एक अन्तरिक्ष यान में व्यतीत किया हुआ दिन धरती पर 3 दिन के समान हैं। अन्तरिक्षयान की चाल क्या होगी?

अवधारणा:

समय विस्तारण: 

शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार समय एक विशिष्ट राशि है। लेकिन सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार समय एक विशिष्ट राशि नहीं है। यह संदर्भ के फ्रेम की गति पर निर्भर करती है। 

यदि एक जड़त्व फ्रेम S में दो सिग्नलों के बीच समय का अंतराल (अर्थात् कालद का प्रांकन) t है, तो पहले के संबंध में गतिमान दूसरे जड़त्व फ्रेम S’ में इन दो भिन्न सिग्नलों के बीच समय अंतराल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

v वस्तु की गति है, c प्रकाश की गति है, t' विस्तरित समय है, t मूल समय है।

गणना:

माना वायुयान की गति v है,

दिया गया समय t' = 3t है

या

\(\frac{t'}{t} = \frac{1}{3}\) -- (1)

t पृथ्वी पर समय है, t अंतरिक्ष यान पर समय है।

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

\(\implies \frac{t'}{t} = \frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

\(\implies \frac{1}{3} = \frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

वर्ग करने पर

\(\implies \frac{1}{9} = \frac{1}{{ {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

\(\implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{9}\)

\(\implies \frac{v^2}{c^2} = 1- \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)

\(\implies v^2 = \frac{8}{9} c^2 \)

\(\implies v = \sqrt {\frac{8}{9}} c\)

तो, सही विकल्प है \(\sqrt {\frac{8}{9}} c\)