Work Done by a General Variable Force MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Work Done by a General Variable Force - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक परिवर्तनशील बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन पर बल के समाकल द्वारा दिया जाता है:

W = ∫ F(x) dx,

जहाँ F(x) वस्तु पर कार्य करने वाला बल है, और समाकलन की सीमाएँ प्रारंभिक स्थिति x₁ से अंतिम स्थिति x₂ तक हैं।

गणना:

दिया गया बल F(x) = (6x² - 4x + 3) N और विस्थापन परास x = 2 m से x = 5 m तक है, हमें किए गए कार्य की गणना करने की आवश्यकता है:

W = ∫[2 से 5] (6x² - 4x + 3) dx

अब, x के संबंध में बल व्यंजक का समाकलन करें:

W = [2x³ - 2x² + 3x] (2 से 5 तक)

समाकलन की सीमाओं (x = 5 और x = 2) को प्रतिस्थापित करें:

W = [(2(5)³ - 2(5)² + 3(5)) - (2(2)³ - 2(2)² + 3(2))]

W = [(2(125) - 2(25) + 15) - (2(8) - 2(4) + 6)]

W = [(250 - 50 + 15) - (16 - 8 + 6)] = [215 - 14] = 201 J

∴ बल द्वारा किया गया कार्य 201 J है। विकल्प 1) सही है।

सही विकल्प 4 है

संकल्पना:

आरोपित बल F = 6x है

x = 0 से x = 3 तक किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया गया है

\(W = \int_{0}^{3}F(x).dx\)

बल गति की दिशा में कार्य कर रहा है, इसलिए θ = 0 °

\(\implies W = \int_{0}^{3}6x~dx\)

\( \implies W = \left [ 6~{\frac{x^2}{2}}\right ]_{0}^{3} = \left [ \frac{6x^2}{2} \right ]_{0}^{3}\)

⇒ W = 27 जूल

गणना: हमें दिया गया है कि x-अक्ष के अनुदिश गतिमान एक कण पर एक एकल बल F = F0e-kx कार्य करता है जहाँ F0 और k स्थिरांक हैं। कण को x = 0 पर विराम से मुक्त किया जाता है। कण द्वारा प्राप्त अधिकतम गतिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए, हम कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हैं। बल द्वारा कण पर किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाएगा। एक दूरी x पर बल F द्वारा किया गया कार्य, x के सापेक्ष बल के समाकल द्वारा दिया जाता है: W = ∫ F dx = ∫ F0e-kx dx इस समाकल का मान x = 0 से x = ∞ तक ज्ञात करने पर, हमें प्राप्त होता है: W = ∫[0 से ∞] F0e-kx dx = F0 ∫[0 से ∞] e-kx dx माना u = -kx तब, du = -k dx इसलिए, dx = -du / k सीमाओं को तदनुसार बदलने पर, जब x = 0, u = 0 और जब x = ∞, u = -∞। W = F0 ∫[0 से ∞] e-kx dx = F0 ∫[0 से ∞] e^u (-du / k) = -F0 / k ∫[0 से -∞] e^u du = F0 / k ∫[-∞ से 0] e^u du = F0 / k [e^u]_{-∞}^{0} = F0 / k [1 - 0] = F0 / k इसलिए, कण द्वारा प्राप्त अधिकतम गतिज ऊर्जा है: अंतिम उत्तर: F0 / k

सही उत्तर विकल्प 2) अर्थात विस्थापन पर बल का निश्चित समाकल है

अवधारणा :

• कार्य (W) को एक बल द्वारा किया जाता है जब उस पर कार्य करने वाला बल वस्तु को विस्थापित करता है।

गणितीय रूप से यह इसके द्वारा दिया गया है:

W = F.x = Fxcosθ

जहाँ F वस्तु पर बल का कार्य करता है और x का विस्थापन है।

• एक वस्तु पर काम करने वाले बल और विस्थापन को चित्र के रूप में इसप्रकार दर्शाया गया है।
  • मान लीजिये वस्तु पर परिवर्तनीय बल कार्य कर रहा है। यदि हम इस क्षेत्र को अनंत छोटे क्षेत्रों में वक्र के तहत विभाजित करते हैं, तो बल उस क्षेत्र के लिए स्थिर दिखाई देगा, जिसने Δx का विस्थापन किया है।
  • ऐसे मामले में, उस छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल = बल × विस्थापन (Δx) = किया गया कार्य।

