Analysis of Thin Cylinder MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Analysis of Thin Cylinder - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

एक पतले बंद बेलन में अनुदैर्ध्य प्रतिबल:

• पतली दीवार वाले दाब पात्रों, जैसे कि द्रवस्थैतिक द्रव युक्त एक पतला बंद बेलन के संदर्भ में, अनुदैर्ध्य प्रतिबल द्रव द्वारा लगाए गए आंतरिक दाब के कारण बेलन की लंबाई के साथ अनुभव किए गए प्रतिबल को संदर्भित करता है। इस प्रतिबल की प्रकृति को समझना सुरक्षित और कुशल दाब पात्रों के डिजाइन के लिए महत्वपूर्ण है।
• जब एक पतली दीवार वाले बेलनाकार पात्र को आंतरिक द्रवस्थैतिक द्रव दाब के अधीन किया जाता है, तो यह अनुदैर्ध्य (अक्षीय) और परिधीय (हूप) दोनों दिशाओं में प्रतिबल का अनुभव करता है। अनुदैर्ध्य प्रतिबल बेलन की लंबाई के साथ प्रतिबल है, और यह आंतरिक दाब के कारण होता है जो बेलन के सिरों को अलग करने की कोशिश करता है।

आंतरिक द्रव दाब वाले एक पतले बंद बेलन में, अनुदैर्ध्य प्रतिबल अंत कैप पर कार्य करने वाले दाब के कारण उत्पन्न होता है, जो उन्हें अलग करने की कोशिश करता है।

इसलिए, अनुदैर्ध्य प्रतिबल की प्रकृति तनात्मक है।

सूत्र:

• हूप प्रतिबल: \( \sigma_h = \frac{p d}{2 t} \)
• अनुदैर्ध्य प्रतिबल: \( \sigma_l = \frac{p d}{4 t} \)

अवधारणा:

पतले बेलन के मामले में, निरपेक्ष अपरूपण प्रतिबल दिया गया है:

\(\tau_{max}=\frac{\sigma_1}{2}=\frac{pd}{4t}\)

पतले बेलन के मामले में, समतलीय अपरूपण प्रतिबल दिया गया है:

\(\tau_{max}=\frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}=\frac{pd}{8t}\)

परिणाम:

दिया गया है:

दाब = 500 kPa, आंतरिक त्रिज्या = 2 मीटर, आंतरिक व्यास = 4 मीटर, मोटाई = 10 मिमी।

समतलीय अपरूपण प्रतिबल:

\(\tau_{max}=\frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}=\frac{pd}{8t}\)

\(\tau_{max}=\frac{pd}{8t}\)

\(\tau_{max}=\frac{500\;\times\;10^3\;\times\;4\;\times\;10^3}{8\;\times\;10\;\times\;10^6}=25\;MPa\)

व्याख्या:

पतली बेलनाकार कोशिकाओं में परिधीय प्रतिबल

जब एक पतली बेलनाकार कोशिका आंतरिक दाब के अधीन होती है, तो परिधीय प्रतिबल वह प्रतिबल होता है जो बेलन की दीवार में परिधीय रूप से कार्य करता है। यह प्रतिबल दाब के परिणामस्वरूप होता है जो बेलन को वृत्ताकार तरीके से अलग करने का प्रयास करता है। परिधीय प्रतिबल सूत्र द्वारा दिया गया है:

σ_h = (p * r) / t

जहाँ:

• σ_h = परिधीय प्रतिबल

• p = आंतरिक दाब

• r = बेलन की त्रिज्या

• t = बेलन की मोटाई

दिए गए विकल्पों का विश्लेषण

1. "यह पूरे में एक समान है।"

   • यह गलत है क्योंकि बेलनाकार कोशिका में प्रतिबल वितरण एक समान नहीं है। यह आंतरिक सतह से बाहरी सतह तक भिन्न होता है।

2. "मध्य मोटाई पर।"

   • यह गलत है क्योंकि परिधीय प्रतिबल मध्य मोटाई पर अधिकतम नहीं होता है; यह कोशिका की मोटाई में भिन्न होता है।

3. "बाहरी सतह पर।"

   • यह गलत है क्योंकि परिधीय प्रतिबल बाहरी सतह पर अधिकतम नहीं होता है।

4. "आंतरिक सतह पर।"

   • यह सही है क्योंकि बेलनाकार कोशिका की आंतरिक सतह पर परिधीय प्रतिबल अधिकतम होता है। यह इस तथ्य के कारण है कि आंतरिक दाब सीधे आंतरिक सतह पर कार्य करता है, जिससे इस बिंदु पर अधिकतम प्रतिबल होता है।

संप्रत्यय:

पतले गोलाकार कोश के लिए, वलय प्रतिबल और अनुदैर्ध्य प्रतिबल दिया गया है:

\(σ_h = σ_L = \frac{pd}{4t}\)

वलय विकृति और अनुदैर्ध्य विकृतियाँ दी गई हैं:

\(ϵ_h = ϵ_L = \frac{pd}{4tE} (1-μ)\)

आयतनिक विकृति दी गई है:

ϵV = 3 x ϵ­h

Explanation:

The hydrostatic stress state represents the uniform pressure acting on all planes within the material, whereas the deviatoric stress state represents the non-uniform stress state.

