दो आकृतियाँ MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Two Figures - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

प्रश्न के अनुसार, 2 ×(2πr) = 176

या, 2πr = 88

या, πr = 44

अतः, r = 14 सेमी

बेलन का आयतन = [22/7] r2 h = 3528π

इसलिए, 196h = 3528

इसलिए, h = 18

वर्ग की भुजा = 18 × [4 / 3] = 24 सेमी

अभीष्ट क्षेत्रफल = 24 × 24 = 576 सेमी

दिया गया है:

एक ठोस धात्विक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 1792π सेमी²

बेलन की आधार त्रिज्या (r_c) = 32 सेमी

बेलन को पिघलाकर 42 समान त्रिज्या वाली ठोस गोलाकार गेंदों में ढाला जाता है।

प्रयुक्त सूत्र:

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr_ch_c (जहाँ r_c आधार त्रिज्या और h_c बेलन की ऊँचाई है)

बेलन का आयतन = πr_c²h_c

गोले का आयतन = (4/3)πr_s³ (जहाँ r_s गोले की त्रिज्या है)

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr_s²

परिकलन:

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का उपयोग करके बेलन की ऊँचाई (hc) ज्ञात करें: 

CSA = 2πrchc

1792π = 2π × 32 × hc

1792 = 2 × 32 × hc

1792 = 64 × hc

hc = 1792 / 64

h_c = 28 सेमी

बेलन का आयतन = πr_c²h_c

= π × (32)2 × 28

= π × 1024 × 28

= 28672π सेमी³

42 गेंदों का कुल आयतन = 42 × एक गोलाकार गेंद का आयतन

28672π = 42 × (4/3)πr_s³

28672 = 42 × (4/3)r_s³

28672 = (168/3)r_s³

28672 = 56r_s³

r_s³ = 28672 / 56

r_s³ = 512

r_s = ∛512

r_s = 8 सेमी

एक गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr_s²

= 4π × (8)²

= 4π × 64

= 256π सेमी²

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया:

धातु के गोले का व्यास = 5.2 सेमी

धातु के गोले की त्रिज्या \((r)\) = 5.2 ÷ 2 = 2.6 सेमी

बेलन की त्रिज्या = 5.2 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\pi r^3\)

बेलन का आयतन = \(\pi r^2 h\)

चूँकि गोले को पिघलाकर पुनः बेलन बनाया गया है, गोले का आयतन = बेलन का आयतन

गणना:

\(\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 h\)

⇒ \(\frac{4}{3} × (2.6)^3 = (5.2)^2 × h\)

⇒ \(\frac{4}{3} × 2.6 = 2\times 2 × h\)

⇒ h = 2.6/3 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

ठोस गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR2

⇒ 4 × 3.15 × R2  = 315

⇒ R2 = 25

⇒ R = 5

ठोस गोले का आयतन = (4/3) × πR3

ठोस गोले का आयतन = (4/3) × 3.15 × (5)3 = 525 सेमी3

घनाकार टैंक की भुजा की लम्बाई = 10 सेमी

घनाकार टैंक का कुल आयतन = (10)3 = 1000 सेमी3

घनाकार टैंक का वर्तमान आयतन = m% × 1000 सेमी3 

टैंक में गोले को गिराने के बाद, टैंक में तरल की ऊँचाई 175% बढ़ जाती है।

इसलिए,  m × 1000/100 + 525  = m × (1000/100) × (11/4)

⇒ m × 40 + 2100 = m × 110

⇒ 70 × m = 2100

⇒ m% = 30%

Alternate Method

दिया है:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 315 सेमी² है

एक घनाकार टैंक जिसकी भुजा की लम्बाई = 10 सेमी

प्रयुक्त सूत्र :

एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(4\pi r^2\)

गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\pi r^3\)

घनाकार टैंक का आयतन = \(side^3\)

गणना:

एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(4\pi r^2 = 315=r=5cm\)

अब, गोले का आयतन = \(Vsphere= \frac{4}{3}\pi r^3= \frac{4}{3}\times3.15\times 5^3\)

\(Vsphere=525cm^3\)

टैंक का आयतन भुजा की लम्बाई = \(10^3=1000cm^3\) द्वारा दिया गया है

यदि टैंक को प्रारंभ में इसकी क्षमता के m% तक भरा जाता है, तो तरल की प्रारंभिक मात्रा 1000 सेमी³ का m% है,

