Queueing Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Queueing Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिए गए आंकड़े:

• आगमन दर (λ) = प्रति घंटे 120 ग्राहक
• सेवा दर (μ) = प्रति घंटे 150 ग्राहक

उपयोग कारक (ρ) आगमन दर का सेवा दर से अनुपात है। यह उस समय के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है जब सर्वर व्यस्त होता है। उपयोग कारक का सूत्र है:

ρ = λ / μ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

ρ = 120 / 150

इस भिन्न को सरल बनाने पर:

ρ = 0.8

उपयोग कारक (ρ) इंगित करता है कि सर्वर 80% समय व्यस्त रहता है। इसलिए, सर्वर के निष्क्रिय रहने के समय का अनुपात (1 - ρ) की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

निष्क्रिय समय अनुपात = 1 - ρ

ρ का मान प्रतिस्थापित करने पर:

निष्क्रिय समय अनुपात = 1 - 0.8

निष्क्रिय समय अनुपात = 0.2

इसलिए, सर्वर के निष्क्रिय रहने का समय अनुपात 0.2 है।

संप्रत्यय:

दी गई समस्या M/M/1 कतार मॉडल का पालन करती है, जहाँ आगमन पॉइसन वितरण का पालन करते हैं, और सेवा समय घातीय रूप से वितरित होते हैं।

अपेक्षित कतार लंबाई L_q इस प्रकार दी गई है:

\( L_q = \frac{\lambda^2}{\mu (\mu - \lambda)} \)

जहाँ:

• \( \lambda \) = माध्य आगमन दर (प्रति घंटा ग्राहक)
• \( \mu \) = माध्य सेवा दर (प्रति घंटा ग्राहक)

गणना:

चरण 1: सेवा दर \( \mu \) की गणना करें

यह दिया गया है कि प्रति ग्राहक माध्य सेवा समय **3 मिनट** है, हम इसे प्रति घंटा दर में बदलते हैं:

\( \mu = \frac{60}{\text{सेवा समय}} = \frac{60}{3} = 20 \text{ ग्राहक प्रति घंटा} \)

चरण 2: अपेक्षित कतार लंबाई की गणना करें

सूत्र में मान प्रतिस्थापित करने पर:

\( L_q = \frac{8^2}{20 (20 - 8)} \)

\( L_q = \frac{64}{20 \times 12} \)

\( L_q = \frac{64}{240} = 0.267 \)

सही उत्तर एक कतार से दूसरी समानांतर कतार में स्थानांतरण है।

Key Points 

• कतारबद्ध सिद्धांत उन समस्याओं से संबंधित है जिनमें कतार लगाना (या प्रतीक्षा करना) शामिल है। विशिष्ट उदाहरण हो सकते हैं: बैंक/सुपरमार्केट - सेवा की प्रतीक्षा में, कंप्यूटर - प्रतिक्रिया की प्रतीक्षा में, सार्वजनिक परिवहन - ट्रेन या बस की प्रतीक्षा में।
• जॉकीइंग को कम देरी की प्रत्याशा में प्रतीक्षारत ग्राहक के एक कतार से दूसरी कतार (छोटी लंबाई की या जो तेजी से चलती हुई प्रतीत होती है, आदि) की आवागमन के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

Additional Information 

• जैसा कि बताया गया है, कतारबद्ध सिद्धांत एक रेखा के माध्यम से लोगों, वस्तुओं या सूचना की गति का अध्ययन है।

• मना करना तब होता है जब ग्राहक कतार में बहुत लंबी होने पर उसमें शामिल नहीं होने का निर्णय लेते हैं और मना करना तब होता है जब ग्राहक सेवा के लिए बहुत लंबी प्रतीक्षा करने पर कतार छोड़ देते हैं।

अतः सही उत्तर एक कतार से दूसरी समानांतर कतार में स्थानांतरण है।

सही उत्तर है सेवा समय पॉइसन वितरित हैं।

Key Points सेवा समय एक साधारण एकल सर्वर कतार मॉडल में जहर वितरित नहीं है। यह एक घातीय वितरण प्रणाली पर आधारित है।

Important Points

कतारबद्ध प्रणाली से तात्पर्य दो या दो से अधिक सर्वरों से है जो आने वाले ग्राहकों को सेवा प्रदान करते हैं। जब दो या अधिक सर्वर व्यस्त होते हैं, तो ग्राहकों एक कतार से दूसरी कतार या कतार प्रणाली पर स्विच करना चुन सकते हैं।

कतार प्रणाली का घटक:

• आगमन प्रणाली: ग्राहकों का आगमन कॉल करने वाली आबादी के माध्यम से हो सकता है। कॉल करने वाली जनसंख्या सीमित या सीमित नहीं हो सकती है।
• सेवा तंत्र: सेवा तंत्र को सर्वरों की संख्या से परिभाषित किया जाता है, प्रत्येक की अपनी कतार और सेवा वितरण प्रणाली होती है।
• कतार अनुशासन: यह नियम है कि एक सर्वर कतार से अगले ग्राहक का चयन करता है।