The hydrostatic stress state can be calculated by taking the average of all normal stresses in the material.

In a three-dimensional state of stress, the normal stresses acting on the three mutually perpendicular planes are represented by σx, σy, and σz.

The average or the magnitude of the hydrostatic state pressure can be calculated by taking the average of these normal stresses, which is given by:

(σx + σy + σz)/3

1) द्रवस्थैतिक भारण/द्रवस्थैतिक प्रतिबल:

द्रवस्थैतिक तरल पदार्थ की स्थिति में बराबर और विपरीत सामान्य प्रतिबल किसी अपरूपण अर्थात् σx = σy = σ और τxy = 0 के बिना दो परस्पर रूप से लंबवत तलों पर कार्य करता है। 

\(Centre =\left ( \frac{σ_x\;+\;σ_y}{2} \right )\;and\;Radius=τ_{max}\Rightarrow\sqrt {{{\left({\frac{{{σ _{x}}\;-\;{σ _{y}}}}{2}} \right)}^2} + τ _{xy}^2}\)

∴ केंद्र (σ, 0) पर है और त्रिज्या = 0 है, जो x - अक्ष/σ-अक्ष या सामान्य प्रतिबल अक्ष पर एक बिंदु को दर्शाती है। 

2) शुद्ध अपरूपण 

शुद्ध अपरूपण में σx और σy = 0, τxy = τ

\(Centre =\left ( \frac{σ_x\;+\;σ_y}{2} \right )\;and\;Radius=τ_{max}\Rightarrow\sqrt {{{\left({\frac{{{σ _{x}}\;-\;{σ _{y}}}}{2}} \right)}^2} + τ _{xy}^2}\)

∴ केंद्र मूल (0, 0) पर और त्रिज्या r = τ है। 

संकल्पना:

σ1 की दिशा में प्रमुख विकृति को निम्न रूप में ज्ञात किया गया है:

\({\epsilon_1} = \frac{{{\sigma _1}}}{E} - \mu \frac{{{\sigma _2}}}{E}\)

σ2 की दिशा में प्रमुख विकृति को निम्न रूप में ज्ञात किया गया है:

\({\epsilon_2} = \frac{{{\sigma _2}}}{E} - \mu \frac{{{\sigma _1}}}{E}\)

गणना:

चूँकि हम जानते हैं,

\({{\rm{\sigma }}_H} = \frac{{{\rm{pd}}}}{{2{\rm{t}}}} \Rightarrow {\rm{Hoop\;Stress}} = {\rm{Bring\;changes\;in\;diameter}}\)

\({{\rm{\sigma }}_L} = \frac{{{\rm{pd}}}}{{4{\rm{t}}}} \Rightarrow {\rm{Longitudinal\;Stress}} = {\rm{Bring\;changes\;in\;length}}\)

अनुदैर्ध्य विकृति निम्न है:

\({\epsilon_L} = \frac{\delta{l}}{L}\Rightarrow\frac{{{\sigma _L}}}{E} - \mu \frac{{{\sigma _H}}}{E}\)

\(\therefore \frac{{\delta l}}{L} = \frac{{{\sigma _L}}}{E} - \mu \frac{{{\sigma _H}}}{E}\)

\(\frac{{\delta l}}{L} = \frac{{pd}}{{4tE}} - \mu \frac{{pd}}{{2tE}}\)

\(\frac{{\delta l}}{L} = \frac{{pd}}{{4tE}}\left( {1 - 2\mu } \right)\)
\(\therefore \delta l = \frac{{pdL}}{{2tE}}\left( {\frac{1}{2} - \mu } \right)\)

संकल्पना:

एक पतले सिलेंडर के लिए:

अनुदैर्ध्य प्रतिबल: \({\sigma _L} = \frac{{pd}}{{4t}}\)

हूप प्रतिबल: \({\sigma _h} = \frac{{pd}}{{2t}}\)

गणना:

दिया गया है:

व्यास, d = 200 cm = 2 m, दबाव शीर्ष, h = 10,000 cm = 100 m, मोटाई t = 0.75 cm = 0.0075 m 

अनुदैर्ध्य और हूप प्रतिबल दोनों प्रकृति में तन्य होते हैं, लेकिन मोटाई के डिज़ाइन महत्व के अनुसार हम गणना के लिए हूप प्रतिबल का प्रयोग करते हैं। 

