Geometry MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Geometry - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

ആശയം -

(1) ABCD  എന്ന സമാന്തര ചതുർഭുജത്തിൽ, വിപരീത കോണുകൾ സർവ്വസമമാണ്.
(2) കൂടാതെ, ത്രികോണം ABC യിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആയിരിക്കണം.
m∠ACB + m∠BAC + m∠CAB = 180°

വിശദീകരണം -

ABCD ഒരു സമാന്തര ചതുർഭുജമാണ് ∠ACB = 40° ഉം ∠BAC = 80° ഉം



അറിയപ്പെടുന്ന കോൺ അളവുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
40° + 80° + m∠CBA = 180°
m∠CBA = 180° - 40° - 80° = 60°

(1) മുതൽ വിപരീത കോണുകൾ സർവ്വസമമാണ്.
അതിനാൽ, m∠ADC യുടെ അളവ് = 60°

അതിനാൽ ശരിയായ ഉത്തരം ∠ ADC = 60° ആണ്.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ഈ ചിത്രത്തിൽ, l, m എന്നിവ സമാന്തരരേഖകളാണ്, അവ തിരശ്ചീനവുമാണ്,

ഇവിടെ, ∠6 എന്നത് ∠4 ന് തുല്യമാണ്, അവ തിരശ്ചീനത്തിന്റെ ഒരേ വശമാണ്, അതിനാൽ (A) തെറ്റാണ്

വീണ്ടും, ∠2 ഉം ∠4 ഉം തിരശ്ചീനത്തിന്റെ ഒരേ വശത്തുള്ള ആന്തരിക കോണുകളാണ്, ∠2 + ∠4 = 180° ആണ്, അതിനാൽ (B) ശരിയാണ്

വീണ്ടും, ഇതര ആന്തരിക  കോണുകൾ ∠2 ഉം ∠1 ഉം തിരശ്ചീനത്തിന്റെ എതിർവശങ്ങളിലാണ്. അതിനാൽ (C) ശരിയാണ്

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 2 ആണ്

കണക്കുകൂട്ടൽ:

1) ഒരു ന്യൂന കോണിന്റെ (90°ൽ താഴെ)യും ഒരു മട്ട കോണിന്റെയും (90°) തുക എപ്പോഴും ഒരു വിഷമ കോണാണ് (90°ൽ കൂടുതലും 180°ൽ കുറവും) ശരിയാണ്

കാരണം 90°ൽ ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് മൂല്യം ചേർക്കുന്നത് 90°ൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു മൂല്യത്തിലേക്ക് നയിക്കും.

2) രണ്ട് ന്യൂന കോണുകളുടെ (ഓരോന്നും 90°ൽ താഴെ) തുക എപ്പോഴും ഒരു മട്ട കോണിനേക്കാൾ (90°) കുറവാണ് തെറ്റാണ്

ഉദാഹരണത്തിന്, ഓരോ ന്യൂന കോണും 50° ആണെങ്കിൽ, അവയുടെ തുക 100° ആയിരിക്കും, അത് 90° ൽ കൂടുതലാണ്.

3) രണ്ട് മട്ട കോണുകളുടെ (ഓരോന്നും 90°) തുക ഒരു നേർരേഖാകോണിന് (180°) തുല്യമാണ് ശരിയാണ് കാരണം 90° + 90° = 180°.(നേർരേഖാ കോൺ)

4) രണ്ട് വിഷമ  കോണുകളുടെ (ഓരോന്നും 90°ൽ കൂടുതലും 180°ൽ കുറവും) തുക എപ്പോഴും ഒരു പ്രതിഫലന കോണാണ് (180°ൽ കൂടുതലും 360°ൽ കുറവും) ശരിയാണ്

കാരണം രണ്ട് വിഷമ കോണുകളുടെ തുക എപ്പോഴും 180°ൽ കൂടുതലായിരിക്കും.

അതിനാൽ, ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 2 ആണ്.

