निर्देशक भुमिती MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Co-ordinate Geometry - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

147x - 231y = 525

77x - 49y = 203

वापरलेले सूत्र:

छेदनबिंदू शोधण्यासाठी, समीकरणांची प्रणाली सोडवा.

गणना:

दुसरे समीकरण 3 ने गुणा:

⇒ 231x - 147y = 609

आता रूपांतरित केलेल्या दुसऱ्या समीकरणापासून पहिले समीकरण वजा करा:

⇒ (231x - 147y) - (147x - 231y) = 609 - 525

⇒ 84x + 84y = 84

⇒ x + y = 1

पहिल्या समीकरणात x + y = 1 वापरून:

⇒ 147x - 231(1 - x) = 525

⇒ 147x - 231 + 231x = 525

⇒ 378x = 756

⇒ x = 2

x = 2 वापरून x + y = 1 मध्ये:

⇒ 2 + y = 1

⇒ y = -1

तर, छेदनबिंदू (2, -1) आहे.

आता तपासा की कोणते समीकरण बिंदू (2, -1) समाधान करते:

9x - 5y = 23 साठी:

⇒ 9(2) - 5(-1) = 18 + 5 = 23

∴ योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

बिंदूंचे निर्देशांक (1, 2), (2, 3), (x, 4) आहेत.

तयार झालेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 40 चौरस एकक आहे.

वापरलेले सूत्र:

(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) शिरोबिंदू असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दिले आहे:

\( \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \)

गणना:

(1, 2), (2, 3), (x, 4) निर्देशांक वापरून:

\( \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(3 - 4) + 2(4 - 2) + x(2 - 3) \right| \)

दिलेले क्षेत्रफळ = 40 चौरस एकक:

\( \frac{1}{2} \left| 1(-1) + 2(2) + x(-1) \right| = 40 \)

निरपेक्ष मूल्य काढून आणि x साठी सोडवून:

\( \frac{1}{2} \left| -1 + 4 - x \right| = 40 \)

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणून:

\( \left| 3 - x \right| = 80 \)

हे दोन समीकरणे देते:

1) \( 3 - x = 80 \)

2) \( 3 - x = -80 \)

x साठी सोडवून:

1) \( 3 - x = 80 \)

⇒ \( -x = 77 \)

⇒ \( x = -77 \)

2) \( 3 - x = -80 \)

⇒ \( -x = -83 \)

⇒ \( x = 83 \)

योग्य उत्तर पर्याय 1 (x = -77) आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

त्रिकोणाचे बिंदू: (2, 3), (3, -1), (-4, 2)

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |\)

गणना:

समजा (x₁, y₁) = (2, 3)
समजा (x₂, y₂) = (3, -1)
समजा (x₃, y₃) = (-4, 2)

क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} | 2((-1) - 2) + 3(2 - 3) + (-4)(3 + 1) | \)

⇒ क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} | 2(-3) + 3(-1) + (-4)(4) |\)

⇒ क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} | -6 - 3 - 16 |\)

⇒ क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} | -25 |\)

⇒ क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} × 25\)

⇒ क्षेत्रफळ = 12.5 चौरस एकक

(2, 3), (3, -1), आणि (-4, 2) बिंदूंनी तयार केलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 12.5 चौरस एकक आहे.

दिले:

दोन रेखीय समीकरणे: 2x + y = 6 आणि 2x - y = -2

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × पाया × उंची

गणना:

x-अक्षासह छेदनबिंदू शोधणे:

2x + y = 6 साठी:

⇒ y = 0

⇒ 2x + 0 = 6

⇒ x = 3

बिंदू: (3, 0)

2x - y = -2 साठी:

⇒ y = 0

⇒ 2x - 0 = -2

⇒ x = -1

बिंदू: (-1, 0)

दोन ओळींचा छेदनबिंदू शोधणे:

दोन समीकरणे जोडणे:

2x + y + 2x - y = 6 - 2

⇒ 4x = 4

⇒ x = 1

x = 1 ला 2x + y = 6 मध्ये बदला:

⇒ 2(1) + y = 6

⇒ 2 + y = 6

⇒ y = 4

मुद्दा: (1, 4)

आता आपल्याकडे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत: (3, 0), (-1, 0), आणि (1, 4)

बेस ((-1, 0) आणि (3, 0) मधील अंतर):

⇒ 3 - (-1) = 4

उंची ((1, 4) चा y-समन्वय):

⇒ ४

क्षेत्र:

⇒ 1/2 × पाया × उंची

⇒ १/२ × ४ × ४

⇒ 8 चौ. युनिट

∴ योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे.

दिलेले आहे:

वर्तुळाचे केंद्र = (2, 3)

रेषेचे समीकरण = 4x + 3y - 7 = 0

वापरलेले सूत्र:

एका बिंदूपासून (x₁, y₁) रेषेपर्यंतचे अंतर + by + c = 0 आहे:

अंतर = |a x₁ + b y₁ + c| / √(a² + b²)

गणना:

(x₁, y₁) = (2, 3) आणि रेषा समीकरण 4x + 3y - 7 = 0 हे सूत्रामध्ये बदलू:

अंतर = |(4 × 2) + (3 × 3) - 7| / √(4² + 3²)

⇒ अंतर = |8 + 9 - 7| / √(16 + 9)

⇒ अंतर = |10| / √25

⇒ अंतर = 10/5

⇒ अंतर = 2

∴ वर्तुळाची त्रिज्या 2 एकक आहे.

वापरलेले सूत्र:

ज्याचे शिरोबिंदू (x1, y1), (x2, y2) and (x3, y3) आहेत, त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ =  ½ [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)] 

गणना :

⇒ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ  = (1/2) × [1(-3 – 1) + (-4) (1 – 2) + 4{2 – (-3)}] = (1/2) × {(-4) + 4 + 20} = 20/2 = 10 चौ. एकक

A(4, 1), B(1, 1) आणि C(3, 5) हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत. तर,

⇒ AB² = (1 - 1)² + (1 - 4)² = 9

⇒ BC² = (5 - 1)² + (3 - 1)² = 20

⇒ AC² = (5 - 1)² + (3 - 4)² = 17

दिलेल्याप्रमाणे:

केंद्रकाचे निर्देशांक = (4,8)

शिरोबिंदू 1 चे निर्देशांक = (9,7) 

शिरोबिंदू 2 चे निर्देशांक = (1,4)

वापरलेली संकल्पना:

जर त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंचे निर्देशांक (x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 3 , y 3 ) असतील तर त्रिकोणाच्या केंद्रकेंद्रासाठी सूत्र खाली दिले आहे:

त्रिकोणाचा केंद्रबिंदू = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3)

\(Area = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right| \)

गणना:

तिसऱ्या शिरोबिंदूचा समन्वय (a,b) असू द्या.

प्रश्नानुसार,

(a + 9 + 1) ÷ 3 = 4

⇒ a = 2

(b + 7 + 4) ÷ 3 = 8

⇒ b = 13

तर, तिसऱ्या शिरोबिंदूचा समन्वय आहे (2,13)
त्रिकोणाच्या तीन शिरोबिंदूंचे समन्वय (9,7), (2,13) आणि (1,4) आहेत.
व्हर्टेक्स सूत्राद्वारे आपण त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढू शकतो.

\(A = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 9&7&1\\ 2&{13}&1\\ 1&4&1 \end{array}} \right|\ \)

तर, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

A = (1/2) [9(13 - 4) + 2(4 - 7) + 1(7 - 13)] = 34.5 एकक ²

∴ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 34.5 एकक² आहे.