इसलिए, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(W = \int _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

व्याख्या:

एक चर बल के लिए इस बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया गया है:

\(W = \int _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

• तो, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन पर बल के एक निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अवधारणा:

कार्य:

• कार्य को किसी वस्तु पर बल द्वारा किया गया कार्य कहा जाता है यदि लगाया गया बल वस्तु में विस्थापन का कारण बनता है।
• बल द्वारा किया गया कार्य बल और बल की दिशा में विस्थापन के गुणनफल के बराबर होता है।
• कार्य एक अदिश राशि है।
• इसका SI मात्रक जूल (J) है।

W = Fx Cos θ     

θ बल और विस्थापन के मध्य का कोण है।

परिवर्ती बल निम्न द्वारा किया गया कार्य इस प्रकार दिया गया है

\(W = \int F.dx\)

गणना:

लगाया गया बल F = ( 3 + 0.5x ) है

x = 0 से x = 4 तक किया गया कार्य  द्वारा दिया गया है

\(W = \int_{0}^{4}F(x).dx\)

बल गति की दिशा में कार्य कर रहा है, इसलिए θ = 0 °

\(\implies W = \int_{0}^{4}(3 + 0.5x).dx\)

\( \implies W = \left [ 3x + 0.5{\frac{x^2}{2}}\right ]_{0}^{4} = \left [ 3x+\frac{x^2}{4} \right ]_{0}^{4}\)

⇒ W = [ (3 × 4 ) + \(\frac{4^2}{4}\) ] - [ ( 3 × 0 ) + \(\frac{0^2}{4}\) ]

⇒ W = 12 + 4 = 16 जूल

अवधारणा:

• अभिकेंद्री बल: वह बल जो किसी पिंड को वृत्ताकार गति में गतिमान करता है, अभिकेंद्री बल के रूप में जाना जाता है।
  • इस बल की दिशा हमेशा वेग की दिशा के लंबवत होती है।

द्रव्यमान 'm' और त्रिज्या 'r' के साथ घूमने वाले निकाय पर अभिकेंद्री  बल है:

\(F = {mv^2\over r}\)

 

• किया गया कार्य: यह बल और विस्थापन का बिंदु गुणनफल है ।

किया गया कार्य = बल (F) × विस्थापन (S) × cosθ 

जहां θ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।

व्याख्या:

• जब एक निकाय एक वृतीय पथ में गतिमान है, किसी भी विशेष समय पर,
  • अभिकेंद्री बल की दिशा केंद्र की ओर है और
  • विस्थापन की दिशा गति की दिशा में होगी जो अभिकेंद्री दिशा के लंबवत है।

• तो अभिकेंद्री बल और विस्थापन के बीच कोण θ = 90 हो जाएगा।

किया गया कार्य = बल (F) × विस्थापन (S) × cosθ 

W = F × S × cos90°

W = 0

• तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

सही उत्तर विकल्प 2) यानी 176 J है

अवधारणा :

• कार्य (W) को एक बल द्वारा किया जाता है जब उस पर कार्य करने वाला बल वस्तु को विस्थापित करता है।

गणितीय रूप से यह इसके द्वारा दिया गया है:

W = F.x = Fxcosθ

जहाँ F वस्तु पर बल का कार्य करता है और x का विस्थापन है।

• एक वस्तु पर काम करने वाले बल और विस्थापन को चित्र के रूप में इसप्रकार दर्शाया गया है।
  • मान लीजिये वस्तु पर परिवर्तनीय बल कार्य कर रहा है। यदि हम इस क्षेत्र को अनंत छोटे क्षेत्रों में वक्र के तहत विभाजित करते हैं, तो बल उस क्षेत्र के लिए स्थिर दिखाई देगा, जिसने Δx का विस्थापन किया है।
  • ऐसे मामले में, उस छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल = बल × विस्थापन (Δx) = किया गया कार्य

  • इसलिए, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(W = ∫ _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

गणना :

दिया है कि:

विस्थापन, x = 3t - 4t2 + t3

वेग, \(v =\frac{dx}{dt} = \frac{d(3t - 4t^2 + t^3)}{dt} = 3-8t + 3t^2\)

