The Angular Momentum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for The Angular Momentum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग (L) स्थिति सदिश (r) और रेखीय संवेग (p) के सदिश गुणन द्वारा दिया जाता है। किसी कण पर कार्य करने वाले बल F के लिए, कोणीय संवेग के समय परिवर्तन की दर निम्न द्वारा दी जाती है:

dL/dt = r x F

कोणीय संवेग के संरक्षित होने के लिए, समय अवकलज शून्य होना चाहिए:

r x F = 0

यदि उपरोक्त शर्त संतुष्ट होती है, तो मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग संरक्षित होता है।

गणना:

दिया गया बल F = αi + 3j और स्थिति सदिश r = 2i - 6j - 12k है।

r और F का सदिश गुणन है:

r x F = (2i - 6j - 12k) x (αi + 3j + 6k)

सदिश गुणन के गुणधर्मों का उपयोग करके और प्रत्येक घटक की गणना करने पर:

r × F = (2 × 3 - (-6) × α)i + ((-6) × α - 2 × 3)j + ((2 × 3) - (-6) × α)k

r × F = (6 + 6α)i + (-6α - 6)j + (6 + 6α)k

कोणीय संवेग के संरक्षित होने के लिए, r x F = 0, जो समीकरणों का निम्नलिखित निकाय देता है:

6 + 6α = 0,

-6α - 6 = 0,

6 + 6α = 0.

इन समीकरणों को हल करने पर, हम α = -1 पाते हैं।

∴ सही उत्तर विकल्प 4: α = -1 है। 

अवधारणा:

जब किसी कण पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा होता है, तो केंद्रीय बल के साथ घूमने वाले कण का कोणीय संवेग नियत रहता है।

गणना:

केंद्रीय बल के अधीन घूमने वाले कण के लिए, कोणीय संवेग इस तथ्य के कारण नियत रहता है कि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है। यह कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम पर आधारित एक मौलिक अवधारणा है।

सही विकल्प: विकल्प 4: शून्य बल आघूर्ण है। 

गणना:

हम इस समस्या को हल करने के लिए कोणीय संवेग के संरक्षण का उपयोग करते हैं।

पृथ्वी की प्रारंभिक त्रिज्या: R

पृथ्वी की अंतिम त्रिज्या: \(R' = \frac{R}{2}\)

घूर्णन की प्रारंभिक अवधि (एक दिन की लंबाई): \(T_1 = 24 \ \)घंटे

एक घूर्णी गोले का कोणीय संवेग इस प्रकार दिया जाता है:

\(L = I \omega\)

जहाँ:

I एक गोले के जड़त्व आघूर्ण है, जिसे \(I = \frac{2}{5} M R^2\) द्वारा दिया गया है

कोणीय वेग \(\omega\) है, जिसे \( \omega = \frac{2\pi}{T} \) द्वारा दिया गया है

चूँकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है, कोणीय संवेग संरक्षित रहता है:

\(I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2\)

 \( I = \frac{2}{5} M R^2 \) को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:

\(\left(\frac{2}{5} M R^2\right) \omega_1 = \left(\frac{2}{5} M \left(\frac{R}{2}\right)^2\right) \omega_2\)

\(R^2 \omega_1 = \frac{R^2}{4} \omega_2\)

\(\omega_2 = 4\omega_1\)

चूँकि कोणीय वेग \(\omega\) आवर्तकाल T के व्युत्क्रमानुपाती है।

\(T_2 = \frac{T_1}{4} = \frac{24}{4} = 6 \ \)घंटे

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

गणना:

केंद्र (O) के चारों ओर छड़ की MI = \(\frac{m L^{2}}{12}+m\left(L+\frac{L}{2}\right)^{2}\)

\(I_{0}=\frac{7 m L^{2}}{3}\)

चूँकि छड़ 'O' के चारों ओर शुद्ध घूर्णन में है

तो, कोणीय आवेग = \(\rm P\left(x+\frac{3 L}{2}\right)=I_{0} \omega_{0} \quad ...(i)\)