പരിഹാരം:
∠P + ∠R = 3 (∠Q + ∠S) എന്നും ∠P = 120° എന്നും നമുക്ക് നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

ഒരു ചതുർഭുജത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 360° ആണെന്ന വസ്തുത ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°

⇒ 120° + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°

⇒ ∠Q + ∠R + ∠S = 240°

⇒ ∠Q + ∠S = 240° - ∠R

ഇപ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ബന്ധം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്കുള്ളത്:

∠P + ∠R = 3 (∠Q + ∠S)

⇒ 120° + ∠R = 3 (240° - ∠R)

⇒ 120° + ∠R = 720° - 3∠R

⇒ 4∠R = 600°

⇒ ∠R = 150°

അതിനാൽ, ∠R ന്റെ അളവ് 150° ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു വൃത്തം ഒരു ചതുർഭുജ PQRS ന്റെ നാല് വശങ്ങളിലും സ്പർശിക്കുന്നു. PQ = 11 സെന്റീമീറ്റർ, QR = 12 സെന്റീമീറ്റർ, PS = 8 സെന്റീമീറ്റർ ആണെങ്കിൽ

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ:

ഒരു വൃത്തം ചതുർഭുജ PQRS ന്റെ നാല് വശങ്ങളിലും സ്പർശിക്കുകയാണെങ്കിൽ,

PQ + RS = SP + RQ

അതിനാൽ,

⇒ 11 + RS = 8 + 12

⇒ RS = 20 - 11

⇒ RS = 9

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 3 ആണ്.

ആശയം:

അഷ്ടഭുജത്തിന് എട്ട് വശങ്ങളുണ്ട്.

ഡോഡ്‌കാഗണിന്‌ പന്ത്രണ്ട് വശങ്ങളുണ്ട്.

സൂത്രവാക്യം:

ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോൺ = {(n – 2) × 180°} /n

കണക്കുകൂട്ടൽ:

അഷ്ടഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോൺ = (8 – 2)/8 × 180° = 1080°/8 = 135°

ഡോഡ്‌കാഗണിന്റെ ആന്തരിക കോൺ = (12 – 2)/12 × 180° = 1800°/12 = 150°

∴ ഒരു അഷ്ടഭുജത്തിന്റെ ഓരോ ആന്തരിക കോണിന്റെയും, ഡോഡ്‌കാഗണിന്റെ ഓരോ ആന്തരിക കോണിന്റെയും അളവുകളുടെ അനുപാതം 9 : 10 ആണ്.

ആശയം:

സമ്പർക്ക ബിന്ദുവിൽ സ്പർശരേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ് ആരം

ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക = 360°

കണക്കുകൂട്ടൽ:

PA, PB എന്നിവ ബാഹ്യ ബിന്ദു P-ൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്ക് വരച്ച സ്പർശരേഖകൾ ആണ്.

∠OAP = ∠OBP = 90°  (സമ്പർക്കബിന്ദുവിൽ സ്പർശരേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ് ആരം.)

ഇപ്പോൾ, ചതുർഭുജം OAPB-യിൽ,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360° 

75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

അതിനാൽ, OA, OB എന്നീ രണ്ട് ആരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ 105° ആണ്

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

സമാന്തര ചതുർഭുജം ABCD യിൽ, AL, CM എന്നിവ യഥാക്രമം CD, AD എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമാണ്.

AL = 20 cm, CD = 18 cm, CM = 15 cm

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

സമാന്തര ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = പാദം × ഉയരം

സമാന്തര ചതുർഭുജത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 2 × (സമാന്തര വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുക)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

പാദം DC ഉള്ള ABCD യുടെ വിസ്തീർണ്ണം = AL × DC = 20 × 18 

⇒ 360 cm²

വീണ്ടും, പാദം AD ഉള്ള ABCD യുടെ വിസ്തീർണ്ണം = CM × AD = 15 × AD 

⇒ 360 cm2 =  15 × AD 

⇒ AD = 24 cm 

∴ AD = BC = 24 cm, DC = AB = 18 cm 

ABCD യുടെ ചുറ്റളവ് = 2 × (24 + 18) 

⇒ 2 × 42 

⇒ 84 cm 

∴ ആവശ്യമായ ഫലം = 84 സെന്റീമീറ്റർ

തന്നിരിക്കുന്നത് :

ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ആന്തരകോണുകളുടെ അളവുകളുടെ ആകെത്തുക 1620° ആണ്.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം : 
ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ആന്തരകോണുകളുടെ ആകെത്തുക = (n – 2) × 180°

ഇവിടെ n എന്നത് വശങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ :

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ:

1620° = (n – 2) × 180°

⇒ (n – 2) = 1620°/180°

⇒ (n – 2) = 9

⇒ n = 11

അതിനാൽ,

വശങ്ങളുടെ എണ്ണം = 11

നൽകിയിരിക്കുന്നത് :

LC = 6, CD = 11, LB = 4, AB = x 

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

LC × LD = LB × AL 

കണക്കുകൂട്ടൽ :

ചോദ്യം അനുസരിച്ച് 

LC × LD = LB × AL 

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 

⇒ 4 + x = 51/2 

⇒ 4 + x = 25.5 

⇒ x = AB = 21.5 

∴ AB യുടെ നീളം 21.5 സെന്റിമീറ്ററാണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ΔABC ~ ΔPQR

ΔABC യുടെ വിസ്തീർണ്ണം = 64 cm²

ΔPQR ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 81 cm²

PT = 10.8 cm 

ΔABC യുടെ മധ്യമമാണ് AD.

