दो स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली A और B के स्प्रिंग स्थिरांक और ब्लॉक के द्रव्यमान का अनुपात क्रमशः 1: 1 और 1: 2 है। प्रणाली A से प्रणाली B के प्रारंभिक आयाम और अवमंदन स्थिरांक का अनुपात क्रमशः 1:2 और 1:2 है। समय t के बाद प्रणाली A और प्रणाली B के आयाम का अनुपात ज्ञात कीजिए।

संकल्पना :

अवमंदित सरल आवर्त गति: 

• अवमंदित दोलनों में, प्रणाली की ऊर्जा लगातार अपव्यय  होती रहती है; लेकिन, छोटे अवमंदन के लिए, दोलन लगभग आवधिक रहते हैं।
• अपव्यय बल आमतौर पर घर्षण बल होते हैं।
• एक दोलक की गति पर इस तरह के बाहरी बलों के प्रभाव को समझने के लिए, आइए हम स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की एक प्रणाली पर विचार करें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
• यहाँ द्रव्यमान m का एक खंड स्प्रिंग स्थिरांक k के प्रत्यास्थ स्प्रिंग से जुड़ा हुआ है जो लंबवत रूप से दोलन करता है।
• हालांकि, व्यवहार में, आसपास का माध्यम (वायु) ब्लॉक की गति पर एक अवमंदन बल लगाएगा, और स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा कम हो जाएगी।
• ऊर्जा हानि आसपास के माध्यम (और ब्लॉक भी) की ऊष्मा के रूप में दिखाई देगी।
• अवमंदन बल आसपास के माध्यम की प्रकृति पर निर्भर करता है।
• यदि ब्लॉक को किसी तरल में डुबोया जाता है, तो अवमंदन का परिमाण बहुत अधिक होगा और ऊर्जा का अपव्यय बहुत तेज होगा। अवमंदन बल सामान्यतः गोलक के वेग के समानुपाती होता है।
• यदि अवमंदन बल को Fd द्वारा निरूपित किया जाता है, तो,

⇒ Fd = -bv

जहाँ b = अवमंदन स्थिरांक, और v = ब्लाक का वेग

• अवमंदन स्थिरांक माध्यम की विशेषताओं (उदाहरण के लिए श्यानता) और ब्लॉक के आकार और आकृति आदि पर निर्भर करता है।
• किसी भी समय  t पर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की अपनी औसत स्थिति से ब्लॉक का विस्थापन एक अवमंदन बल के प्रभाव के तहत निम्न रूप में दिया जाता है,

⇒ x(t) = Ae-bt/2m.cos(ωt + ϕ)

जहाँ m = ब्लाक का द्रव्यमान, A = प्रारंभिक आयाम, और ω = कोणीय आवृत्ति

• अवमंदित दोलक की कोणीय आवृत्ति निम्न द्वारा दी गई है,

\(⇒ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}\)

• एक अवमंदन दोलक के लिए, आयाम स्थिर नहीं है, लेकिन समय पर निर्भर करता है।
• किसी भी समय t पर अवमंदन दोलक का आयाम इस प्रकार दिया गया है,

⇒ A' = Ae-bt/2m

• किसी भी समय t पर अवमंदन दोलक की यांत्रिक ऊर्जा को इस प्रकार दिया जाता है,

\(\Rightarrow E(t)=\frac{1}{2}kA^2e^{-bt/m}\)

• ध्यान दें कि छोटे अवमंदन का मतलब है कि आयाम रहित अनुपात \(\frac{b}{\sqrt{km}}\) 1 से बहुत कम है।

गणना​:

दिया गया है \(\frac{k_A}{k_B}=\frac{1}{1}\) , \(\frac{m_A}{m_B}=\frac{1}{2}\) , \(\frac{A_A}{A_B}=\frac{1}{2}\) , और \(\frac{b_A}{b_B}=\frac{1}{2}\)

∴ kA = kB = k

∴ mA = m

∴ mB = 2m

∴ AA = A

∴ AB = 2A

∴ bA = b

∴ bB = 2b

हम जानते हैं कि किसी भी समय t पर अवमंदित स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आयाम इस प्रकार दिया जाता है,

⇒ A' = Ae-bt/2m     ----(1)

• समीकरण 1 द्वारा निकाय A का आयाम इस प्रकार दिया गया है,

\(\Rightarrow A'_A=A_Ae^{\frac{-b_At}{2m_A}}\)

\(\Rightarrow A'_A=Ae^{\frac{-bt}{2m}}\) ---- (2)

• समीकरण 1 द्वारा निकाय B का आयाम इस प्रकार दिया गया है,

\(\Rightarrow A'_B=A_Be^{\frac{-b_Bt}{2m_B}}\)

\(\Rightarrow A'_B=2Ae^{\frac{-2bt}{2\times2m}}\)

\(\Rightarrow A'_B=2Ae^{\frac{-bt}{2m}}\) ---- (3)

समीकरण 2 और समीकरण 3 से,

\(\Rightarrow \frac{A'_A}{A'_B}=\frac{1}{2}\)

अत: विकल्प 2 सही है।