तथा रैखिक आवेग = mv _c ...(ii)

जहाँ V _c = \(\rm \frac{3 L}{2} \omega_{0} \quad ...(iii)\)

\(\text { (20m (i)) } m\left(\frac{3 L}{2} \omega_{0}\right)\left(x+\frac{3 L}{2}\right)=\frac{7}{3} m L^{2} \cdot \omega_{0}\)

\(x+\frac{3 L}{2}=\frac{14}{0} L\)

\(x=\frac{L}{18}\)

हल:

τ = Iα = fr

= (Ml² / 3) × α = mg sin θ × (l / 2)

⇒ α = (3g sin θ) / (2l)

सही उत्तर विकल्प 4 है अर्थात L = √(2EI)

अवधारणा:

• निकाय के कोणीय संवेग को, जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
  • कोणीय संवेग भी संवेग के संरक्षण के नियम का पालन करता है अर्थता पहले और बाद का कोणीय संवेग संरक्षित होता है।

कोणीय संवेग L = I × ω 

घूर्णन गतिज ऊर्जा: घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के लिए, घूर्णन गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:

 \(KE = \frac{1}{2} Iω^2\)

जहां I जड़त्व आघूर्ण है, ω कोणीय वेग है।

गणना:

कोणीय संवेग L = I × ω      ----(1) 

घूर्णन गतिज ऊर्जा = \(E = \frac{1}{2} Iω^2\) ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{2E}{I}}\)      ----(2)

(2) को (1) में रखने पर हमें प्राप्त होगा -

L = I × \(\sqrt{\frac{2E}{I}}\)= √(2EI)

अवधारणा:

कोणीय संवेग (L):

• कठोर निकाय के कोणीय संवेग को जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है अर्थात

\(⇒ L = Iω \)

जहां I = जड़त्व आघूर्ण और ω = कोणीय वेग

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम:

• जब किसी दिए गए अक्ष के अनुरूप निकाय पर कार्य करने वाला शुद्ध बाहरी आघूर्ण शून्य होता है, तो उस अक्ष के अनुरूप निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है अर्थात

⇒ I1ω1 = I2ω2

व्याख्या:

• जब एक व्यक्ति घूर्णनशील मंच पर खड़ा है और अपने हाथ फैलाता है, अचानक वह अपने हाथ तनता है, तो वह अपने जड़त्व आघूर्ण को बढाता है जिससे कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग कर उसका कोणीय वेग घटता है। इसलिए विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

• किसी अक्ष के अनुरूप घूमने वाले कण के कोणीय संवेग को उस अक्ष के कण के रैखिक संवेग के आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह रैखिक संवेग और घूर्णन अक्ष से इसकी क्रिया की लंबवत दूरी के गुणनफल रूप में मापा जाता है।

L = pd

जहां p=रैखिक संवेग और d = घूर्णन अक्ष से कार्रवाई रेखा की लंबवत दूरी।

कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण के बीच संबंध है-

L = Iω

जहां मैं I  =जड़त्व आघूर्ण, L = कोणीय संवेग, और ω =कोणीय वेग।

गणना:

दिया गया है:

वलय का द्रव्यमान  (M) = 5 kg, वलय का व्यास (d) = 20 cm, वलय की त्रिज्या (r) = 10 cm = 10^-1 m 

\(\nu= 4200rpm=\frac{4200}{60} \,rps=70 \,rps\)

एक समान वृत्ताकार वलय की जड़ता का क्षण है

\(⇒ I = MR^2\)

\(⇒ I = 5\times 10^{-2}\)

कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण के बीच संबंध है-

 ⇒  L = Iω 

\(\Rightarrow L =5\times 10^{-2}\times \frac{2\times 22\times 70}{7}\)

\(=2200\times 10^{-2}=22\, kgm^2/s\)