सिलेंडर के अंदर दबाव, P = ρgh = 1000 × 10 × 100 = 10⁶ Pa

\({\sigma _h} = \frac{{pd}}{{2t}} \)

\({\sigma _h} = \frac{{10^6~\times~2}}{{2~\times~0.0075}} = 133.3~\times10^6\) = 133.3 MPa ∼ 130.5 MPa

Explanation:

पतले गोलाकार खोल के लिए:

\({\sigma _h} = {\sigma _L} = \frac{{pd}}{{4t}}\)

हूप विकृति/अनुदैर्ध्य विकृति:

\({\epsilon_L} = {\epsilon_h} = \frac{{pd}}{{4tE}}\left( {1 - \mu } \right)\)

आयतनी विकृति:

\(\begin{array}{l} {\epsilon_V} = 3{\epsilon_h} = \frac{{3pd}}{{4tE}}\left( {1 - \nu } \right)V\\ \frac{{{\epsilon_V}}}{{{\epsilon_D}}} = \frac{{{\epsilon_V}}}{{{\epsilon_h}}} = \frac{3}{1} \end{array}\)

Important Points
पतली दीवार वाले बेलन में:

परिधीय प्रतिबल/हूप प्रतिबल = \(\sigma _h=\frac{PD}{2t}\)

अनुदैर्ध्य प्रतिबल = \(\sigma _l=\frac{PD}{4t}\)

अवधारणा:

• परिधीय प्रतिबल परिधीय दिशा के साथ कार्यरत प्रतिबल है, यह सामान्यतः प्रकृति में तन्य होता है।
• अनुदैर्ध्य प्रतिबल वह प्रतिबल है जो लंबाई के साथ कार्य करता है और यह भी प्रकृति में तन्य होता है जबकि त्रिज्य प्रतिबल जो त्रिज्या की दिशा में कार्य करता है वह प्रकृति में संपीड़ित होता है।

परिधीय प्रतिबल/हूप प्रतिबल, \(\sigma _h=\frac{PD}{2t}\)

अनुदैर्ध्य प्रतिबल, \(\sigma _L=\frac{PD}{4t}\)

जहाँ P = प्रवाहित तरल पदार्थ के कारण दाब, D = व्यास, और t = कोश की मोटाई

गणना:

दिवार पर अधिकतम अपरूपण प्रतिबल समतल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के समान है और यह निम्नवत है:

\(\begin{array}{l} Maximum\;shear\;stress = \frac{{{\sigma _1} - {\sigma _2}}}{2}\\ {\sigma _1} = \frac{{Pd}}{{2t}};{\sigma _2} = \frac{{Pd}}{{4t}}\\ {\tau _{max}} = \frac{{\frac{{Pd}}{{2t}} - \frac{{Pd}}{{4t}}}}{2} = \frac{{Pd}}{{8t}} = \frac{{Pr}}{{4t}} \end{array}\)

संकल्पना:

पतले सिलेंडर के  लिए:

अनुदैर्ध्य प्रतिबल: \({\sigma _L} = \frac{{pd}}{{4t}}\)

हूप प्रतिबल: \({\sigma _h} = \frac{{pd}}{{2t}} = 2{\sigma _L}\)

 परिधिक या हूप तनन:

\({\epsilon_H} = \frac{1}{E}\left( {{\sigma _H} - ν {\sigma _L}} \right) = \frac{{{\sigma _L}}}{E}\left( {2 - ν } \right) = \frac{{pd}}{{4tE}}\left( {2 - ν } \right)\)

अनुदैर्ध्य तनन:

\({\epsilon_L} = \frac{1}{E}\left( {{\sigma _L} - ν {\sigma _H}} \right) = \frac{{{\sigma _L}}}{E}\left( {1 - 2ν } \right) = \frac{{pd}}{{4tE}}\left( {1 - 2ν } \right)\)

गणना:

यहाँ ν = 1/m

अनुदैर्ध्य तनन \({{\epsilon }_{L}}=\frac{P d}{4tE}\left( 1-\frac{2}{m} \right)\)

हूप तनन, \({{\epsilon }_{h}}=\frac{P d}{4tE}\left( 2-\frac{1}{m} \right)\)

संकल्पना:

जब पतला सिलेंडर आंतरिक दबाव के अधीन होता है, चूँकि हम पहले ही गणना कर चुके हैं कि यहाँ सिलेंडर के आयाम में परिवर्तन होता है अर्थात् अनुदैर्ध्य विकृति और हूप विकृति भूमिका में आते हैं। जिसके कारण सिलेंडर की क्षमता में परिवर्तन होगा या सिलेंडर के आयतन में परिवर्तन होता है। 

सिलेंडर का आयतन:

\(V = \frac{\pi }{4}{d^2}L\)

