అవకలన సమీకరణం \(ydx = \left( {y - x} \right)dy\) యొక్క సాధారణ సాధన కనుగొనండి

కాన్సెప్ట్

మొదటి క్రమం యొక్క సరళ సమీకరణం యొక్క ప్రామాణిక రూపం \(\frac{{dy}}{{dx}} + Py = Q\) ఇవ్వబడింది, ఇక్కడ P,Q లు x యొక్క స్వేచ్చా ప్రమేయం

సరళ సమీకరణం \(I.F. = {e^{\smallint pdx}}\) యొక్క సమగ్ర కారకం ద్వారా ఇవ్వబడింది

సరళ సమీకరణం \(y\left( {I.F.} \right) = \smallint Q\left( {I.F.} \right)dx + c.\) యొక్క పరిష్కారం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది 

సాధన:

\(ydx = \left( {y - x} \right)dy\)

\(y\frac{{dx}}{{dy}} = y - x\)

\(\frac{{dx}}{{dy}} + \frac{x}{y} = 1\)

ఇది రూపం\(\frac{{dx}}{{dy}} + Px = Q\)

\(I.F. = {e^{\smallint pdy}}\)

\(I.F. = {e^{lny}} = y\)

సరళ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది

\(x\left( {I.F.} \right) = \smallint Q\left( {I.F.} \right)dy + c.\)

\(x\left( y \right) = \smallint 1\left( y \right)dy + c\)

\(xy = \frac{{{y^2}}}{2} + c\)

\(x = \frac{y}{2} + \frac{c}{y}\)