अवधारणा:

• कोणीय संवेग (L) या घूर्णी गति जड़त्व आघूर्ण (I) गुणा कोणीय वेग (ω) होता है।
  कोणीय गति सदिश राशि है और यह पिंड पर लागू होने वाले टॉर्क़ के अनुक्रमानुपाती है।
• जब बलाघूर्ण की दिशा और घूर्णन की दिशा समान होती है तो कोणीय संवेग बढ़ता है और जब बलाघूर्ण और घूर्णन की दिशा विपरीत होती है तो कोणीय संवेग कम हो जाता है।

∴ L = I × ω

जहाँ,

L कोणीय संवेग है
और, ω कोणीय वेग है

व्याख्या:

दिया गया डेटा,

द्रव्यमान का वृत्ताकार वलय (m) = 1 किग्रा,

व्यास (d) = 0.2 मीटर → त्रिज्या (r) = 0.1 मीटर

• जैसा कि हम जानते हैं कि एक वलय का कोणीय संवेग जिसके लिए घूर्णन का अक्ष इसके केंद्र से गुजरता है और तल पर अभिलम्ब होता है, I = mr² होता है।
• चूंकि वलय प्रति सेकंड 10 चक्कर लगाता है, इसका अर्थ है कि इसमें कोणीय वेग (ω) = 10 × 2π \(\frac{rad}{s}\) है।

अब, कोणीय संवेग (L) = I × ω 

∴ L = mr² × ω

∴ L = (1) ⋅ (0.1)² × 20π 

∴ L = 0.628 kg m² s^-1

अत:, वृत्तीय वलय का कोणीय संवेग 0.628 kg m² s^-1 हो जाता है

संकल्पना:

कोणीय संवेग:

• कोणीय संवेग किसी भी घूर्णन वस्तु का गुण है जो जडत्व आघूर्ण  गुणा कोणीय वेग द्वारा दिया जाता है। 
  •  यह एक सदिश राशि है।
  • इसका SI मात्रक kg-m2/sec है। 
•  यदि I और ω क्रमशः जडत्व आघूर्ण और कोणीय वेग हैं, तो कोणीय संवेग के रूप में दिया जाता है,

⇒ L = Iω

⇒ L = rP

जहाँ r = घूर्णन की त्रिज्या और P = रेखिक संवेग

कोणीय संवेग का संरक्षण:

• कोणीय संवेग के संरक्षण के अनुसार, यदि कणों के निकाय पर कुल बाह्य बलाघूर्ण शून्य है, तो निकाय का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

व्याख्या:

• हाथ जोड़कर घूमने वाली कुर्सी पर बैठें और पैर जमीन से दूर नहीं विरामवस्था में हों।
• कुर्सी को तेजी से घुमाएं।
• जबकि कुर्सी काफी कोणीय गति के साथ घूर्णन कर रही है, अपनी बाहों को क्षैतिज रूप से फैलाएं।
• आपकी कोणीय गति कम हो जाती है। यदि आप अपनी बाहों को अपने शरीर के करीब वापस लाते हैं, तो कोणीय गति फिर से बढ़ जाती है।
• यह एक ऐसी स्थिति है जहां कोणीय गति के संरक्षण का सिद्धांत लागू होता है।
• यदि घूर्णी तंत्र में घर्षण की उपेक्षा की जाती है, तो कुर्सी के घूर्णन की अक्ष में कोई बाहरी बलाघूर्ण नहीं होता है और इसलिए Iω स्थिर होता है।
• बाहों को खींचने से I घूर्णन की धुरी में बढ़ जाता है, जिसके परिणामस्वरूप कोणीय गति कम हो जाती है।
• बाहों को शरीर के करीब लाने का विपरीत प्रभाव पड़ता है।
• चूँकि नर्तक के घूमने से मेज पर खड़े होने पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए नर्तक पर बलाघूर्ण भी शून्य होगा।
• इसलिए कोणीय संवेग के संरक्षण से, नर्तक का कोणीय संवेग तब संरक्षित रहेगा जब नर्तक अपने हाथों को फैलाएगा।
• अत: विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

