यदि A + B + C = 45° है, तो Σ(tan A + tan A tan B) का मान क्या है?

Question

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Bihar STET TGT (Maths) Official Paper-I (Held On: 04 Sept, 2023 Shift 2)

Answer 1

स्पष्टीकरण -

सबसे पहले, पदों को समूह में लिखें:

(tan A + tan B + tan C) + (tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A)

तीन कोणों के योग की स्पर्शज्या की सर्वसमिका का उपयोग करने पर, जहाँ (A + B + C = 45°), हम प्राप्त करते हैं:

tan(A + B + C) = tan 45° = 1

स्पर्शज्या योग सूत्र से:

tan(A + B + C) = \(\frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)} \)

इसे 1 के बराबर रखने पर, हमें प्राप्त होता है: अंश और हर को 1 के बराबर रखने पर:

\(1 = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)} \)

tan A + tan B + tan C - tan A tan B tan C = 1 - (tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A)

माना x = tan A + tan B + tan C और y = tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A तथा z = tan A tan B tan C

इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,

x - z = 1 - y

इस प्रकार:

x + y - z = 1

अब ∑(tan A + tan A tan B) = x + y

दिया गया है: x + y - z = 1, यह इस प्रकार है:

x + y = 1 + z

चूँकि z = tan A tan B tan C, हम देखते हैं कि यह योगफल की शर्तों के अंतर्गत अच्छी तरह से फिट बैठता है।

इसलिए, सही उत्तर है:

∑(tan A + tan A tan B) = 1 + tan A tan B tan C = 1 + \(\prod tan A\)

अतः सही उत्तर विकल्प (3) है।