जब बहुपद r(x) = ax + b को बहुपद p(x) = 4x⁴ + 2x³ - 2x² + x - 1 में जोड़ा जाता है, तो परिणामी बहुपद बहुपद q(x) = x² + 2x - 3 से विभाज्य है। (a - b) का मान क्या है?

दिया गया है:

r(x) = ax + b

p(x) = 4x⁴ + 2x³ - 2x² + x - 1

q(x) = x² + 2x - 3

p(x) + r(x), q(x) से विभाज्य है। 

प्रयुक्त सूत्र:

यदि कोई बहुपद f(x), g(x) से विभाज्य है, तो g(x) के मूल भी f(x) के मूल होते हैं।

गणना:

q(x) के मूल:

q(x) = x² + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)

q(x) के मूल x = -3 और x = 1 हैं।

अब,

p(x) + r(x) = 4x⁴ + 2x³ - 2x² + x - 1 + ax + b

⇒ 4x⁴ + 2x³ - 2x² + (a + 1)x + (b - 1)

चूँकि p(x) + r(x), q(x) से विभाज्य है, इसलिए q(x) के मूल भी p(x) + r(x) के मूल हैं।

x = 1 प्रतिस्थापित कीजिए:

4(1)⁴ + 2(1)³ - 2(1)² + (a + 1)(1) + (b - 1) = 0

4 + 2 - 2 + a + 1 + b - 1 = 0

4 + a + b = 0

a + b = -4 ...(1)

x = -3 प्रतिस्थापित कीजिए:

4(-3)⁴ + 2(-3)³ - 2(-3)² + (a + 1)(-3) + (b - 1) = 0

4(81) + 2(-27) - 2(9) - 3a - 3 + b - 1 = 0

324 - 54 - 18 - 3a - 4 + b = 0

248 - 3a + b = 0

-3a + b = -248 ...(2)

a और b के लिए समीकरण (1) और (2) को हल कीजिए:

(2) से (1) घटाइए:

(-3a + b) - (a + b) = -248 - (-4)

-4a = -244

a = 61

(1) में a = 61 प्रतिस्थापित कीजिए:

61 + b = -4

b = -65

अब,

a - b = 61 - (-65) = 61 + 65 = 126

इसलिए, (a - b) का मान 126 है।