सूत्र:

रेषेचा उतार = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

दिलेले आहे:

y₂ = 2,    y₁ = -4,    x₂ = 5,    x₁ =3

गणना:

⇒ {2 – (- 4)}/{5 – 3}

⇒ (6)/(2)

⇒ 3

दिलेल्याप्रमाणे:

(-6, y) आणि (18, 6) या दोन बिंदूंमधील अंतर 26 एकक आहे.

सूत्र:

D = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

जिथे, 

दोन बिंदू (x1, y1) आणि (x2, y2) मधील अंतर D एकक आहे.

गणना:

दोन बिंदूंमधील अंतर = 26 एकक

पहिल्या निर्देशांकचे मूल्य = (x₁, y₁) = (-6, y)

दुसर्‍या निर्देशांकचे मूल्य = (x2, y2) = (18, 6)

दिलेल्या प्रश्नानुसार,

⇒ D = \(\sqrt{(18-(-6))^2 + (6-y)^2} \)

⇒ 26 = \(\sqrt{(24)^2 + (6-y)^2} \)

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे वर्ग घेतल्यावर.

⇒ 676 = 24² + (6 - y)²

⇒ 676 = 576 + (6 - y)2

⇒ 100 = (6 - y)2

⇒ 10² = (6 - y)2

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेतल्यावर.

⇒ 10 = 6 - y

⇒ y = -4

∴ आवश्यक उत्तर -4 आहे.

दिल्याप्रमाणे:

x₁ = 4, x₂ = 3, y₁  = 3, y₂ = - 2

सूत्र:

दोन बिंदूंतील अंतर  = √[(x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²]

गणना:

√[(4 – 3)2 + (3 – {-2})2]

⇒ √[(1)² + (5)²]

⇒ Section formula for internal division = {[(mx₂ + nx₁)/(m + n)], [(my₂ + ny₁)/(m + n)]}

⇒ येथे, x₁, y₁ = (- 1, 0) आणि x₂, y₂ = (2, 6). m : n = 2 : 1

⇒ [(2 × 2) + (1 × - 1)]/(2 + 1), [(2 × 6) + (1 × 0)]/(2 + 1) = (1, 4)

संकल्पना:

पदावली विचारात घ्या: a ₁ x + b ₁ y + c = 0 आणि a ₂ x + b ₂ y + c = 0

जर 1/a2 ≠ b1/b2 असेल तर प्रणालीच्या स्थितीत अद्वितीय निरसन आहे

जर a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 असेल तर प्रणालीच्या स्थितीत अनंत निरसन आहे

जर

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

असेल तर प्रणालीसाठी स्थितीचे कोणतेही निरसन नाही

गणना:

असे समीकरण आहे   x – Ky = 2, 3x + 2y = 5

येथे, a 1 = 1, b 1 = -k, a 2 = 3,   b 2 = 2

1/3 ≠ -k/2

k ≠ -2/3

∴ K चे आवश्यक मूल्य -2/3 च्या समान नसावे

संकल्पना:

Y अक्षावर बिंदू (x, y) चे परावर्तन (-x, y) असेल.

तर, X अक्षावर बिंदू (x, y) चे परावर्तन (x, -y) असेल.

गणना:

म्हणून, Y-अक्षावर बिंदू (-2, -6) चे परावर्तन (2, -6) असेल.

दिले:

PQ ही 13 युनिट लांबीची सरळ रेषा आहे

P = (2, 5) चे समन्वय

Q = (x, -7) चे समन्वय

वापरलेले सूत्र:

D ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ²

D = अंतर

(x ₁ , y ₁ ) = पहिल्या बिंदूचे समन्वय

(x ₂ , y ₂ ) = दुसऱ्या बिंदूचे समन्वय

गणना:

D 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2

(13) ² = (x - 2) ² + (-7 - 5) ²

⇒ 169 = (x - 2) ² + 144

⇒ (x - 2) ² = 25

⇒ x - 2 = 5

⇒ x = 7

∴ x चे मूल्य 7 आहे.