जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, एकल स्वतंत्रता की कोटि वाले अंडरडेम्प्ड स्प्रिंग द्रव्यमान निकाय में, समानांतर में एक अतिरिक्त डैम्पर जोड़ा जाता है ताकि निकाय अभी भी अंडरडेम्प्ड बना रहे।

वह कथन जो सदैव सत्य रहता है। ____________ है।

व्याख्या:

एक कम अवमंदित स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली में मौजूदा अवमंदक के साथ समानांतर में एक अतिरिक्त अवमंदक जोड़ने से सिस्टम में अवमंदन बढ़ जाएगा। इस बढ़े हुए अवमंदन से सिस्टम के मुक्त दोलनों के आयाम में कमी आएगी और मुक्त दोलन के आवर्तकाल में वृद्धि होगी।

प्रयुक्त अवधारणा:

\(ω_d = \sqrt{1 - ξ^2} . ω_n~\)

जहाँ

ω_d = अवमंदित कंपन की आवृत्ति, ωn = कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति, ξ = अवमंदन अनुपात

हम जानते हैं कि दोलन का आवर्तकाल निम्न द्वारा दिया गया है

\(T_d = \frac{2 \pi}{ω_d}\)

एकल-डिग्री-ऑफ-स्वतंत्रता वाले कम अवमंदित स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली में समानांतर में एक अवमंदक जोड़ने से मुक्त दोलन का आवर्तकाल क्यों बढ़ता है:
एक स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली में, मुक्त दोलन का आवर्तकाल प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन अनुपात पर निर्भर करता है। प्राकृतिक आवृत्ति उस अंतर्निहित दर को निर्धारित करती है जिस पर सिस्टम बिना किसी बाहरी प्रभाव के दोलन करता है, जबकि अवमंदन अनुपात यह प्रभावित करता है कि समय के साथ दोलन कितनी तेज़ी से क्षय होते हैं।

मौजूदा अवमंदक के समानांतर में एक अवमंदक जोड़ने से सिस्टम के कुल अवमंदन गुणांक (c) में प्रभावी रूप से वृद्धि होती है। जबकि द्रव्यमान (m) और स्प्रिंग स्थिरांक (k) समान रहते हैं, c में वृद्धि सीधे अवमंदन अनुपात (ζ) को निम्न प्रकार से प्रभावित करती है:

⇒ जैसे-जैसे अवमंदन गुणांक बढ़ता है, अवमंदन अनुपात भी बढ़ता है।

⇒ ω_d घटेगा और जैसे ω_d ↓ T_d ↑ क्योंकि वे व्युत्क्रमानुपाती हैं।

महत्वपूर्ण बिंदु

संक्रामकता \(ε=\frac{\sqrt{1+\left(\frac{2 ξ \omega}{\omega_{n}}\right)^{2}}}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{2}\right]^{2}+\left[\frac{2 ξ \omega}{\omega_{n}}\right]^{2}}}\)

अवमंदित प्रणाली में

ε ↓ यदि ξ ↑ के लिए \(\frac{\omega}{\omega_n} < \sqrt 2\)

ε ↑ यदि ξ ↑ के लिए \(\frac{\omega}{\omega_n} > \sqrt 2\)

ε समान रहेगा यदि \(\frac{\omega}{\omega_n} = \sqrt 2\)

इसलिए ε ξ और साथ ही \(\frac{\omega}{\omega_n}\) पर निर्भर करता है और \(\frac{\omega}{\omega_n}\) से संबंधित कोई जानकारी प्रदान नहीं की गई है

इसलिए विकल्प (1) और (3) हमारा उत्तर नहीं होगा।

इसलिए सही उत्तर विकल्प (4) है दोलन का आवर्तकाल बढ़ जाएगा।