साधारण संस्थिति के साथ ℝ पर विचार कीजिए। निम्न में कौन सा वक्तव्य सही है?

Question

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This question was previously asked in

CSIR UGC (NET) Mathematical Science: Held On (7 June 2023)

33 अवयवों वाले एक परिमित समुच्चय की कम से कम 3 भिन्न हाउज्डॉर्फ सांस्थितियां (topologies) हैं।
X को हाउज्डॉर्फ संस्थिति वाला अरिक्त परिमित समुच्चय माने। X × X पर गुणन संस्थिति के साथ विचार करें। तब हर फलन f ∶ X × X → ℝ संतत है।
मानें कि X एक अनंत अवयवों वाला वियुक्त संस्थितिक समष्टि है। मानें कि f ∶ ℝ → X संतत फलन तथा g ∶ X → ℝ कोई भी अनियत फलन है। तब g ∘ f की रेंज (range) में कम से कम 2 अवयव हैं।
यदि किसी अरिक्त दूरीक समष्टि X में परिमित सघन उपसमूह है, तब एक असंतत फलन f ∶ X → ℝ का अस्तित्व है।

Answer 1

व्याख्या -

विकल्प (1) के लिए:

किसी परिमित समुच्चय पर कोई भी हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी असतत होती है। इसलिए इसमें 3 अलग-अलग टोपोलॉजी नहीं हो सकती हैं।

विकल्प (2) के लिए:

चूँकि X परिमित और हॉसडॉर्फ है। इसलिए X × X भी परिमित और हॉसडॉर्फ है। इसलिए X × X में असतत टोपोलॉजी है। इसलिए प्रत्येक फलन f : X × X → ℝ सतत है।

विकल्प (3) के लिए:

चूँकि f: ℝ → (X, असतत) सतत है।

इसलिए f स्थिर मानचित्र है और इसलिए gof में केवल एक तत्व है।

विकल्प (4) के लिए:

मान लीजिए कि A परिमित और घना है अर्थात A̅ = X है। अब चूँकि A एक मीट्रिक स्थान में परिमित समुच्चय है।

⇒ A बंद समुच्चय है अर्थात A̅ = A

⇒A = X इसलिए X परिमित मीट्रिक स्थान है और इसलिए X पर टोपोलॉजी असतत है। इसलिए प्रत्येक f : X → ℝ सतत है।

इसलिए विकल्प (2) सत्य है।