त्वरण, \(a = \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2(3t - 4t^2 + t^3)}{dt^2} = -8 + 6t\)

पहले 4 s के दौरान किया गया कार्य, \(W = ∫ _{0} ^{4} F.dx = ∫ _{0} ^{4} (ma).dx \)

\(\Rightarrow W = ∫ _{0} ^{4} 1(-8 +6t).(3-8t + 3t^2) dt\)

\(\Rightarrow W = \int_{0} ^{4} (18t^3 - 72t^2+82t-24 ) \)

\(\Rightarrow W = [\frac{18t^4}{4} - \frac{72t^3}{3} + \frac{82t^2}{2} -24t ]_{0} ^{4} \)

\(\Rightarrow W =176 \:J\)

सही उत्तर विकल्प 1 है) अर्थात कार्य

अवधारणा:

• एक निकाय द्वारा कार्य होगा यदि इस निकाय पर को बल लागू हो और इसे विस्थापित कर दे।
  • गणितीय रूप से यह W = F.x द्वारा दर्शाया गया है

जहां F निकाय पर कार्यरत बल है और x विस्थापन है।

व्याख्या:

• किसी निकाय पर कार्य करने वाले बल और विस्थापन को निम्न ग्राफ द्वारा दर्शाया जाता है
  • निकाय पर कार्य करने वाले परिवर्तनशील बल पर विचार कीजिये। यदि हम वक्र के अधीन क्षेत्रफल को असीम रूप से छोटे क्षेत्रफलों में विभाजित करते हैं, तो बल उस क्षेत्रफल के लिए स्थिर होगा जिसने Δx का विस्थापन किया है।
  • ऐसे में उस छोटे से क्षेत्र का क्षेत्रफल = बल × विस्थापन (Δx) =कार्य

​

• इसलिए बल-विस्थापन ग्राफ के अधीन क्षेत्रफल कार्य प्रदान करता है।

Additional Information

• आवेग (J): एक निकाय की गति में परिवर्तन जब निकाय पर एक निश्चित समय के लिए एक बल द्वारा कार्य किया जाता है आवेग कहा जाता है।
• आवेग गणितीय रूप से इस प्रकार होगा-

​\(⇒ Δ p=FΔ t\)

जहाँ Δp संवेग में परिवर्तन है, F बल है, और Δt लिया गया समय है

• ​रैखिक संवेग: संवेग को गतिमान निकाय के कारण प्रभाव के रूप में परिभाषित किया गया है।
  यह गणितीय रूप से इस प्रकार होगा-

​⇒ p = mv

जहां m निकाय का द्रव्यमान है और v निकाय का वेग है।

सही उत्तर विकल्प 2) अर्थात विस्थापन पर बल का निश्चित समाकल है

अवधारणा :

• कार्य (W) को एक बल द्वारा किया जाता है जब उस पर कार्य करने वाला बल वस्तु को विस्थापित करता है।

गणितीय रूप से यह इसके द्वारा दिया गया है:

W = F.x = Fxcosθ

जहाँ F वस्तु पर बल का कार्य करता है और x का विस्थापन है।

• एक वस्तु पर काम करने वाले बल और विस्थापन को चित्र के रूप में इसप्रकार दर्शाया गया है।
  • मान लीजिये वस्तु पर परिवर्तनीय बल कार्य कर रहा है। यदि हम इस क्षेत्र को अनंत छोटे क्षेत्रों में वक्र के तहत विभाजित करते हैं, तो बल उस क्षेत्र के लिए स्थिर दिखाई देगा, जिसने Δx का विस्थापन किया है।
  • ऐसे मामले में, उस छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल = बल × विस्थापन (Δx) = किया गया कार्य।

इसलिए, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(W = \int _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

व्याख्या:

एक चर बल के लिए इस बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया गया है:

\(W = \int _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

• तो, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन पर बल के एक निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त किया जाता है।

सही उत्तर विकल्प 1) अर्थात 38.4 J है

अवधारणा :

• कार्य (W) को एक बल द्वारा किया जाता है जब उस पर कार्य करने वाला बल वस्तु को विस्थापित करता है।

गणितीय रूप से यह इसके द्वारा दिया गया है:

