उंची आणि अंतर MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Heights and Distances - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

30 मीटर व 14 मीटर उंचीच्या दोन खांबांचे शिखर एका तारेने जोडलेले आहे. तार क्षैतिज 30° कोन बनवतो

गणना:

तारेची लंबी h समजा.

खांबाची ऊंची 1 = 30 मीटर 

AB = 30 - 14 = 16 मीटर 

ΔABC मध्ये,

Sin30° = AB/AC

⇒ \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{16}{h}\)

⇒ h = 32 मीटर 

∴ तारेची लंबी 32 मीटर आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

टॉवरच्या पायापासूनचे अंतर (d) = 44 मीटर

उन्नयन कोन (θ) = 60°

tan(60°) = √3 = 1.73

वापरलेले सूत्र:

tan(θ) = उंची / अंतर

गणना:

tan(60°) = h / d

⇒ √3 = h / 44

⇒ h = 44 x 1.73

⇒ h = 76.12 मीटर

म्हणूनच, टॉवरची उंची 76.12 मीटर आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

काठीची लांबी = 11 मीटर

काठीच्या सावलीची लांबी = 7 मीटर

मनोऱ्याच्या सावलीची लांबी = 35 मीटर

वापरलेले सूत्र:

मनोऱ्याची उंची / मनोऱ्याच्या सावलीची लांबी = काठीची लांबी / काठीच्या सावलीची लांबी

गणना:

मनोऱ्याची उंची h मीटर असू द्या.

\( \frac{h}{35} = \frac{11}{7} \)

⇒ h × 7 = 11 × 35

⇒ 7h = 385

⇒ h = 385 / 7

⇒ h = 55 मीटर

∴ मनोऱ्याची उंची 55 मीटर आहे.

दिलेले आहे:

विद्युत खांबाची सावली = 42 मीटर

झाडाची उंची = 12 मीटर

झाडाची सावली = 16 मीटर

वापरलेले सूत्र:

एखाद्या वस्तूची उंची आणि तिच्या सावलीच्या लांबीचे गुणोत्तर एकाच वेळी स्थिर राहते.

उंची1 / सावली1 = उंची2 / सावली2

गणना:

विद्युत खांबाची उंची h मीटर मानू.

समरूप त्रिकोणांच्या गुणधर्मानुसार:

खांबाची उंची / खांबाची सावली = झाडाची उंची / झाडाची सावली

⇒ h / 42 = 12 / 16

⇒ h = (12 × 42) / 16

⇒ h = 504 / 16

⇒ h = 31.5

∴ विद्युत खांबाची उंची 31.5 मीटर आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

खांबाची उंची = 18 मीटर 

ध्वजाच्या तळाचा उन्नयन कोन = 30°

ध्वजाच्या टोकाचा उन्नयन कोन = 60°

वापरलेले सूत्र:

एक काटकोन त्रिकोणात, उंची = पाया × tan(कोन)

गणना:

भूमीवरील बिंदूपासून खांबाच्या पायापर्यंतचे अंतर "x" असू द्या.

खांबाच्या तळापासून:

खांबाची उंची = x × tan(30°)

⇒ 18 = x × (1/√3)

⇒ x = 18 × √3

ध्वजाच्या टोकापासून:

एकूण उंची = x × tan(60°)

⇒ एकूण उंची = (18 × √3) × √3

⇒ एकूण उंची = 18 × 3 = 54 मीटर 

ध्वजाची उंची = एकूण उंची - खांबाची उंची

⇒ ध्वजाची उंची = 54 - 18

⇒ ध्वजाची उंची = 36 मीटर 

म्हणूनच, ध्वजाची उंची 36 मीटर आहे.

दिलेले:

BC = 18 m

संकल्पना:

वापरलेली सूत्रे:

Tanθ = लंब/पाया

Cosθ = पाया/कर्ण

गणन:

झाडाची उंची = AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

म्हणून, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54/√3 = 18√3

∴ झाडाची उंची = 18√3.

लक्षात ठेवण्याजोगे: येथे झाडाची एकूण उंची (AB + AC) आहे.