ΔPQR ന്റെ മധ്യമമാണ് PT 

ആശയം:

രണ്ട് സദൃശ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതം അനുബന്ധ വശങ്ങളുടെയും മധ്യമങ്ങളുടെയും വർഗ്ഗത്തിന്റെ  അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

ar(ΔABC)/ar(ΔPQR) = AD²/PT²

⇒ 64/81 = AD2/PT2 

⇒ √64/81 = AD/PT

⇒ 8/9 = AD/10.8 

∴ AD = 9.6 cm 

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ΔPQR ∼ ΔDEF

സദൃശ ത്രികോണങ്ങളായ ΔPQR, ΔDEF എന്നിവയുടെ വശങ്ങൾ 5 ∶ 6 എന്ന അനുപാതത്തിൽ ആണ്.

ar(PQR) = 75 cm²

ഉപയോഗിച്ച ആശയങ്ങൾ:

സദൃശ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതം, അനുബന്ധ ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് തുല്യമാണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ΔPQR ∼ ΔDEF

ar(PQR)/ar(DEF) = (Side of ΔPQR/Side of ΔDEF)²

⇒ 75 cm²/ar(DEF) = (5/6)²

⇒ ar(DEF) = 108 cm²

∴  ΔDEF ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 108 cm² ന് തുല്യമാണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

A അതിന്റെ പൂരക കോണിനേക്കാൾ 26° കൂടുതലാണ്.

B അതിന്റെ അനുബന്ധ കോണിനേക്കാൾ 30° കുറവാണ്.

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ആകെത്തുക 90° ആകുന്ന കോണുകളാണ് പൂരക കോണുകൾ (Complementary angle).

ആകെത്തുക 180° ആകുന്ന കോണുകളാണ് അനുബന്ധ കോണുകൾ (Supplementary angles).

കണക്കുകൂട്ടൽ:

A + A - 26 = 90

⇒ 2A = 116

⇒ A = 58

B + B + 30 = 180

⇒ 2B = 150

⇒ B = 75

അതിനാൽ,

A - B

⇒ 58 - 75

⇒ - 17

∴ ആവശ്യമായ മൂല്യം - 17 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ΔABC-യിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന് O എന്നത് ലംബകേന്ദ്രവും I ആണ് ആന്തരിക കേന്ദ്രവും.

∠BIC - ∠BOC = 90∘ ആണെങ്കിൽ

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

(1) ΔABC-യിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ ആന്തരിക  കേന്ദ്രം I ആണ്.

(1.1) ∠BIC = 90^∘ + ∠A

(1.2) ∠AIC = 90∘ + ∠B

(1.3) ∠AIB = 90∘ + ∠C

(2) ΔABC-യിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബകേന്ദ്രമാണ് O,

(2.1) ∠BOC = 180^∘ - ∠A

(2.2) ∠AOB = 180∘ - ∠C

(3.3) ∠AOC = 180∘ - ∠B

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ചോദ്യമനുസരിച്ച്, ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം ഇതാണ്:

നമുക്കറിയാവുന്നത് പോലെ,

∠BOC = 180∘ - ∠A     ----(1)

∠BIC = 90∘ + ∠A    ----(2)

ഇപ്പോൾ, (2) ൽ നിന്ന് (1) എന്ന സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക.

⇒ ∠BIC - ∠BOC = 90∘ + ∠A  - (180∘ - ∠A )

⇒ 90^∘ = 90∘ + ∠A  - 180∘ + ∠A

⇒ 90∘ = ∠A  - 90∘

⇒ 180∘ = ∠A

⇒ ∠A = 120^∘

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം 120∘ ആണ്.

Additional Information

(1) ആന്തരിക കേന്ദ്രം  - ഇത് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് കോൺ സമഭാജികളുടെയും ഛേദന ബിന്ദുവാണ്.

(1.1) കോൺ സമഭാജി കോണിനെ രണ്ട് തുല്യ പകുതിയായി മുറിക്കുന്നു.

(2) ലംബ കേന്ദ്രം - ത്രികോണത്തിന്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് എതിർവശത്തേക്ക് വരച്ച മൂന്ന് ഉയരങ്ങളുടെയും ഛേദന ബിന്ദുവാണിത്.

(2.1) ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം എതിർവശത്തേക്ക് ലംബമാണ്.