रणाली का कोणीय संवेग प्राप्त करने के लिए, हम सभी कणों के लिए इसे जोड़ सकते हैं।

\(\Rightarrow \overrightarrow {{L}} =\overrightarrow {{L_1}} + \overrightarrow {{L_2}} -----\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {{L}} =\overrightarrow {{r_1}} \times \overrightarrow {{p_1}} +\overrightarrow {{r_2}} \times \overrightarrow {{p_2}} --------\overrightarrow {{r_n}} \times \overrightarrow {{p_n}}\)

• अतः मूल के ओर n कणों का कोणीय संवेग निम्न है।

\(\Rightarrow L = \mathop \sum \limits_{i\; = \;1}^n {r_i} \times \;{p_i}\)

जहाँ p_i संवेग, r_i मूल के स्थिर बिंदु के संबंध में कण के स्थान का सदिश है।

अवधारणा:

कोणीय संवेग:

• कोणीय संवेग किसी भी घूर्णन निकाय का गुणधर्म है जो जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग का गुणनफल होता है
  • यह एक सदिश राशि है।
  • इसका SI मात्रक kg-m²/s है।
• यदि I और ω क्रमशः जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग हैं, तो कोणीय संवेग इस प्रकार होगा-

⇒ L = Iω

⇒ L = rP

जहाँ r = घूर्णन की त्रिज्या और P = रैखिक संवेग

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{I_A}{I_B}=\frac{1}{2}\), और \(\frac{\omega_A}{\omega_B}=\frac{2}{1}\)

• कोणीय संवेग किसी भी घूर्णन निकाय का गुणधर्म है जो जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग का गुणनफल होता है
• यदि I और ω क्रमशः जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग हैं, तो कोणीय संवेग इस प्रकार होगा-

⇒ L = Iω     -----(1)

• समीकरण 1 द्वारा निकाय A का कोणीय संवेग इस प्रकार दिया गया है,

⇒ L_A = I_Aω_A     -----(2)

• समीकरण 1 द्वारा वस्तु B का कोणीय संवेग इस प्रकार दिया गया है,

⇒ LB = IBωB     -----(3)

समीकरण 2 और समीकरण 3 से,

\(\Rightarrow \frac{L_A}{L_B}=\frac{I_A\omega_A}{I_B\omega_B}\)

\(\Rightarrow \frac{L_A}{L_B}=\frac{1}{2}\times\frac{2}{1}\)

\(\Rightarrow \frac{L_A}{L_B}=\frac{1}{1}\)

• अतः विकल्प 1 सही है।