\(\delta V = \frac{\pi }{4}{d^2} \times \delta L + \frac{\pi }{4}L \times 2d.\delta d\;\)

आयतनी विकृति = आयतन में परिवर्तन/वास्तविक आयतन

\({\epsilon_V} = \frac{{\delta V}}{V} = \frac{{\delta L}}{L} + 2\frac{{\delta d}}{d} = {\epsilon_L} + 2{\epsilon_h}\)

संकल्पना:

• बंद छोर और गेज दबाव P के तहत क्षेत्रफल वाले एक पतले दाब पात्र को लेते हैं। तो सिलेंडर की दीवारों में अनुदैर्ध्य प्रतिबल, परिधिक प्रतिबल और रेडियल प्रतिबल होंगे। 
• जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है, आवरण के एक बिंदु में सभी पक्षों से प्रतिबल अर्थात् त्रि-अक्षीय प्रतिबल होते हैं। 
• σL = अनुदैर्ध्य प्रतिबल (तन्य), σr = रेडियल प्रतिबल (संपीडक), σh = परिधिक प्रतिबल (तन्य)

चूँकि, σr <<<< σL और σh है, इसलिए हम σr को नजरअंदाज करते हैं और द्वी-अक्षीय प्रतिबलों को लेते हैं। 

परिधिक या हूप प्रतिबल:

\({σ _h} = \frac{{Pd}}{{2t}}\)

अनुदैर्ध्य या अक्षीय प्रतिबल:

\({σ _L} = \frac{{Pd}}{{4t}}\)

जहाँ d सिलेंडर का आंतरिक व्यास है और t दिवार की मोटाई है। 

उपरोक्त-उल्लेखित सूत्र से हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि अनुदैर्ध्य प्रतिबल परिधिक प्रतिबल का आधा होता है। 

• वृत्ताकार आवरण के लिए अनुदैर्ध्य प्रतिबल और परिधिक प्रतिबल दोनों बराबर होते हैं,

σh = σL = \(\frac{Pd}{4t}\)

संकल्पना:

हूप प्रतिबल निम्न है, \(\sigma _1=\frac{Pd}{2t}\)

अनुदैर्ध्य प्रतिबल निम्न है, \(\sigma _2=\frac{Pd}{4t}\)

रेडियल त्रिज्या निम्न है, \(\sigma _3=0\)

और निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल निम्न है, \(\tau _m=\frac{\sigma _1-\sigma _3}{2}=\frac{Pd}{4t}\)

गणना:

दिया गया है:

d = 0.5 × 2 = 1 m = 1000 mm, P = 2 MPa, t = 0.52 - 0.5 = 0.02 m = 20 mm 

इसलिए, \({\tau _{max}} = \frac{{2 ~\times~ 1000}}{{4~×~ 20}} = 25\;MPa\)

चूँकि विकल्प में 25 MPa उपलब्ध नहीं है, इसलिए हमें 25 MPa से अधिक के प्रतिबल का चयन करने की आवश्यकता है। 

स्पष्टीकरण:

• जब पतला सिलेंडर आंतरिक दबाव के अधीन होता है, तो अनुदैर्ध्य विकृति और हूप विकृति सामने आती हैं।
• जिसके कारण सिलेंडर की क्षमता में परिवर्तन होगा या सिलेंडर के आयतन में परिवर्तन होता है।

सिलेंडर का आयतन:

\(V = \frac{\pi }{4}{d^2}L\)

\(\delta V = \frac{\pi }{4}{d^2} \times \delta L + \frac{\pi }{4}L \times 2d.\delta d\;\)

हूप विकृति परिधिक दिशा में होती है, इसे निम्न दिया गया है 

ϵh = \(\frac{{\delta d}}{d}\)

और रैखिक विकृति सिलेंडर की लम्बाई के साथ होती है 

ϵl = \(\frac{\delta l}{l}\)

आयतनी विकृति = आयतन में परिवर्तन/वास्तविक आयतन

\({\varepsilon _v} = \frac{{\delta V}}{V} = 2\frac{{\delta d}}{d} + \frac{{\delta l}}{l} = 2{\varepsilon _h} + {\varepsilon _l}\)

\(\epsilon_v = \frac{2}{E}\left( {{σ _h} - μ {σ _l}} \right) + \frac{1}{E}\left( {{σ _l} - μ {σ _h}} \right)\)

We khow that \(\sigma_l=\frac{\sigma_h}{2}\)

\(\epsilon_v = \frac{2}{E}\left( {{σ _h} - μ \frac{σ _h}{2}} \right) + \frac{1}{E}\left( {\frac{σ _h}{2} - μ {σ _h}} \right)\)

\(\epsilon_v=\frac{\sigma_h}{2E}(5-4\mu)\Rightarrow\frac{PD(5-4\mu)}{4tE}\)