एकल सर्वर कतार मॉडल:

एक एकल सर्वर कतार मॉडल पहले आओ पहले पाओ के आधार पर ग्राहकों को एक-एक करके सेवा प्रदान करता है। सेवा प्राप्त करने के बाद, ग्राहक कतार से हट जाता है और कतार में लोगों की संख्या 1 कम हो जाती है।

एकल सर्वर कतार मॉडल की मान्यताएँ:

• ग्राहक अनंत और धैर्यवान हैं।
• ग्राहकों का आगमन तेजी से वितरण के बाद होता है।
• सेवा दरें भी घातीय वितरण का अनुसरण करती हैं।
• ग्राहकों को पहले आओ पहले पाओ के आधार पर सेवा दी जाती है।

अतः, सही उत्तर है सेवा समय पॉइसन वितरित हैं।

सही उत्तर है\(\rm \frac{\lambda}{ (\mu-\lambda)}\)

Key Points

• क्यूइंग थ्योरी: सेवाओं को प्राप्त करने के लिए प्रतीक्षा कर रहे लोगों की लाइनों का अध्ययन क्यूइंग थ्योरी का विषय है।
• समय की प्रति इकाई आगमन की औसत संख्या, या आगमन दर, 1 है (मतलब अंतर-आगमन समय)।
• उदाहरण के लिए: आगमन दर 1/10 प्रति मिनट या 0.1 प्रति मिनट है, यदि औसत अंतर-आगमन समय 10 मिनट है।
• सेवा दर समय की एक इकाई (औसत सेवा समय) में सेवा करने वाले ग्राहकों की औसत संख्या है।
• उदाहरण के लिए: यदि औसत प्रतीक्षा समय 5 मिनट है, तो सेवा दर एक मिनट का पांचवां हिस्सा या 0.2 मिनट है।
•  \(\rm \frac{\lambda}{ (\mu-\lambda)}\)   यहाँ,   λ (यह प्रतीक लैम्ब्डा है )।
• यहाँ,  µ (यह प्रतीक म्यू है )।

Important Points

सिस्टम में ग्राहकों की औसत संख्या:

                         = उपयोगिता अनुपात / निष्क्रिय अनुपात

                         =  λ/ µ / (1- λ /  µ)

                          = λ / µ / ( µ - λ / µ)

                          = λ / µ * µ / µ - λ

µ ( Mu ) को रद्द करने पर ,\(\rm \frac{\lambda}{ (\mu-\lambda)}\)

यहाँ, सही उत्तर है \(\rm \frac{\lambda}{ (\mu-\lambda)}\).

धारणा:

प्रणाली में ग्राहकों की संख्या,\({L_S} = \frac{\lambda }{{\mu - \lambda }}\)

पंक्ति में ग्राहकों की संख्या, \({L_q} = \frac{{{\lambda ^2}}}{{\mu \left( {\mu - \lambda } \right)}}\)

गणना:

आगमन दर λ = 10 मिनट/ग्राहक = 6 ग्राहक/घंटा 

सेवा दर, μ = 6 मिनट/ग्राहक = 10 ग्राहक/घंटा 

पंक्ति की औसत लम्बाई, \({L_q} = \frac{{{\lambda ^2}}}{{\mu \left( {\mu - \lambda } \right)}}\)

\(\;{L_q} = \frac{{{6^2}}}{{10\;\left( {10\; - \;6} \right)}} = \;0.9 = \frac{9}{{10}}\)

याद रखने योग्य तथ्य

• प्रणाली में औसत आगमन दर और बिताया गया समय (प्रणाली में प्रतीक्षा काल) = \({W_s} = \frac{1}{{\mu - \lambda }}\)
• पंक्ति में औसत आगमन दर और बिताया गया समय (सेवा किये जाने से पहले) (पंक्ति में प्रतीक्षा काल) = \({W_q} = \frac{\lambda }{\mu }.\frac{1}{{\mu - \lambda }}\)
• प्रणाली में ग्राहकों की औसत संख्या = \({L_s} = \lambda {W_s} = \lambda .\frac{1}{{\mu - \lambda }}\)
• पंक्ति में ग्राहकों की औसत संख्या = औसत पंक्ति की लम्बाई = \({L_q} = \lambda {W_q} = \lambda .\frac{\lambda }{\mu }.\frac{1}{{\mu - \lambda }} = \frac{{{\lambda ^2}}}{\mu }\left( {\frac{1}{{\mu - \lambda }}} \right)\)
• प्रायिकता यह है कि प्रणाली में k ग्राहक हैं = (ρ)k(1 - ρ) = \(\frac{\lambda }{\mu }\left( {\frac{1}{{\mu - \lambda }}} \right)\)

