Trigonometric Ratios MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Trigonometric Ratios - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చిన సమీకరణాలు:

\[ a \cos \theta + b \sin \theta = c \]

\[ a \sin \theta - b \cos \theta = d \]

\( a \), \( b \), \( c \), మరియు \( d \) ల మధ్య సంబంధాన్ని కనుగొనడానికి, రెండు సమీకరణాలనూ వర్గీకరించి కూడదాం:

\[ (a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 = c^2 + d^2 \]

ఎడమవైపు విస్తరించడం:

\[ a^2 \cos^2 \theta + 2ab \cos \theta \sin \theta + b^2 \sin^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta - 2ab \cos \theta \sin \theta + b^2 \cos^2 \theta = c^2 + d^2 \]

సరళీకరించడం:

\[ a^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = c^2 + d^2 \]

పైథాగోరియన్ గుర్తింపు \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \): ను ఉపయోగించి:

\[ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \]

\( a \), \( b \), \( c \), మరియు \( d \) ల మధ్య సంబంధం:

\[ \boxed{a^2 + b^2 = c^2 + d^2} \]

సమాసాన్ని గణించడానికి, ప్రతి పదాన్ని వేరుగా గణిద్దాం:

\[ \sin^2 30^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

\[ \cos^2 45^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \]

\[ \sin^2 60^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \]

\[ \cos^2 120^\circ = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

\[ \sin^2 150^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

అన్ని పదాలను కూడితే:

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 2 \]

కాబట్టి, సమాసపు విలువ:

\[ \boxed{2} \]

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

\(\frac{1+\sin^245^\circ}{1-cos^245^\circ}\)

సాధన:

sin 45° = 1/√2

sin2 45° = (1/√2)2 = 1/2

cos 45° = 1/√2

cos2 45° = (1/√2)2 = 1/2

ఈ విలువలను ఉపయోగించడం

\(\frac{1+\sin^245^\circ}{1-cos^245^\circ}\)

\(\frac{1+ \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\)

\(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\)

3

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

sin 60°  = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 

tan 45° = 1

లెక్కింపు:

దానిని బట్టి,

sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

⇒ sin (A + B) = sin 60° 

∴ A + B = 60°   ----(1)

అలాగే, ఇవ్వబడింది

tan (A – B) = 1 

⇒ tan (A – B) = tan 45°

∴ A – B = 45°  ----(2)

సమీకరణం (1) మరియు (2) కలుపుతోంది

2 A = 105

⇒ A = 52.5

సమీకరణం (1) నుండి మనం పొందుతాము

B = 7.5

ఇచ్చినది:

9cosA + 12sinA = 15

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

CosecA = 1/SinA

Cot²A = (Cosec²A - 1)

గణన:

9cosA+12sinA=15

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి,

3cos A + 12 sin A = 5

రెండు వైపులా SinAతో భాగించండి,

3cosA/sinA + 4sinA/sinA = 5/sinA

⇒ 3cotA + 4 = 5 cosec A

రెండు వైపులా వర్గం చేయండి

(3cotA + 4)² = (5cosecA)²

⇒ 9cot²A + 16 + 24cotA = 25cosec² A

⇒ 9cot²A + 16 + 24cotA = 25(cot²A + 1)

⇒ 9cot²A + 16 + 24cotA = 25cot²A + 25

⇒ 16cot²A - 24cotA + 9 = 0

⇒ (4cot A - 3)² = 0

⇒ 4cotA - 3 = 0

⇒ 4cotA - 3 = 0

⇒ cotA = 3/4

∴ cotA యొక్క చివరి విలువ 3/4.

భావన :

sin2x + cos2x = 1

గణన :

ఇవ్వబడింది: sin x + sin² x = 1

మనకు తెలిసినట్లుగా, sin2x + cos2x = 1

⇒ sin x + (1 - cos²x) = 1

⇒ sin x = cos2 x ----(1)

⇒ sin2 x = cos4 x (ఉపయోగించండి (1))

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

మనం 2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° ని మూల్యాంకనం చేయాలి

ఉపయోగించిన సూత్రం:

tan45° = 1

Cos30° = √3/2

Sin60° = √3/2

సాధన:

2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60°

⇒ 2 × 12 + (√3/2)2 – (√3/2)2

⇒ 2 + 3/4 – 3/4

⇒ 2

∴ 2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° విలువ 2.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

\(\frac{1+\sin^245^\circ}{1-cos^245^\circ}\)

