A + B + C = 45° అయితే, Σ(tan A + tan A tan B) విలువ:

Question

Question

This question was previously asked in

Bihar STET TGT (Maths) Official Paper-I (Held On: 04 Sept, 2023 Shift 2)

Answer 1

వివరణ -

మొదట, పదాలను సమూహం చేయండి:

(tan A + tan B + tan C) + (tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A)

మూడు కోణాల మొత్తానికి స్పర్శరేఖ గురించి గుర్తింపును ఉపయోగించి, (A + B + C = 45°) అని మనకు తెలుసు:

tan(A + B + C) = tan 45° = 1

స్పర్శరేఖ సంకలన సూత్రం నుండి:

tan(A + B + C) = \(\frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)} \)

ఇది 1 కి సమానం చేయడం, మనకు ఉంది: లెక్కింపు మరియు హారం సమానత్వానికి సమానం చేయడం:

\(1 = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)} \)

tan A + tan B + tan C - tan A tan B tan C = 1 - (tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A)

x = tan A + tan B + tan C మరియు y = tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A అని అనుకుందాం, మరియు z = tan A tan B tan C.

వీటిని సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

x - z = 1 - y

కాబట్టి:

x + y - z = 1

ఇప్పుడు ∑(tan A + tan A tan B) = x + y

x + y - z = 1 అని ఇచ్చినందున, ఇది అనుసరిస్తుంది:

x + y = 1 + z

z = tan A tan B tan C అని ఇచ్చినందున, ఇది సంకలన పరిస్థితులలో బాగా సరిపోతుందని మనం గమనించవచ్చు.

కాబట్టి, సరైన సమాధానం:

∑(tan A + tan A tan B) = 1 + tan A tan B tan C = 1 + \(\prod tan A\)

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక (3)