गोले को टैंक में डालने के बाद, तरल की ऊँचाई 175% बढ़ जाती है।

तो, टैंक में तरल की अंतिम मात्रा उसकी प्रारंभिक मात्रा का 100% + 175% = 275% हो जाती है।

तरल का प्रारंभिक आयतन + गोले का आयतन = तरल का अंतिम आयतन

\(\frac{m}{100}\times1000+525=2.75\times\frac{m}{100}\times1000\)

\(27.5m-10m=525\)

\(m=\frac{525}{17.5}=30\)

∴ अभीष्ट हल 30% है।

दिया गया है:

बेलन की ऊँचाई (h_c) = 42 सेमी

बेलन का आयतन (V_c) = 52,800 सेमी³

प्रयुक्त सूत्र:

बेलन का आयतन = πr²h

गणना:

बेलन का आयतन = πr²h

⇒ 52,800 = (22/7) × r² × 42

⇒ r² = 52,800 × (7/22) × (1/42)

⇒ r² = (52,800 × 7) / (22 × 42)

⇒ r² = 400

⇒ r = √400

⇒ r = 20 सेमी

चूँकि बेलन और शंकु दोनों की त्रिज्या समान है।

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया है:

गोले की त्रिज्या = 42 सेमी

तार की त्रिज्या = 21 सेमी

सूत्र:

बेलन का आयतन = πr²h

गोले का आयतन = [4/3]πr³

गणना:

माना तार की लंबाई x है, तो

प्रश्न के अनुसार

π × 21 × 21 × x = [4/3] × π × 42 × 42 × 42 [क्योंकि आयतन स्थिर रहेगा]

⇒ x = (4 × 42 × 42 × 42)/(21 × 21 × 3)

⇒ x = 224 सेमी 

∴ तार की लंबाई 224 सेमी है।

दिया गया है:

गोले की त्रिज्या = 12 सेमी

शंकु की ऊँचाई = 12 सेमी

सूत्र:

शंकु का आयतन = (1/3) × πr²h

गोले का आयतन = (4/3) × πr³

गणना:

माना शंकु की त्रिज्या r सेमी है

प्रश्नानुसार,

(1/3) × π × r² × 12 = (4/3) × π × 12 × 12 × 12

⇒ r² = 12 × 12 × 4

⇒ r = 12 × 2

उपयोग किया गया सूत्र:

घनाभ का कुल पृष्ठफल = 2lb + 2bh + 2hl  या 2(lb + bh + hl)

यहां l, b और h लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई हैं।

घन का आयतन = a³

गणणा:

a³ = 729

⇒ a = 9 सेमी

घनाभ की लंबाई = 9 + 9 = 18 सेमी

चौड़ाई = 9 सेमी

ऊंचाई = 9 सेमी

घनाभ का कुल पृष्ठफल = 2 (18 × 9 + 9 × 9 + 9 × 18) = 810 सेमी²

∴ घनाभ का कुल पृष्ठफल 810 सेमी2 हैl

दिया गया है:

गोले की त्रिज्या = 3 सेमी

शंकु की ऊंचाई = शंकु की त्रिज्या की आधी

संकल्पना:

गोले का आयतन = शंकु का आयतन

प्रयुक्त सूत्र:

गोले का आयतन = 4/3 × πR³

शंकु का आयतन = 1/3 × πr²h

गणना:

मान लीजिए कि शंकु की ऊंचाई और त्रिज्या क्रमशः 'h' और 'r' हैं।

∴ h = r/2

अब,

सूत्र का उपयोग करके:

\(\frac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 3 \times 3 = \frac{1}{3} \times \pi \times r \times r \times h\)

h = r/2 रखने पर

⇒ \(\frac{4}{3} \times 3 \times 3 \times 3 = \frac{1}{3} \times r \times r \times \frac{r}{2}\)

⇒ r³ = 216

⇒ r = 6

∴ शंकु की त्रिज्या = 6 सेमी।

दिया गया है:

20 सेमी व्यास वाले एक कांच के बेलन में 9 सेमी की ऊंचाई तक पानी है। 8 सेमी भुजा का एक धातु का घन इसमें पूरी तरह से डुबाया जाता है।

प्रयुक्त सूत्र:

बेलन का आयतन = Πr²h

घन का आयतन = a³ 

गणना:

