एक सममितीय T-सेक्शन वाले बीम में ऊपरी फलक 50 मिमी चौड़ा और 20 मिमी मोटा है, और वेब 40 मिमी ऊँचा और 10 मिमी मोटा है। फलक के ऊपर 10 मिमी मोटी और 60 मिमी चौड़ी एक अतिरिक्त प्लेट वेल्ड की गई है। वेब के लंबवत और 10 मिमी मोटी प्लेट के ऊपरी फलक के अनुरूप इसके तल में एक अक्ष के परितः इस सममितीय समतलीय अनुप्रस्थ-काट का जड़त्व आघूर्ण 1506,666.66 मिमी4 निकलता है। संयुक्त क्षेत्र का केंद्रकीय अक्ष इस अक्ष से 21.5 मिमी नीचे, वेब के लंबवत है। केंद्रकीय अक्ष के परितः इस निर्मित क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण (मिमी4 में) है:

व्याख्या:

ऊपर वेल्ड की गई अतिरिक्त प्लेट के साथ दिए गए T-सेक्शन के जड़त्व आघूर्ण को ज्ञात करने के लिए, हमें समानांतर अक्ष प्रमेय और संयुक्त क्षेत्रों के गुणों के उपयोग से जुड़े एक व्यवस्थित दृष्टिकोण का पालन करने की आवश्यकता है।

चरण 1: व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्ण और क्षेत्रों का निर्धारण करें:

1. ऊपरी प्लेट:

• चौड़ाई (b₁) = 60 मिमी
• मोटाई (h₁) = 10 मिमी
• क्षेत्रफल (A₁) = b₁ × h₁ = 60 मिमी × 10 मिमी = 600 मिमी²
• ऊपरी प्लेट के शीर्ष से इसके केंद्रक तक की दूरी (y₁) = 5 मिमी
• अपने स्वयं के केंद्रक के परितः जड़त्व आघूर्ण (I₁) = (b₁ × h₁³) / 12 = (60 मिमी × (10 मिमी)³) / 12 = 5000 मिमी⁴

2. T-सेक्शन का ऊपरी फलक:

• चौड़ाई (b₂) = 50 मिमी
• मोटाई (h₂) = 20 मिमी
• क्षेत्रफल (A₂) = b₂ × h₂ = 50 मिमी × 20 मिमी = 1000 मिमी²
• ऊपरी प्लेट के शीर्ष से फलक के केंद्रक तक की दूरी (y₂) = 10 मिमी + 10 मिमी = 20 मिमी
• अपने स्वयं के केंद्रक के परितः जड़त्व आघूर्ण (I₂) = (b₂ × h₂³) / 12 = (50 मिमी × (20 मिमी)³) / 12 = 33333.33 मिमी⁴

3. T-सेक्शन का वेब:

• ऊँचाई (h₃) = 40 मिमी
• मोटाई (t₃) = 10 मिमी
• क्षेत्रफल (A₃) = h₃ × t₃ = 40 मिमी × 10 मिमी = 400 मिमी²
• ऊपरी प्लेट के शीर्ष से वेब के केंद्रक तक की दूरी (y₃) = 10 मिमी + 40 मिमी/2 + 20 मिमी = 50 मिमी
• अपने स्वयं के केंद्रक के परितः जड़त्व आघूर्ण (I₃) = (t₃ × h₃³) / 12 = (10 मिमी × (40 मिमी)³) / 12 = 53333.33 मिमी⁴

चरण 2: केंद्रकीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण की गणना करें:

केंद्रकीय अक्ष 10 मिमी मोटी प्लेट के ऊपरी फलक से 21.5 मिमी नीचे है। इसलिए, हमें व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों को केंद्रकीय अक्ष में स्थानांतरित करने के लिए समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है।

1. ऊपरी प्लेट:

• केंद्रकीय अक्ष की दूरी = 5 मिमी - 21.5 मिमी = -16.5 मिमी
• समानांतर अक्ष प्रमेय: I_1c = I₁ + A₁ × (दूरी)²
• I_1c = 5000 मिमी⁴ + 600 मिमी² × (-16.5 मिमी)²
• I_1c = 5000 मिमी⁴ + 600 मिमी² × 272.25 मिमी²
• I_1c = 5000 मिमी⁴ + 163350 मिमी⁴ = 168350 मिमी⁴

2. ऊपरी फलक:

• केंद्रकीय अक्ष की दूरी = 20 मिमी - 21.5 मिमी = -1.5 मिमी
• समानांतर अक्ष प्रमेय: I_2c = I₂ + A₂ × (दूरी)²
• I_2c = 33333.33 मिमी⁴ + 1000 मिमी² × (-1.5 मिमी)²
• I_2c = 33333.33 मिमी⁴ + 1000 मिमी² × 2.25 मिमी²
• I_2c = 33333.33 मिमी⁴ + 2250 मिमी⁴ = 35583.33 मिमी⁴

3. वेब:

• केंद्रकीय अक्ष की दूरी = 50 मिमी - 21.5 मिमी = 28.5 मिमी
• समानांतर अक्ष प्रमेय: I_3c = I₃ + A₃ × (दूरी)²
• I_3c = 53333.33 मिमी⁴ + 400 मिमी² × (28.5 मिमी)²
• I_3c = 53333.33 मिमी⁴ + 400 मिमी² × 812.25 मिमी²
• I_3c = 53333.33 मिमी⁴ + 324900 मिमी⁴ = 378233.33 मिमी⁴

चरण 3: जड़त्व आघूर्णों का योग करें:

कुल I_c = I_1c + I_2c + I_3c

कुल I_c = 168350 मिमी⁴ + 35583.33 मिमी⁴ + 378233.33 मिमी⁴

कुल I_c = 582166.66 मिमी⁴

इसलिए, केंद्रकीय अक्ष के परितः निर्मित क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण 5,82,166.66 मिमी⁴ है।

महत्वपूर्ण जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: 2,17,833.34 मिमी⁴

यह मान ऊपरी प्लेट, फलक और वेब के लिए सही केंद्रकीय दूरी पर विचार नहीं करता है या समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों का सही ढंग से योग नहीं करता है।

विकल्प 2: 70077.52 मिमी⁴

यह मान सही मान से काफी कम है और व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों में गलत गणना या समानांतर अक्ष प्रमेय के गलत अनुप्रयोग को इंगित करता है।

विकल्प 4: 1.33 × 10⁵ मिमी⁴

यह मान भी सही गणना के साथ संरेखित नहीं होता है और मध्यवर्ती चरणों में त्रुटियों या जड़त्व आघूर्ण गणना के सिद्धांतों के गलत अनुप्रयोग को इंगित करता है।

निष्कर्ष:

सही गणना में समानांतर अक्ष प्रमेय का उचित उपयोग और संयुक्त क्षेत्र के लिए व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों का सटीक योग शामिल है। केंद्रकीय अक्ष के परितः सही जड़त्व आघूर्ण 5,82,166.66 मिमी⁴ है।