स्व-उत्प्रेरित पॉलीएस्टेरीकरण, जो एक 3rd कोटि अभिक्रिया है, की संख्या-औसत बहुलकन मात्रा \(\left(\bar{X}_n\right)\) को जिससे व्यक्त किया जाता है, वह है

M0 : प्रारम्भिक एकलक सांद्रता

  1. \(\bar{X}_n^2=2[M]_0^2 k t+1\)
  2. \(\bar{X}_n^2=2[M]_0 k t+1\)
  3. \(\bar{X}_n^2=[M]_0 k t+1\)
  4. \(\bar{X}_n^2=2[M]_0^2 k t\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\bar{X}_n^2=2[M]_0^2 k t+1\)

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अवधारणा:

बहुलकीकरण की संख्या-औसत डिग्री (\(\overline{X}_n\)) एक बहुलक श्रृंखला में एकलक इकाइयों की औसत संख्या का वर्णन करती है। स्व-उत्प्रेरित बहुएस्टरीयकरण अभिक्रिया की स्थिति में, जो एक तृतीय कोटि की अभिक्रिया है, बहुलकीकरण की डिग्री अभिक्रिया की गतिज और प्रारंभिक एकलक सांद्रता के आधार पर प्राप्त की जा सकती है।

बहुलकीकरण गतिकी पर मुख्य बिंदु:

  • तृतीय कोटि की अभिक्रिया के लिए, अभिक्रिया की दर एकलक की सांद्रता के घन के समानुपाती होती है।
  • बहुलकीकरण की संख्या-औसत डिग्री (\(\overline{X}_n\)) बढ़ती है क्योंकि एकलक बहुलक श्रृंखला बनाने के लिए अभिक्रिया करते हैं, और यह प्रारंभिक एकलक सांद्रता ([M]0) और दर स्थिरांक (k) पर निर्भर करता है।

व्याख्या:

  • चरण 1: तृतीय कोटि की अभिक्रिया के लिए दर नियम: तृतीय कोटि की स्व-उत्प्रेरित बहुएस्टरीयकरण अभिक्रिया के लिए, एकलक A के विलुप्त होने की दर एकलक की सांद्रता के घन के समानुपाती होती है:
    • \(\frac{d[M]}{dt} = -k[M]^3\)
  • चरण 2: समाकलित दर समीकरण: समय और एकलक सांद्रता के संबंध में दर समीकरण को समाकलित करना t = 0 पर [M]0 से समय t पर [M] तक:
    • \(\frac{1}{2[M]_0^2} - \frac{1}{2[M]^2} = kt\)
    • ऊपर दिए गए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करना:
    • \(\frac{1}{[M]^2} = \frac{1}{[M]_0^2} + 2kt\)
  • चरण 3: बहुलकीकरण की संख्या-औसत डिग्री: बहुलकीकरण की संख्या-औसत डिग्री (\(\overline{X}_n\)) प्रारंभिक एकलक सांद्रता [M]0 का समय (t) पर शेष एकलक सांद्रता [M] से अनुपात है, जिसे परिभाषित किया गया है:
    • \(\overline{X}_n = \frac{[M]_0}{[M]}\)
  • चरण 4: (M) के लिए प्रतिस्थापन: समाकलित दर समीकरण से (\(\overline{X}_n\)) के लिए व्यंजक (M) को प्रतिस्थापित करना:
    • \(\overline{X}_n = \frac{[M]_0}{\sqrt{[M]_0^2 + 2[M]_0^2kt}}\)
    • दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
    • \(\overline{X}_n^2 = \frac{[M]_0^2}{[M]_0^2 + 2[M]_0^2kt}\)
  • चरण 5: अंतिम व्यंजक: इस समीकरण को सरल बनाने पर तृतीय कोटि की स्व-उत्प्रेरित बहुएस्टरीयकरण अभिक्रिया के लिए बहुलकीकरण की संख्या-औसत डिग्री के लिए अंतिम व्यंजक प्राप्त होती है:
    • \(\overline{X}_n^2 = 2[M]_0^2kt + 1\)

निष्कर्ष:

इस प्रकार, बहुलकीकरण की संख्या-औसत डिग्री के लिए सही अभिव्यक्ति विकल्प 1 है: \(\overline{X}_n^2 = 2[M]_0^2kt + 1\).

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