बेलन का व्यास = 20 सेमी

⇒ बेलन की त्रिज्या = 10 सेमी

अब, विस्थापित पानी का आयतन (जिसके कारण बेलन में पानी बढ़ जाएगा) = घन का आयतन

∴ πr²h = a3

⇒ 3.142 × 10 × 10 × h = 8³

⇒ 3142 × 1/10 × h = 512

⇒ h = 5120/3142 

⇒ h = 1.62 सेमी ~ 1.6 सेमी

दिया गया है:

20 सेमी भुजा वाले घन को क्रमशः 40 सेमी लंबाई और चौड़ाई वाले घनाभ में ढाला गया है। 

प्रयुक्त सूत्र:

घन का आयतन = (भुजा)³ 

घनाभ का आयतन = l × b × h 

घनाभ का विकर्ण = √ l² + b² + h²

गणना:

घन का आयतन = घनाभ का आयतन

⇒ 20 × 20 × 20 = 40 × 40 × h

⇒ h = (20 × 20 × 20) ÷ (40 × 40)

⇒ h = 5 सेमी

घनाभ का विकर्ण = √ 40² + 40² + 5²

⇒ √ 1600 + 1600 + 25 = √ 3225

⇒ 5√129 सेमी 

∴ घनाभ का विकर्ण = 5√129 सेमी

दिया गया है:

बेलन की ऊंचाई = 30 सेमी

बेलन की त्रिज्या = 5 सेमी

शंकु की ऊंचाई = 12 सेमी

शंकु का त्रिज्या = 5 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

l² = h² + r²

जहां,

l = शंकु की तिर्यक ऊंचाई

h = ऊंचाई

r = त्रिज्या

गणना:

l² = h² + r²

⇒ l² = 12² + 5²

⇒ l² = 144 + 25

⇒ l = 13 सेमी

आकृति का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

⇒ 2πrh + 2πrl

⇒ 2πr(h + l)

⇒ 2π × 5(30 + 13)

⇒ 430π

∴ शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल 430π.है।

 Additional Information

जब शंकु को ड्रिल किया जाता है तो बेलन का आयतन घट रहा होता है। लेकिन सतह क्षेत्र में वृद्धि होगी। पृष्ठीय क्षेत्रफल का अर्थ है वह क्षेत्र जिसे हम छू सकते हैं। जब शंकु बाहर निकल जाते हैं तो हम बाहरी और भीतरी दोनों सतह को छू सकते हैं। तो हमें दोनों सतह क्षेत्रों को जोड़ना होगा।

दिया है:

गोले की त्रिज्या 3 सेमी है

बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई 4.5 सेमी और 32 सेमी है

प्रयुक्त सूत्र:

गोले का आयतन = 4/3πr³

बेलन का आयतन = πr²h

गणना:

डाले गए गोलों का आयतन = बढ़ा हुआ पानी का आयतन

गोले की त्रिज्या = 6/2= 3 सेमी

बेलन की त्रिज्या = 9/2 = 4.5

अतः,

(4/3)π × (3)³ × गोलों की संख्या =  π (4.5) × (4.5) × 32

⇒ गोलों की संख्या = 18

∴ सही विकल्प विकल्प 2 है।

दिया गया है: 

घन की भुजा = 21 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

गोले का आयतन = 4/3πr3

गणना:

21 सेमी भुजा वाले घन से जो सबसे बड़ा गोला बनाया जा सकता है उसका व्यास 21 सेमी के बराबर होगा।

गोले की त्रिज्या = 21/2 सेमी

गोले का आयतन = 4/3 × 22/7 × 21/2 × 21/2 × 21/2

⇒ 11 × 21 × 21 

⇒ 4851 सेमी3

∴ अभीष्ट परिणाम 4851 सेमी3 है।

दिया गया है:

लम्ब वृत्तीय शंकु और बेलन की त्रिज्या (r) = 5 सेमी

लम्ब वृत्तीय शंकु और बेलन की ऊँचाई (h) = 9 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

लम्ब वृत्तीय बेलन (V1) का आयतन = πr²h

लम्ब वृत्तीय शंकु (V₂) का आयतन = \(\dfrac{1}{3}\)πr2h

गणना :

शेष ठोस का आयतन = V₁ - V₂ 

⇒ \(π× 5^2× 9 - \dfrac{1}{3}× π× 5^2× 9\) 

⇒ π × 5² × 9 (1 - \(\dfrac{1}{3}\))

⇒ \(\dfrac{2}{3}× π× 5^2× 9\)

⇒ 150π

∴ उत्तर 150π है।