Circle MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Circle - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

वर्तुळाची त्रिज्या = 7  एकके 

जीवा PQ आणि QR ची लांबी = प्रत्येकी 7  एकके 

वापरलेले सूत्र:

समभुज चौकोन मध्ये: d₁² + d₂² = 4a²

गणना:

OP = OQ =OR = 7 सेमी (वर्तुळाची त्रिज्या)

चतुर्भुज PQROच्या सर्व बाजू समान आहेत.

म्हणून, ते एक समभुज चौकोन आहे. OQ आणि PR हे समभुज चौकोनाचे कर्ण आहेत.

समजा d₁ = OQ = 7 सेमी

d₂ = PR

आपल्याला माहित आहे की,

समभुज चौकोन मध्ये: d12 + d22 = 4a²

(7)2 + d22 = 4(7)2

d22 =196 - 49

d2 = \(7\sqrt{3}\)

\(\sqrt{3}\) ने गुणाकार आणि भागाकार करून

d₂ = PR = \(\frac{21}{\sqrt{3}}\) एकके.

पर्याय 4 हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

पहिल्या वर्तुळाची त्रिज्या = 22 सेमी

दुसऱ्या वर्तुळाची त्रिज्या = 10 सेमी

वर्तुळांच्या केंद्रांमधील अंतर = 37 सेमी

वापरलेले सूत्र:

थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = \(\sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}\)

जेथे d हे वर्तुळांच्या केंद्रांमधील अंतर आहे, r₁ ही पहिल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे आणि r₂ ही दुसऱ्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे:

r₁ = 22 सेमी

r₂ = 10 सेमी

d = 37 सेमी

सूत्र लागू करणे:

थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = \(\sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}\)

⇒ थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = \(\sqrt{37^2 - (22 - 10)^2}\)

⇒ थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = \(\sqrt{37^2 - 12^2}\)

⇒ थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = \(\sqrt{1369 - 144}\)

⇒ थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = \(\sqrt{1225}\)

⇒ थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = 35 सेमी

MQ रेषाखंडाची लांबी 35 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

28 सेमी त्रिज्या असलेल्या एका वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ 112 सेमी2 आहे.

गणना:

वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ = πr²θ/360°

112 = π(28)²θ/360°

θ = 360/22

कंसाची लांबी = θ/360°(2πr)

⇒ 360/360 × 22/22 × 28/7 × 2

⇒ 8 सेमी

म्हणून, कंसाची लांबी 8 सेमी आहे.

Additional Information
वर्तुलखंडाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × r × l

r = वर्तुळाची त्रिज्या

l = कंसाची लांबी

प्रश्नानुसार,

⇒ 112 = 1/2 × 28 × l

⇒ l = 8 सेमी

म्हणून, कंसाची लांबी 8 सेमी.

वापरलेली संकल्पना : 

स्पर्शिकेच्या वर्तुळाच्या संपर्काच्या बिंदूवरील कोन हा काटकोन असतो. 

गणना:

प्रश्नानुसार,

⇒ ∠PAB = 65° 

आता ΔAPB मध्ये,

⇒ ∠A  + ∠B + ∠P = 180° 

⇒ 65° + ∠B + 90° = 180° 

⇒ ∠B = 180° - 155° = 25° 

∴ योग्य उत्तर 25° आहे.

गणना:

दिलेल्या चित्रानुसार, O1 आणि O2 ही दोन वर्तुळांची केंद्रे आहेत,

O1O2  केंद्रांना जोडणारी रेषा PQ ला R येथे दुभाजक करते

तर, ΔPRO1 हा काटकोन त्रिकोण आहे, ∠R वर काटकोन आहे

पायथागोरस प्रमेय पासून,

O₁R = √(6² - 5²)

⇒ O1R = √11

आता, O₁ आणि O₂ मधील अंतर 2 × O₁R आहे = 2√11 सेमी

∴ योग्य उत्तर 2√11 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

28 सेमी त्रिज्या असलेल्या एका वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ 112 सेमी2 आहे.

गणना:

वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ = πr²θ/360°

112 = π(28)²θ/360°

θ = 360/22

कंसाची लांबी = θ/360°(2πr)

⇒ 360/360 × 22/22 × 28/7 × 2

⇒ 8 सेमी

म्हणून, कंसाची लांबी 8 सेमी आहे.

Additional Information
वर्तुलखंडाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × r × l

r = वर्तुळाची त्रिज्या

l = कंसाची लांबी

प्रश्नानुसार,

⇒ 112 = 1/2 × 28 × l

⇒ l = 8 सेमी

म्हणून, कंसाची लांबी 8 सेमी.