आपण खालील पायऱ्या वापरून उंचीचा कोन शोधू शकतो:

गणना:

पायरी 1: जमिनीवरील बिंदू, 20√3 मीटर दूर असलेला बिंदू आणि शिरोबिंदू असलेले विमान असा काटकोन त्रिकोण काढा.

जमिनीवरील दोन बिंदूंमधील उंचीचा फरक "h" आणि दोन बिंदूंमधील आडव्या अंतराला "d" असे लेबल करा.

उंचीचा कोन शोधण्यासाठी स्पर्शिका फंक्शन वापरा:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\) .

उंचीच्या कोनाचे निराकरण करा:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d}).\)

या प्रकरणात, h = 20 m आणि d = 20√3 m, म्हणून:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

तर उंचीचा कोन 30° आहे.

दिल्याप्रमाणे,

ΔABC मध्ये,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 मी

ΔAED मध्ये,

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 मी 

घराची एकूण उंची = 10√3 + 20√3 = 30√3

स्त्रीची उंची = CD = BE = 20√3

घराची आणि स्त्रीची एकूण उंची = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ घराची आणि स्त्रीची एकूण उंची 50√3 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

शिडीची लांबी = 5 मीटर

वापरलेली संकल्पना:

पायथागोरस प्रमेय

गणना:

प्रश्नानुसार,

भिंतीपासून शिडीच्या पायापर्यंतचे अंतर \(= \sqrt{5^2 - 3^2}\)

⇒ 4 मीटर

आता ते  4 - 2.6 = 1.4 मीटर

त्यामुळे उंची \(= \sqrt{5^2 - 1.4^2}\)

⇒\(\sqrt{23.04}\)

⇒\(\sqrt{23.04}\)

⇒ 4.8

त्यामुळे शिडी वर सरकेल 4.8 - 3 = 1.8 मीटर

∴ शिडी भिंतीवर वरच्या बाजूस 1.8 मीटर अंतराने सरकेल.

दिलेले आहे

16 मीटर आणि 9 मीटर लांबीच्या दोन खांबांमधील अंतर x मीटर आहे.

त्यांच्या  पायथ्यापासून एकमेकांच्या संबंधित शीर्षस्थानावर दोन उन्नत कोन एकमेकांना पूरक आहेत.

वापरण्यात आलेली संकल्पना

जर दोन उन्नत कोन एकमेकांना पूरक असतील तर H = √ab

जिथे a आणि b या खांबांची लांबी आहेत.

गणना 

AB आणि CD 16 मीटर आणि 9 मीटर लांबीचे दोन खांब आहेत.

B आणि D वरील उन्नत कोन θ आणि (90 - θ) मानू

BD या दोन खांबांमधील अंतर x मीटर मानू

Δ ABD मध्ये  

Tanθ = AB/BD = 16/x       - - - -(i)

Δ BDC मध्ये  

Tan(90 - θ) = CD/BD = 9/x

Cotθ = 9/x                       - - - - (ii)

समीकरण i आणि ii यांचा गुणाकार करून

⇒ Tanθ × Cotθ = (16/x) (9/x)

⇒ 144/x² = 1

⇒ x² = 144

⇒ x = 12 मीटर

दुसरी पद्धत

जर दोन उन्नत कोन एकमेकांना पूरक असतील तर x = √ab

​जिथे a आणि b या खांबांची लांबी आहेत.

 x = \(\sqrt {16 \times 9} \)

x = √144

x = 12 मीटर

दिलेले आहे:

दोन भिंतींमधील अंतर = 100 मी

संकल्पना:

लांब पायरी AC असेल कारण लहान कोन बनवणारी संबंधित बाजू मोठा कोन बनवण्यापेक्षा मोठी आहे.

