एक उपग्रह त्रिज्या R के एक ग्रह के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमता है। त्रिज्या 3R की कक्षा से उपग्रह को त्रिज्या 5R की कक्षा तक उपग्रह उठाने के लिए आवश्यक ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि कितनी है?

सही उत्तर विकल्प 3) है अर्थात 40%

अवधारणा :

• एक उपग्रह की समयावधि: यह उपग्रह द्वारा पृथ्वी के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगने वाले समय को समयावधि कहा जाता है।
  • त्रिज्या R की पृथ्वी की सतह से ऊँचाई h पर पृथ्वी के परिक्रमा उपग्रह पर विचार करें।

  • उपग्रह की कक्षा की परिधि = 2π(R + h)

• ऊँचाई पर उपग्रह का कक्षीय वेग निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(⇒ v_0 =\sqrt{\frac{GM}{R+h}}\)

जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान है।

• एक वृत्ताकार कक्षा में द्रव्यमान m के उपग्रह की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h})\)

• पृथ्वी के केंद्र से दूरी (R + h) पर स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(PE = -\frac{GmM}{R+h}\)

• वृत्ताकार रूप से परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा इस प्रकार है

\(TE = KE +PE =\frac{1}{2}(\frac{GmM}{R+h}) + (-\frac{GmM}{R+h})=-\frac{GmM}{2(R+h)}\)

गणना :

दिया गया है कि:

उपग्रह को त्रिज्या 3R से 5R की कक्षा में स्थानांतरित किया गया।

माना कि TE₁ और TE₂ क्रमश: त्रिज्या 3R और 5R की कक्षा में उपग्रह की ऊर्जा है।

\(TE_1 =-\frac{GmM}{2(3R)}\) और \(TE_2 =-\frac{GmM}{2(5R)}\)

ऊर्जा में परिवर्तन, ΔTE = TE2 - TE1

\(⇒ ΔTE =-\frac{GmM}{2(5R)} - (-\frac{GmM}{2(3R)})\)

\(⇒ ΔTE =\frac{1}{15}(\frac{GmM}{R})\)

प्रतिशत वृद्धि = \(\frac{\Delta TE}{TE_1} \times 100 \)

\(⇒ \frac{\frac{1}{15}(\frac{GmM}{R})}{\frac{GmM}{2(3R)}} \times 100\)

\(⇒ \frac{\frac{1}{15} }{\frac{1}{6}}\times 100 \)

⇒ 40%