21 నుండి 199 వరకు ఉన్న అన్ని సరి సంఖ్యల మొత్తాన్ని 11 పరిశీలనలకు జోడించినట్లయితే, దీని సగటు విలువ n, అప్పుడు కొత్త సెట్ యొక్క సగటు విలువ 99 అవుతుంది. n విలువను కనుగొనండి.

ఇవ్వబడిన:

21 నుండి 199 వరకు ఉన్న సరి సంఖ్యల మొత్తం 11 పరిశీలనలకు జోడించబడింది, దీని సగటు విలువ n.

కొత్త సంఖ్యల సమితి యొక్క సగటు = 99.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(1) A.Pలో n సంఖ్యల మొత్తం.

S =\(\frac{n(a+l)}{2}\)

ఎక్కడ,

a, మొదటి పదం యొక్క విలువ

l, చివరి పదం యొక్క విలువ

n, అనేది నిబంధనల సంఖ్య

S, A.Pలోని n సంఖ్యల మొత్తం

(2) A.Pలో చివరి పదం విలువ

l = a + (n - 1)d

ఎక్కడ,

a, మొదటి పదం యొక్క విలువ

d, రెండు పదాల మధ్య సాధారణ వ్యత్యాసం

n, అనేది నిబంధనల సంఖ్య

l, చివరి పదం యొక్క విలువ

లెక్కింపు:

n అనేది 21 నుండి 199 మధ్య ఉన్న సరి పదాల సంఖ్య.

మొదటి సరి సంఖ్య యొక్క విలువ (21 నుండి 199 మధ్య), a = 22

చివరి సరి సంఖ్య విలువ (21 నుండి 199 మధ్య), l = 198

రెండు సరి సంఖ్యల మధ్య సాధారణ వ్యత్యాసం యొక్క విలువ, d = 2

ఇప్పుడు,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

ఇప్పుడు,

S అనేది 21 నుండి 199 మధ్య ఉన్న అన్ని సరి సంఖ్యల మొత్తంగా ఉండనివ్వండి.

⇒ S =\(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

ఇప్పుడు,

11 పరిశీలనల సగటు = n

మొత్తం 11 పరిశీలనల మొత్తం = 11n

ప్రశ్న ప్రకారం,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\)= 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\)= 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ అవసరమైన సమాధానం 10.

Additional Informationమొదటి మరియు చివరి పదం తెలిసినప్పుడు సంఖ్యల సగటును కనుగొనడానికి సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది.

A =\(\frac{a+l}{2}\)

ఎక్కడ,

a, అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదం

l, అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్ యొక్క చివరి పదం

A, a నుండి l వరకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క సగటు.

గమనిక: పై సూత్రం అంకగణిత పురోగతికి మాత్రమే వర్తించబడుతుంది.

వరుస పదాలు సున్నా కాని స్థిరాంకం వలె సాధారణ వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటే, ఆ క్రమాన్ని అంకగణిత శ్రేణిగా పేర్కొనవచ్చు.