गणना:

प्रत्येक भिंतीची उंची = h

BC + CE = BE = 100 

⇒ CE = 100 - BC .......(1) 

त्रिकोण ABC मध्ये, AB/BC = tan 30° 

⇒ h/BC = 1/√3 

⇒ BC = √3h.......(2)

CDE त्रिकोणामध्ये, DE/CE = tan 60° 

⇒ h/(100 - BC) = √3 

h/(100 - √3h) = √3 

h = 100√3 - 3h

4h = 100√3 

h = 25√3 m  ......  (3) 

(2) आणि (3) द्वारे

BC = √3h = √3 × 25√3

⇒ BC = 75 मीटर

ABC त्रिकोणामध्ये , BC/AC = cos 30° 

⇒ 75/AC = √3/2 

⇒ 150 = √3 × AC 

⇒ AC = 150/√3

⇒ AC = 150/√3 ×√3/√3

∴ AC = 50√3 मीटर 

गुणोत्तर पद्धतीनुसार पर्यायी पद्धत

3 + 1 = 4 = 100 मीटर

\(\Rightarrow 2√{3}= \frac{100}{4}\times 2√{3}\)

AC = 50√3 

दिलेले आहे

125 मीटर उंच मनोऱ्यावरून कारचा अवनत कोन 45° आहे.

वापरलेली संकल्पना 

Tan 45° = 1

गणना

AB ही मनोऱ्याची उंची आहे जी 125 मीटर आहे.

C हा बिंदू आहे ज्यावर कार उभी आहे.

Δ ABC मध्ये

Tan 45° = AB/BC

1 = AB/BC

AB = BC = 125 मी

मनोरा आणि कारमधील अंतर 125 मीटर आहे.

CD = 10 एकक

Δ ABC मध्ये 

tan 45 = AB/BC

BC = AB     --- (1)

In ΔABD

tan 60 = AB/BD

⇒ √3 = AB/BD

⇒ AB = √3 BD

BC = √3 BD [समीकरण (1) वरून]

BC = BD + CD

⇒ √3 BD – BD = CD

⇒ BD (√3 – 1) = 10

⇒ BD = 10/(√3 – 1) × [(√3 + 1)/(√3 + 1)]

⇒ BD = 10 (√3 + 1)/2

⇒ BD = 5 (1.732 + 1)

⇒ BD = 5 × 2.732

⇒ BD = 13.66 एकक 

⇒ 10 एकक = 10 मिनिटे 

⇒ 13.66 एकक = 13 मिनिटे 40 सेकंद 

लघु युक्ती:

(√3 – 1) एकक = 10 मिनिटे

1 एकक = 10/(√3  - 1) × [(√3 + 1)/(√3 + 1)]

⇒ 1 एकक = 10 (√3 + 1)/2 = 5 (1.732 + 1) = 5 × 2.732 = 13.66

⇒ 13.66  = 13 मिनिटे 40 सेकंद 

दिल्याप्रमाणे:

18 फूट उंच विद्युत खांबा

झाडाची उंची 6 फूट आहे.

त्यामधील अंतर 10 फूट आहे.

गणना:

आकृतीमध्ये, AB = 18 फूट , CD = 6 फूट आणि AC = 10 फूट

झाडाची सावली अशी मानूया, CO = k फूट

प्रश्नानुसार,

ΔABO आणि ΔCDO ही दोन त्रिकोण आहेत.

⇒ AB/AO = CD/CO

⇒ 18/(10 + k) = 6/k

⇒ 18k = 60 + 6k

⇒ 12k = 60

⇒ k = 5

∴ झाडाच्या सावलीची लांबी = 5 फूट

आम्ही झाडाच्या आणि विद्युत खांबाच्या मध्यभागी सावलीचा बिंदू घेऊ शकतो पण ते योग्य नाही कारण ते एकमेकांच्या विरुद्ध दिशेला आहेत असे दिलेले नाही.

सूत्र:

tanθ = लंब/पाया

cosθ = पाया/कर्ण

गणना:

ध्रुवाचा तुटलेला बिंदू A आहे. आणि बिंदू C हा एक बिंदू आहे जेथे ध्रुव जमिनीवर येतो.

खांबाची एकूण लांबी = BA + AC

BC = 90

tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/90

⇒ AB = 90/√3

⇒ AB = 30√3

पुन्हा,

cos30° = BC/AC

⇒ √3/2 = 90/AC

⇒ AC = 90 × (2/√3)

⇒ AC = 60√3

∴ खांबाची एकूण उंची = 30√3 + 60√3 = 90√3 मीटर