कोणीय संवेग

• यह एक घूर्णन निकाय का गुणधर्म है और इसे घूर्णन निकाय के जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
•  यह एक सदिश राशि है

​\(\Rightarrow \vec{L}=I\times\vec{\omega}\)     

जहाँ I = जड़त्व आघूर्ण और ω = कोणीय वेग

व्याख्या:

• गणितीय रूप से, कोणीय संवेग इस के रूप में लिखा जाता है

\(\Rightarrow \vec{L}=I\times\vec{\omega}\)     -----(1)

• चूंकि कोणीय वेग घूर्णन अक्ष के साथ काम करता है, इसलिए समीकरण 1 से यह स्पष्ट है कि कोणीय संवेग घूर्णन अक्ष के साथ भी कार्य करेगा।
• इसलिए, विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

• किसी अक्ष के अनुरूप घूमने वाले कण के कोणीय संवेग को उस अक्ष के कण के रैखिक संवेग के आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह रैखिक संवेग और घूर्णन अक्ष से इसकी क्रिया की लंबवत दूरी के गुणनफल रूप में मापा जाता है।
• यह रैखिक संवेग के समरूप है और इसकी SI इकाई kg m2/s है।

\(Angular\;momentum\;\left( {\vec L} \right) = \vec r \times \vec p = \vec r\;\left( {m\vec v} \right)\)

• कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण के बीच का संबंध इस प्रकार है-

L = Iω

• वृतीय वलय के केंद्र एवं इसके तल के लम्बवत से गुजरने वाले अक्ष के अनुरूप वलय का जड़त्व आघूर्ण होगा-

\(I = M{R^2}\)

जहां M = वलय का द्रव्यमान और R = वलय की त्रिज्या

व्याख्या:

दिया गया है:

M1 = M, M2 = 2m, R1 = R2 = R (मान लीजिए),

आरंभिक वेग (ω1) = ω और अंतिम वेग (ω2) = ω’

हमारे पास द्रव्यमान M और त्रिज्या r का एक महीन वृतीय वलय है और इसे नियत कोणीय वेग ω पर घुमाया जाता है

• वृतीय वलय का आरंभिक जड़त्व आघूर्ण होगा-

\({I_1} = {M_1}R_1^2 = M{R^2}\)

वृतीय वलय का आरंभिक संवेग-

\(L = {I_1}\omega = M{R^2}\omega \)     ---------- (1)

• जब समान द्रव्यमान का एक और वलय पहले घूर्णन वलय मे रखा जाता है तब अंतिम जड़त्व आघूर्ण होगा-

\({I_2} ={M}R^2 + {2m}R^2 = (M+2m){R^2}\)

वृतीय वलय का अंतिम संवेग-

\(L' = {I_2}\omega ' = (M+2m){R^2}\omega '\)     ------------ (2)

• चूंकि इस प्रणाली पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्यरत नहीं है, इसका मतलब यह है कि प्रणाली का कोणीय संवेग संरक्षित रहेगा
• इस प्रकार कोणीय संवेग के संरक्षण के द्वारा

⇒ L = L'

⇒  MR²ω = (M + 2m) R2ω’ 

\(⇒ \omega ' = \frac{{M{R^2}\omega }}{{\left( {M\; + \;2m} \right){R^2}}} = \frac{{M\omega }}{{M\; + \;2m}}\)

 इसलिए विकल्प 2 सभी के बीच सही है।

अवधारणा:

एक स्थानांतरीय गति के लिए बल एक कण को सरल रेखा में त्वरित करता है और इसी तरह घूर्णी गति के लिए युग्मित बल (समान और विपरीत बल) किसी भी कण को ​​घूर्णन के एक अक्ष के साथ घुमाता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है और इस युग्मित बल को बल आघूर्ण के रूप मे जाना जाता है। 