• प्रायिकता यह है कि k ग्राहक से अधिक ग्राहक हैं = \({\left( {\frac{\lambda }{\mu }} \right)^{k + 1}}\)

सही उत्तर \(\mathbf{\frac{6}{36}}\) है। 

Key Points

• किसी विशेष घटना E के घटित होने की  प्रायिकता निम्न द्वारा दी जाती है,\(P(E)=\frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of outcomes or sample space.}}\)
• इस समस्या का प्रतिदर्श समष्टि, जहाँ दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, 36 है। 
• पासे के मानों का योग जिसके परिणामस्वरूप योग 7 प्राप्त होता है, निम्न तालिका द्वारा दिया गया है:

  क्रमिक संख्या	पासा 1 में अवलोकन का मूल्य	पासे 2 में प्रेक्षण का मान
  1	1	6
  2	6	1
  3	3	4
  4	4	3
  5	2	5
  6	5	2

• इस स्थिति में अनुकूल परिणामों की संख्या 6 है।
• मान लीजिए दो पासों को एक साथ फेंके जाने पर 7 प्राप्त होने की घटना F है।
• इसलिए, P(F)=\(\frac{6}{36}\)

Important Points

• प्रतिदर्श समष्टि दिए गए प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है। इस स्थिति में, 2 पासों को एक साथ फेंकने पर 36 परिणाम संभव हैं।
• घटना एक प्रयोग के एकल परिणाम प्राप्त करने की संभावना को दर्शाती है। इस समस्या में, घटना को 7 का मान प्राप्त करना है।
• परिणाम प्रयोग का परिणाम है। 

इसलिए, एक साथ फेंके गए दो पासों पर कुल 7 आने की प्रायिकता \(\frac{6}{36}\) है। 

अवधारणा:

ग्राहक व्यवहार के चार प्रकार होते हैं।

1. जॉकींग- जब एक ग्राहक केवल तीव्र सेवा पाने के आशा में पंक्ति बदलते रहता है।
2. बाधा डालना: ग्राहक पंक्ति में शामिल नहीं होता है और प्रणाली को छोड़ देता है क्योंकि पंक्ति बहुत लंबी है।
3. छोड़ना: ग्राहक एक छोटी अवधि के लिए पंक्ति में शामिल होता है, फिर प्रणाली को छोड़ देता है क्योंकि पंक्ति बहुत धीमे से बढ़ रही होती है।
4. बेईमान: ग्राहक केवल तीव्र सेवा पाने की आशा में अवैध तरीके से रिश्वत लेना, लड़ाई करना इत्यादि करता है।

संकल्पना:

पंक्‍ति सिद्धांत

दिया गया है:

औसत आगमन दर (λ) = 10/घंटा, औसत सेवा दर (μ) = 15/घंटा

∴ ट्रैफिक तीव्रता, \(\rho = \frac{\lambda }{\mu } = \frac{2}{3}\)

पंक्ति की लम्बाई = \(\frac{{{\rho ^2}}}{{1 - \rho }}\)

गणना:

पंक्ति की लम्बाई = \(\frac{{4/9}}{{1/3}}\) = 4/3

व्याख्या:-

पंक्ति मॉडल को केंडल और ली संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है जिसका सामान्य रूप (a/b/c) : (d/e/f) है: 

जहाँ,

a = आगमन पैटर्न के लिए प्रायिकता वितरण, b = सर्विस पैटर्न के लिए प्रायिकता वितरण, c = प्रणाली में सर्वरों की संख्या, d = सर्विस नियम या सर्विस आदेश, e = प्रणाली का आकार या क्षमता, f = कॉलिंग आबादी का आकार या क्षमता

इसलिए, प्रणाली में सर्वर की संख्या (M/M/3): (FCFS/6) = 3 है

व्याख्या:

• प्राप्ति की दर से सेवा दर का अनुपात सर्वर के व्यस्त होने का प्रतिशत दर्शाता है, इसे उपयोग कारक, सिस्टम उपयोग चैनल की कार्यक्षमता और समाशोधन अनुपात (clearing ratio) के रूप में जाना जाता है। इससे यह संकेत मिलता है कि एक नए ग्राहक को कितनी संभावना है कि उसको प्रतीक्षा करनी पड़ सकती है।
• ग्राहक के आगमन की दर = λ  (यह पाइजन वितरण का अनुसरण करता है)
• सेवा की दर = μ  (यह चरघातांकीय वितरण का अनुसरण करता है।) 
•  यदि माध्य आगमन दर और औसत सेवा दर के अनुपात में वृद्धि हो जाती है तब 

