मान लीजिए ℝ³ सामान्य संस्थितिकी के साथ एक सांस्थितिक समष्टि है और ℚ परिमेय संख्याओं का समुच्चय दर्शाता है। ℝ³ के उपसमष्टि 𝑋, 𝑌, 𝑍 और 𝑊 को इस प्रकार परिभाषित करें:

𝑋 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ ∶ |𝑥| + |𝑦| + |𝑧| ∈ ℚ}

𝑌 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ ∶ 𝑥𝑦𝑧 = 1}

𝑍 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ ∶ 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 1}

𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ ∶ 𝑥𝑦𝑧 = 0 }

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

अवधारणा:

समरूपी: एक संतत मानचित्रण F : X → Y एक समाकारिता है यदि यह एकैकी आच्छादी है और इसका प्रतिलोम F⁻¹ भी संतत है। यदि दो सांस्थितिक समष्टि​याँ उनके बीच एक समरूपी स्वीकार करती हैं, तो हम कहते हैं कि वे समरूपी हैं: वे अनिवार्य रूप से समान सांस्थितिक समष्टि हैं।

व्याख्या:

𝑋 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ |𝑥| + |𝑦| + |𝑧| ∈ ℚ}

मान लीजिए A = 𝑋 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ |𝑥| + |𝑦| + |𝑧| < √2}

और B = 𝑋 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ |𝑥| + |𝑦| + |𝑧| > √2} दो विवृत समुच्चय हैं, तब

X = (X ∩ A) ∪ (X ∩ B)

अतः X असंबद्ध है और इसके अनंत संबद्ध घटक हैं।

𝑌 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 𝑥𝑦𝑧 = 1}

xyz = 1 ⇒ z = 1/xy जो xy = 0 के लिए अपरिभाषित है अर्थात, x = 0 और y = 0 के लिए

अर्थात, xyz = 1, x और y-अक्ष को छोड़कर 4 चतुर्थांशों के लिए परिभाषित है।

अतः Y असंबद्ध है और इसके 4 संबद्ध घटक हैं।

𝑍 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1}

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 एक गोला है। 

अतः Z संवृत और परिबद्ध है और इसलिए संहत है

𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 𝑥𝑦𝑧 = 0 }

xyz = 0

⇒ x = 0 अर्थात, yz समतल

या y = 0 अर्थात, xy समतल

या z = 0 अर्थात, xy समतल

अतः W तीन समतलों का सर्वनिष्ठ है जो संबद्ध है लेकिन संहत नहीं है। 

इसलिए हमें प्राप्त होता है

X असंबद्ध है और इसके अनंत संबद्ध घटक हैं।

Y असंबद्ध है और इसके 4 संबद्ध घटक हैं।

Z एक संहत समुच्चय है

W संबद्ध है लेकिन संहत नहीं है

अतः हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

X, Y के समरूपी नहीं है क्योंकि X के अनंत घटक हैं जबकि Y के परिमित हैं। 

𝑍, W के समरूपी नहीं है क्योंकि Z संहत है लेकिन W नहीं है। 

Y, W के समरूपी नहीं है क्योंकि Y असंबद्ध है लेकिन W संबद्ध है।

और 𝑋, W के समरूपी नहीं है। 

(4) सही है।