W = F.x = Fxcosθ

जहाँ F वस्तु पर बल का कार्य करता है और x का विस्थापन है।

• एक वस्तु पर काम करने वाले बल और विस्थापन को चित्र के रूप में इसप्रकार दर्शाया गया है।
  • मान लीजिये वस्तु पर परिवर्तनीय बल कार्य कर रहा है। यदि हम इस क्षेत्र को अनंत छोटे क्षेत्रों में वक्र के तहत विभाजित करते हैं, तो बल उस क्षेत्र के लिए स्थिर दिखाई देगा, जिसने Δx का विस्थापन किया है।
  • ऐसे मामले में, उस छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल = बल × विस्थापन (Δx) = किया गया कार्य।

  • इसलिए, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(W = ∫ _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

गणना :

दिया है कि:

F = (3xy - 5z)ĵ + 4z k̂

आरेख से x² = y

⇒ Fy = (3y3/2 - 5z)ĵ और Fz = 4z k̂

z- अक्ष के साथ k̂ दिशा में किया गया कार्य शून्य है क्योंकि θ = 90∘

किया गया कार्य , \(W = \int _{0} ^{4} F_y dy\)

\(\Rightarrow W = \int _{0} ^{4} (3y^{3/2}-5z) dy\)

\(\Rightarrow W = [\frac{3y^{5/2}}{5/2}]_0 ^4\)

\(\Rightarrow W = \frac{192}{5} = 38.4\: J\)

सही उत्तर विकल्प 4 यानी \(ln(\frac{b}{a})\) है

अवधारणा :

• कार्य (W) को एक बल द्वारा किया जाता है जब उस पर कार्य करने वाला बल वस्तु को विस्थापित करता है।

 

गणितीय रूप से यह इसके द्वारा दिया गया है:

W = F.x = Fxcosθ

जहाँ F वस्तु पर बल का कार्य करता है और x का विस्थापन है।

एक वस्तु पर काम करने वाले बल और विस्थापन को चित्र के रूप में इसप्रकार दर्शाया गया है।

• मान लीजिये वस्तु पर परिवर्तनीय बल कार्य कर रहा है। यदि हम इस क्षेत्र को अनंत छोटे क्षेत्रों में वक्र के तहत विभाजित करते हैं, तो बल उस क्षेत्र के लिए स्थिर दिखाई देगा, जिसने Δx का विस्थापन किया है।
• ऐसे मामले में, उस छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल = बल × विस्थापन (Δx) = किया गया कार्य।

इसलिए, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(W = ∫ _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

व्याख्या:

माना कि x तय की गई दूरी है। दिया गया है कि \(F \propto \frac{1}{x}\)

किया गया कार्य, \(W = ∫ _{a} ^{b} F(x)dx\)

\(\Rightarrow W \propto ∫ _{a} ^{b} \frac{1}{x}dx\)

\(\Rightarrow W \propto [ln(x)]_a ^b\)

\(\Rightarrow W \propto ln(b)-ln(a)\)

\(\Rightarrow W \propto ln(\frac{b}{a})\)

सही उत्तर विकल्प 4) यानी 16 J है

अवधारणा :

• कार्य (W) को एक बल द्वारा किया जाता है जब उस पर कार्य करने वाला बल वस्तु को विस्थापित करता है।

गणितीय रूप से यह इसके द्वारा दिया गया है:

W = F.x = Fxcosθ

जहाँ F वस्तु पर बल का कार्य करता है और x का विस्थापन है।

• एक वस्तु पर काम करने वाले बल और विस्थापन को चित्र के रूप में इसप्रकार दर्शाया गया है।
  • मान लीजिये वस्तु पर परिवर्तनीय बल कार्य कर रहा है। यदि हम इस क्षेत्र को अनंत छोटे क्षेत्रों में वक्र के तहत विभाजित करते हैं, तो बल उस क्षेत्र के लिए स्थिर दिखाई देगा, जिसने Δx का विस्थापन किया है।
  • ऐसे मामले में, उस छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल = बल × विस्थापन (Δx) = किया गया कार्य।

  • इसलिए, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(W = ∫ _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

गणना :