• λ > μ
• ग्राहक आगमन दर सेवा दर से अधिक है, इसलिए ग्राहक प्रणाली या तंत्र में धीमी गति से चलता है और इससे पंक्ति की लंबाई में वृद्धि होती रहती है और एक निश्चित समय के बाद, आने वाली आबादी को सेवा प्राप्त नहीं होती है।

स्पष्टीकरण:

कतारबद्ध करने के लिए मोंटे कार्लो सिमुलेशन

• मोंटे कार्लो तकनीक वेटिंग लाइन की समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए काफी उपयोगी है जिनका गणितीय रूप से विश्लेषण करना कठिन या असंभव है।
• सिम्युलेटेड सैम्पलिंग विधि (एसएसएम) , पहले आओ, पहले पाओ की स्थिति में सहायक, किसी विशेष कतार के लिए मान्य नहीं है ।
• कई मामलों में, आगमन समय और सेवा समय के देखे गए वितरण को एक निश्चित गणितीय वितरण ( पॉइसन और घातीय वितरण ) में फिट नहीं किया जा सकता है और मोंटे कार्लो एसएसएम ही एकमात्र आशा है।
• एक कतार में आगमन और विभिन्न कतारों से प्रस्थान की कई कतारों की स्थिति को भी मोंटे कार्लो एसएसएम द्वारा अच्छी तरह से नियंत्रित किया जाता है।
• एसएसएम में आइटम के वास्तविक ब्रह्मांड को उसके सैद्धांतिक समकक्ष के साथ प्रतिस्थापित करना शामिल है, जो कि कुछ अनुमानित संभाव्यता वितरण द्वारा वर्णित ब्रह्मांड है।
• फिर इस सैद्धांतिक जनसंख्या से नमूना लेने के लिए एक यादृच्छिक संख्या तालिका का उपयोग किया जाता है। ऐसे एसएसएम को मोंटे कार्लो विधि कहा जाता है।

​मोंटे कार्लो विधि के लाभ

• मोंटे कार्लो सिमुलेशन एक कम्प्यूटरीकृत गणितीय तकनीक है जो लोगों को मात्रात्मक विश्लेषण और निर्णय लेने में जोखिम का हिसाब देने की अनुमति देती है।
• कम्प्यूटरीकरण के उपयोग से महीनों और वर्षों तक बड़ी मात्रा में डेटा का भंडारण और पुनर्प्राप्ति आसान हो जाती है।
• उन कारकों का हेरफेर जिन्हें नियंत्रित किया जा सकता है। (यानी अनुकरण)
• मोंटे कार्लो सिमुलेशन अनिश्चितता के आधार पर संभावित परिणामों के मॉडल बनाकर जोखिम विश्लेषण करता है।
• इसके बाद यह बार-बार परिणामों की गणना करता है, हर बार संभाव्यता कार्यों से यादृच्छिक मानों के एक अलग सेट का उपयोग करता है।
• मोंटे कार्लो सिमुलेशन निर्णय-निर्माता को संभावित परिणामों और किसी भी विकल्प की कार्रवाई के लिए होने वाली संभावनाओं की एक श्रृंखला के साथ मदद करता है।

कतार सिद्धांत

• कतारबद्ध सिद्धांत कतार की प्रतीक्षा का गणितीय अध्ययन है।
• एक कतार मॉडल का निर्माण किया गया है ताकि कतार की लंबाई और प्रतीक्षा समय की भविष्यवाणी की जा सके।
• कतारबद्ध सिद्धांत को आम तौर पर संचालन अनुसंधान की एक शाखा माना जाता है क्योंकि सेवा प्रदान करने के लिए आवश्यक संसाधनों के बारे में व्यावसायिक निर्णय लेते समय परिणामों का अक्सर उपयोग किया जाता है।

संकल्पना:

• पंक्ति सिद्धांत में प्रायिकता के गणितीय सिद्धांत के भीतर एक नियम लिटिल का परिणाम है, प्रमेय जॉन लिटिल द्वारा प्रस्तावित एक प्रमेय है जिसमें कहा गया है कि एक स्थिर प्रणाली में ग्राहकों की दीर्घकालीन औसत संख्या L उस औसत समय W द्वारा गुणा किये गए दीर्घकालीन औसत प्रभावी आगमन दर λ के बराबर होता है जो एक ग्राहक सिस्टम में बिताता है।
• बीजगणितीय रूप से व्यक्त नियम है

Ls = λ W

\(W=\frac{L_s}{λ }\)

• जहाँ W प्रणाली में औसत प्रतीक्षा समय है, Ls प्रणाली में ग्राहकों की औसत संख्या या प्रणाली की लम्बाई और प्रणाली में आगमन दर है।
• अतः लिटिल का नियम समय की प्रतीक्षा और पंक्ति या प्रणाली की लम्बाई है।