यदि दो वृत्त (x - 1)² + (y - 3)² = r² तथा x² + y² - 8x + 2y + 8 = 0 दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो -

अवधारणा:

केंद्र (h, k) और त्रिज्या a के बराबर वाले वृत्त का समीकरण है

(x - h)2 + (y - k)2 = a2

गणना​:

वृत्त P के समीकरण पर विचार करें,

(x - 1)2 + (y - 3)2 = r2 .... (1)

और वृत्त Q का समीकरण है,

x2 + y2 - 8x + 2y + 8 = 0

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,

(x − 4)2 +(y + 1)2 = 9 = 3² .... (2)

समीकरण (1) और (2) से,

दोनों वृत्तों P और Q के केंद्र के निर्देशांकों को इस प्रकार लिखा जा सकता है,
P ⇒ (1,3)
Q ⇒ (4,−1)

इसलिए, दोनों वृत्तों के बीच की दूरी (D) निम्न द्वारा दी गई है,

D = \(\sqrt{(1-4)^2+(3-(-1))^2}=5\)

वृत्तों के प्रतिच्छेदन के लिए,

D > |r_P - r_Q| और D < |r_P + r_Q| .... (3)

यहाँ r_P और r_Q दोनों वृत्त की त्रिज्या है,

हमारे पास है,

r_P = r

और r_Q = 3

समीकरण (3) से ,

5 > |r - 3|; r < 8

और 5 < |r + 3|; r > 2

इसलिए, 2 < r < 8