इस प्रकार, बल आघूर्ण एक प्रकार का बल है जो किसी निकाय के घूर्णन के कुछ अक्ष अनुरूप उसे घूमाता है

और यह इस प्रकार है-

बल आघूर्ण, \(\vec \tau = \vec r \times \vec F\)

⇒\(\tau = rF\sin \theta \)

यहाँ τ एक वस्तु पर बल आघूर्ण का कार्य करता है जबकि r बलों या धुरी की के बीच की दूरी है और θ,  r और F के बीच का कोण है।

अनुप्रयोग

• यदि दरवाजों को हिन्ज से दूर बाहरी किनारों के पास हैंडल के साथ प्रदान किया जाता है तो बल या रोटेशन की अक्ष के बीच की दूरी बढ़ जाएगी।
• जैसे-जैसे दूरी का मान है, बलाघूर्ण  भी बढ़ता है, इसलिए दरवाजे पर अधिकतम बलाघूर्ण  लगाया जाता है।
• इसलिए, आसानी से खोलने के लिए बाहरी किनारों के पास दरवाजों को हैंडल के साथ प्रदान किया जाता है।

सही उत्तर विकल्प 2 है) अर्थात 1.2 kg m2 s-1

अवधारणा:

• कोणीय संवेग: किसी दृढ़ वस्तु के कोणीय संवेग को जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह एक दृढ़ निकाय की घूर्णी गति से संबंधित है।
  • कोणीय संवेग भी संवेग के संरक्षण के नियम का पालन करता है अर्थात कोणीय संवेग पहले और बाद में संरक्षित होता है।
  • कोणीय गति को दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

दूरी r पर एक निश्चित बिंदु के चारों ओर त्वरण करने वाली एक बिंदु वस्तु के लिए:

L = r × mv

एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमने वाली वस्तु के लिए:

L = I × ω

जहाँ I जड़त्व आघूर्ण है, m कण का द्रव्यमान है, v वेग है और ω कोणीय वेग है।

गणना:

दिया गया है कि:

द्रव्यमान, m = 400 g = 0.4 kg

त्रिज्या, r = 100 cm = 1 m

कोणीय वेग, ω = 3 rad/s

चूंकि कण एक गोलाकार कक्षा में घूम रहा है, कोणीय गति L = r × mv = r mvsinθ = rm(rω)sinθ = mr ² ωsinθ

चूँकि निकाय वृत्तीय गति में है, वेग सदिश वृत्त की परिधि के स्पर्शरेखा है। इस प्रकार, r और v के बीच के कोण θ = 90∘  है

⇒ L = mr2ωsinθ = 0.4 × (1)2 × 3 × sin90∘ = 1.2 kg m2 s-1

अवधारणा:

कोणीय संवेग (L) :

• दृढ निकाय के कोणीय गति को जड़त्वाघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

कोणीय संवेग (L) = जड़त्वाघूर्ण (I) × कोणीय वेग (L)
\(⇒ L = Iω \)

जहां I = जड़त्व आघूर्ण और ω =कोणीय वेग

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम:

• जब किसी दिए गए अक्ष के ओर एक निकाय पर काम करने वाला शुद्ध बाहरी बलाघूर्ण शून्य होता है, तो उस अक्ष के ओर निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

⇒ I1ω1 = I2ω2

व्याख्या:

• यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी बल आघूर्ण शून्य है, तो इसका  कोणीय संवेग स्थिर रहता है। इसलिए विकल्प 2 सही है।
• यह कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

हम जानते है कि dL/dt = I × α = τnet

जहाँ, L = कोणीय संवेग, α = कोणीय त्वरण, τnet = कुल बाह्य बल आघूर्ण

यदि τnet = 0

⇒ dL/dt = 0

⇒ L = नियतांक