Question
Download Solution PDFमान लीजिए 𝑋 और 𝑌 दो सांस्थितिक समष्टि हैं। एक सतत मानचित्र 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 को उचित कहा जाता है यदि 𝑌 के प्रत्येक संहत उपसमुच्चय 𝐾 के लिए 𝑓−1 (𝐾) 𝑋 में संहत है, जहाँ 𝑓−1 (𝐾) को 𝑓−1 (𝐾) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾} द्वारा परिभाषित किया गया है।
सामान्य संस्थितिकी के साथ ℝ पर विचार करें। यदि ℝ ∖ {0} में ℝ से प्रेरित उप-समष्टि संस्थितिकी है और ℝ x ℝ में गुणनफल संस्थितिकी है, तो निम्नलिखित में से कौन सा प्रतिचित्र उचित है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा -
(i) एक प्रतिचित्र 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 को उचित कहा जाता है यदि 𝑌 के किसी भी संहत उपसमुच्चय का पूर्व प्रतिबिम्ब 𝑋 में संहत है।
(ii) एक समुच्चय संहत है यदि और केवल यदि वह संवृत और परिबद्ध है।
व्याख्या -
आइए 𝑓 : ℝ x ℝ → ℝ x ℝ पर विचार करें जो 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦) द्वारा परिभाषित है।
आइए देखें कि क्या इस फलन के अंतर्गत ℝ x ℝ के किसी भी संहत उपसमुच्चय का पूर्व प्रतिबिम्ब ℝ x ℝ में संहत है।
सबसे पहले, ℝ x ℝ का एक संहत उपसमुच्चय 𝐾 लीजिये। चूँकि मानक संस्थितिकी के साथ ℝ x ℝ एक दूरीक समष्टि है, हाइन-बोरेल प्रमेय द्वारा, एक समुच्चय संहत है यदि और केवल यदि वह संवृत और परिबद्ध है। इसका अर्थ है कि 𝐾 ℝ x ℝ में एक संवृत और परिबद्ध उपसमुच्चय है।
𝑓 के अंतर्गत 𝐾 के पूर्व प्रतिबिम्ब में एक स्वेच्छ बिंदु (𝑥, 𝑦) , अर्थात्, 𝑓-1(𝐾) लीजिए।
इसका अर्थ है कि 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐾. चूँकि 𝐾 ℝ x ℝ में संवृत है, 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐾 का एक सीमा बिंदु होना चाहिए।
इस बीच, चूँकि 𝑓 संतत है, इसका अर्थ है कि (𝑥, 𝑦) 𝑓-1(𝐾) का एक सीमा बिंदु है और 𝑓-1(𝐾) ℝ x ℝ में संवृत है।
साथ ही, चूँकि 𝐾 परिबद्ध है, इसे पर्याप्त रूप से बड़े वर्ग [-𝑎, 𝑎] x [-𝑏, 𝑏] में संलग्न किया जा सकता है।
कोई भी (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓-1(𝐾) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾} भी बड़ी भुजा लम्बाई वाले वर्ग में शामिल होगा, जो परिबद्धता की गारंटी देता है।
इस प्रकार, 𝑓-1(𝐾). ℝ x ℝ में भी परिबद्ध है।
इस प्रकार, ℝ x ℝ के किसी भी संहत उपसमुच्चय 𝐾 का पूर्व प्रतिबिम्ब ℝ x ℝ में संहत है, जिसका अर्थ है कि प्रतिचित्र 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦) एक उचित प्रतिचित्र है।
अतः विकल्प (2) सही है।