दिले आहे:

मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या (R) = 16 सेमी

लहान वर्तुळाची त्रिज्या (r) = 8 सेमी

केंद्रातील अंतर (D) = 26 सेमी

वापरलेले सूत्र:

सरळ सामान्य स्पर्शिका = √{D² - (R - r)²}

गणना:

सरळ सामान्य स्पर्शिका = √{D2 - (R - r)2}

⇒ √{262 - (16 - 8)2}

⇒ √{676 - 64} = √612 = 2 × √153

∴ योग्य उत्तर 2√153 आहे.

दिलेले आहे:

वर्तुळांची त्रिज्या 8 सेमी आहे

गणना:

चित्रानुसार,

AD = DB

O1O2 = 8

पुन्हा O1A = O2A = 8 [वर्तुळाची त्रिज्या]

∠ADO1 = 90°

O1D = O2D = 4

AD = √(64 - 16)

⇒ √48 = 4√3

AB = 2 × 4√3 = 8√3

∴ सामान्य जीवाची लांबी 8√3 सेमी आहे

वापरलेले सूत्र:

प्रत्यक्ष सामाईक स्पर्शिका = √ (दोन केंद्रांमधील अंतर² - ( r₁  - r₂)²

गणना: 

दोन केंद्रांमधील अंतर = d सेमी आहे

सूत्रानुसार,

12 = √ (d2 - ( 8  - 3)².

⇒ 144 = d2 - 25

⇒ d² = 169

⇒ d = 13

∴ योग्य पर्याय 3 आहे.

वापरलेली संकल्पना : 

स्पर्शिकेच्या वर्तुळाच्या संपर्काच्या बिंदूवरील कोन हा काटकोन असतो. 

गणना:

प्रश्नानुसार,

⇒ ∠PAB = 65° 

आता ΔAPB मध्ये,

⇒ ∠A  + ∠B + ∠P = 180° 

⇒ 65° + ∠B + 90° = 180° 

⇒ ∠B = 180° - 155° = 25° 

∴ योग्य उत्तर 25° आहे.

वापरलेली संकल्पना:

दिलेल्या चित्रानुसार, ∠AOB = 2∠ACB

पुन्हा, ∠ACB + ∠APB = 180°

गणना:

दिलेल्या संकल्पनेनुसार,

∠AOB = 2∠ACB

⇒ ∠ACB = 130/2 = 65°

पुन्हा, ∠ACB + ∠APB = 180°

⇒ ∠APB = 180° - 65° = 115°

∴ योग्य उत्तर 115° आहे.

दिलेले आहे:

मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या (R) = 15 सेमी

लहान वर्तुळाची त्रिज्या (r) = 13 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

वर्तुळाच्या केंद्रातून जीवेपर्यंत काढलेली रेषा, जीवेला दोन भागांमध्ये विभागते.

वर्तुळाची स्पर्शिका संपर्क बिंदूवरील वर्तुळाच्या त्रिज्येला लंब असते.

पायथागोरसचे प्रमेय:

H2 = P2 + B2

येथे, H = कर्ण; P = लंब; B = पाया

गणना:

येथे, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे आणि PQ ही वर्तुळाची जीवा आहे.

△POR मध्ये,

⇒ OP2 = OR2 + PR2

⇒ (15)2 = (13)2 + PR2

⇒ PR2 = 225 - 169 = 56

⇒ PR = √56 = 2√14 सेमी

PQ ही स्पर्शिका आहे, म्हणून OR ⊥ PQ

PQ = PR + RQ

⇒ 2√14 + 2√14 (जसे PR = RQ)

⇒ 4√14 सेमी

∴ 4√14 सेमी हे योग्य उत्तर आहे.  

दिलेले आहे:

O हे या वर्तुळाचे केंद्र आहे. P बिंदूवरून काढलेली स्पर्शिका, Q वर वर्तुळाला स्पर्श करते.

PQ = 24 सेमी आणि OQ = 10 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

1. जर बाह्य बिंदूपासून वर्तुळावर स्पर्शिका काढली असेल, तर स्पर्शिकेच्या बिंदूवर, ती त्रिज्याला लंब असते.

2. काटकोन त्रिकोणामध्ये, कर्ण2 = पाया2 + उंची2

गणना:

संकल्पनेनुसार,

∠OQP = 90°

म्हणून, OP हे ΔOQP चे कर्ण आहे जे काटकोन त्रिकोण आहे.

आता, OP = \(\sqrt {24^2 + 10^2}\) = 26 सेमी

∴ OP चे मूल्य 26 सेमी आहे.

गणना:

दिलेल्या चित्रानुसार, O1 आणि O2 ही दोन वर्तुळांची केंद्रे आहेत,

O1O2  केंद्रांना जोडणारी रेषा PQ ला R येथे दुभाजक करते

तर, ΔPRO1 हा काटकोन त्रिकोण आहे, ∠R वर काटकोन आहे

पायथागोरस प्रमेय पासून,

O₁R = √(6² - 5²)

⇒ O1R = √11

आता, O₁ आणि O₂ मधील अंतर 2 × O₁R आहे = 2√11 सेमी

∴ योग्य उत्तर 2√11 सेमी आहे.