• बल-विस्थापन आरेख के तहत क्षेत्र किया गया कार्य देता है।

यहां, विस्थापन x = 2.5 m - 0.5 m = 2 m

वक्र के तहत क्षेत्र = बल × विस्थापन = (10 - 4) × 2 = 12 J

• लेकिन, वक्र के नीचे का क्षेत्र एक पूर्ण समलम्ब नहीं है। तो, किया गया कार्य 12 J से थोड़ा अधिक होगा।
• इसलिए, सही उत्तर 16 J है।

सही उत्तर 4 विकल्प यानी \(\frac{C}{6}(x_2^3 -x_1^3)\) है

अवधारणा :

• कार्य (W) को एक बल द्वारा किया जाता है जब उस पर कार्य करने वाला बल वस्तु को विस्थापित करता है।

 

गणितीय रूप से यह इसके द्वारा दिया गया है:

W = F.x = Fxcosθ

जहाँ F वस्तु पर बल का कार्य करता है और x का विस्थापन है।

एक वस्तु पर काम करने वाले बल और विस्थापन को चित्र के रूप में इसप्रकार दर्शाया गया है।

• मान लीजिये वस्तु पर परिवर्तनीय बल कार्य कर रहा है। यदि हम इस क्षेत्र को अनंत छोटे क्षेत्रों में वक्र के तहत विभाजित करते हैं, तो बल उस क्षेत्र के लिए स्थिर दिखाई देगा, जिसने Δx का विस्थापन किया है।
• ऐसे मामले में, उस छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल = बल × विस्थापन (Δx) = किया गया कार्य।

इसलिए, एक चर बल द्वारा किया गया कार्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(W = \int _{x_1} ^{x_2} F(x)dx\)

गणना :

दिया गया है कि: F(x) = Cx2 और θ = 60∘ 

x1 से x2 तक कण को विस्थापित करने में किया गया कार्य: \(W = \int _{x_1} ^{x_2} F(x)cos\theta dx \)

\(\Rightarrow W = \int _{x_1} ^{x_2} Cx^2(cos60) dx\)

\(\Rightarrow W =\frac{1}{2}[\frac{Cx^3}{3} ]_{x_1} ^{x_2} \)

\(\Rightarrow W =\frac{C}{6}(x_2^3 -x_1^3) \)

अवधारणा:

किया गया कार्य: यह बल और विस्थापन का बिंदु गुणनफल है ।

किया गया कार्य (W) = बल (F) × विस्थापन (S)

बल द्वारा किया गया कार्य-

W = F × Δs =F-S आलेख के अधीन वक्र का क्षेत्रफल

गणना:

W =आलेख के अधीन वक्र का क्षेत्रफल

W1 (1m - 2m) = \(area~of~rectangle= base × height = 1 × 10 =10\)

W2 (2m - 3m) = 1 × 5 = 5

तो दूरी (x = 1m से x = 3m) को तय करने में किया कार्य = 10 + 5 = 15 जूल

इसलिए सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

• एक बल द्वारा कार्य तब किया जाता है जब निकाय वास्तव में लागू बल की दिशा में कुछ दूरी से विस्थापित होता है ।
• चूंकि निकाय F की दिशा में विस्थापित किया जा रहा है, इसलिए, दूरी s के माध्यम से निकाय को विस्थापित करने में बल द्वारा किया गया कार्य इस प्रकार है-

\(W = \vec F \cdot \vec s\)

W = Fs cos θ

जहां θ = गति की बल दिशा के बीच का कोण

•  इस प्रकार एक बल द्वारा किया गया कार्य बल के अदिश या डॉट गुणनफल और निकाय के विस्थापन के बराबर होता है।
• कार्य की SI इकाई जूल (J) है।

गणना

• किया गया काम F - x आलेख द्वारा संलग्न क्षेत्रफल के बराबर है

• निकाय को x = 1 m से  x = 5 m तक विस्थापित करने में किया गया कार्य होगा-

\(⇒ W = Area\,\, of \, OAM +Area\,\, of \, ABNM+Area\,\, of \, CDEN-Area\,\, of \, EHGF+Area\,\, of \, HIJ\)

\(⇒ W = \frac{1}{2}\times1\times 10+1\times 10+1\times 5-(1\times 5)+ \frac{1}{2}\times1\times 10\)

⇒ W = 5 + 10 + 5 - 5 + 5 = 20 J