సాధన:

sin 45° = 1/√2

sin2 45° = (1/√2)2 = 1/2

cos 45° = 1/√2

cos2 45° = (1/√2)2 = 1/2

ఈ విలువలను ఉపయోగించడం

\(\frac{1+\sin^245^\circ}{1-cos^245^\circ}\)

\(\frac{1+ \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\)

\(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\)

3

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

sin 60°  = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 

tan 45° = 1

లెక్కింపు:

దానిని బట్టి,

sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

⇒ sin (A + B) = sin 60° 

∴ A + B = 60°   ----(1)

అలాగే, ఇవ్వబడింది

tan (A – B) = 1 

⇒ tan (A – B) = tan 45°

∴ A – B = 45°  ----(2)

సమీకరణం (1) మరియు (2) కలుపుతోంది

2 A = 105

⇒ A = 52.5

సమీకరణం (1) నుండి మనం పొందుతాము

B = 7.5

ఇచ్చినవి:

Sin A = 1/√2

Cos B = √3/2

ఉపయోగించిన భావన:

గణన:

ఉపయోగించిన భావన ప్రకారం,

Sin A = 1/√2 అయితే

⇒ A = 45°

మళ్ళీ, Cos B = √3/2

⇒ B = 30°

(A + B)° మొత్తం = 45° + 30° = 75°

∴ (A + B)° విలువ 75°.

ఇచ్చినది:

12tan A = 5

ఉపయోగించిన భావన:

త్రికోణమితి నిష్పత్తుల భావనను ఉపయోగించి,

tanθ = లంబం/ఆధారం

cosecθ = కర్ణం/ లంబం

గణన:

12tanA = 5

⇒ tanA = 5/12

tanA = BC/AB

BC/AB = 5/12

ΔABC లో,

పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి,

BC² + AB² = AC²

⇒ 5² + 12² = AC²

⇒ 25 + 144 = AC²

⇒ AC = √169

⇒ AC = 13

cosecA = AC/BC

⇒ cosecA = 13/5

∴ cosecA విలువ 13/5.

ఇచ్చినది:

9cosA + 12sinA = 15

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

CosecA = 1/SinA

Cot²A = (Cosec²A - 1)

గణన:

9cosA+12sinA=15

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి,

3cos A + 12 sin A = 5

రెండు వైపులా SinAతో భాగించండి,

3cosA/sinA + 4sinA/sinA = 5/sinA

⇒ 3cotA + 4 = 5 cosec A

రెండు వైపులా వర్గం చేయండి

(3cotA + 4)² = (5cosecA)²

⇒ 9cot²A + 16 + 24cotA = 25cosec² A

⇒ 9cot²A + 16 + 24cotA = 25(cot²A + 1)

⇒ 9cot²A + 16 + 24cotA = 25cot²A + 25

⇒ 16cot²A - 24cotA + 9 = 0

⇒ (4cot A - 3)² = 0

⇒ 4cotA - 3 = 0

⇒ 4cotA - 3 = 0

⇒ cotA = 3/4

∴ cotA యొక్క చివరి విలువ 3/4.

ఇచ్చినవి:

ఎలివేషన్ కోణం = 60°

కొవ్వొత్తి పొడవు = 21 సెం.మీ

Tan 60° = √3

Tan θ = లంబంగా / భూమి

ప్రశ్న ప్రకారం:

Tan 60° = కాండల్ యొక్క ఎత్తు / దాని స్థావరానికి కాండల్ షాడో యొక్క కొన దూరం

⇒ √3 = 21 / కొవ్వొత్తి యొక్క నీడ పైభాగం నుండి దూరం

⇒ కొవ్వొత్తి యొక్క నీడ పైభాగం నుండి దూరం = 21 / √3

⇒ కొవ్వొత్తి యొక్క నీడ పైభాగం నుండి దూరం = (21√3) / √3

⇒ కొవ్వొత్తి యొక్క నీడ పైభాగం నుండి దూరం = 7√3 సెం.మీ

భావన :

sin2x + cos2x = 1

గణన :

ఇవ్వబడింది: sin x + sin² x = 1

మనకు తెలిసినట్లుగా, sin2x + cos2x = 1

⇒ sin x + (1 - cos²x) = 1

⇒ sin x = cos2 x ----(1)

⇒ sin2 x = cos4 x (ఉపయోగించండి (1))

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

మనం 2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° ని మూల్యాంకనం చేయాలి

ఉపయోగించిన సూత్రం:

tan45° = 1

Cos30° = √3/2

Sin60° = √3/2

సాధన:

2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60°

⇒ 2 × 12 + (√3/2)2 – (√3/2)2

⇒ 2 + 3/4 – 3/4

⇒ 2

∴ 2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° విలువ 2.