प्रायिकता MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

\(\rm P \left( {\frac{{\bar A}}{{\bar B}}} \right) = \frac{{P\left( {\bar A \cap \bar B} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}}\)

\( {{P\left( {\bar A \cap \bar B} \right)}}\)  = \(P({\overline {A \cup B}})\)

एक-एक करके विकल्पों पर चलते हैं

1. \(P(\frac{B}{A}) = \frac{P(A ~∩~ B)}{P(A)}\)

\(P(\bar A \cup \bar B) = 1 - P(A)P\left(\frac B A\right)\)

\(P(\bar A \cup \bar B) = 1 - P(A)\frac{P(A∩ B)}{P(A)}\)

= 1 - P(A ∩ B)

विकल्प 1 सही है।

2) P(A̅ ∪ B̅) = 1 – P(A ∪ B)

∴ विकल्प 2 गलत है।

3) \(P\left( {\bar A \cup \bar B} \right) = P\left( {\overline {A \cup B} } \right)\)

w.k.t

निष्पक्ष सिक्के से दो टेल्स आने की प्रायिकता =

\(\frac{1}{{\underbrace 2_{\begin{array}{*{20}{c}} {choosing\;}\\ {fair} \end{array}}}} \times \frac{1}{{\underbrace 2_{\begin{array}{*{20}{c}} {first\;}\\ {tails} \end{array}}}} \times \frac{1}{{\underbrace 2_{\begin{array}{*{20}{c}} {second\;}\\ {tails} \end{array}}}} = P\left( F \right)\)

और,

गैर-निष्पक्ष सिक्के से दो टेल्स आने की प्रायिकता =

\(\frac{1}{{\underbrace 2_{\begin{array}{*{20}{c}} {choosing\;}\\ {fair} \end{array}}}} \times \underbrace 1_{\begin{array}{*{20}{c}} {first\;}\\ {tails} \end{array}} \times \underbrace 1_{\begin{array}{*{20}{c}} {second\;}\\ {tails} \end{array}} = P\left( U \right)\)

इस प्रकार निष्पक्ष सिक्के से दोनों टेल्स आने की प्रायिकता =

\(\begin{array}{l} \frac{{P\left( F \right)}}{{P\left( F \right) + P\left( U \right)}}\\ = \frac{{\frac{1}{8}}}{{\frac{1}{8} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{5} \end{array}\)

दिया गया है:

A, B और C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निश्‍शेष घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(B) = \(\frac{3}{2}\)P(A) और P(C) = \(\frac{1}{2}\)P(B) हैं। 

संकल्पना​:

यदि A, B और C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निश्‍शेष घटनाएँ घटनाएँ हैं, तब-

P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1

हल:

प्रश्न के अनुसार,

A, B, और C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निश्‍शेष घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(B) = \(\frac{3}{2}\)P(A) और P(C) = \(\frac{1}{2}\)P(B) हैं। 

P (A U B U C) = P(A) + \(\frac{3}{2}P(A)\) + \(\frac{1}{2}P(B)\)

P (A U B U C) = P(A) + \(\frac{3}{2}P(A)\) + \(\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}P(A)\)

P (A U B U C) = P(A) + \(\frac{3}{2}P(A)\) + \(\frac{3}{4}P(A)\)

P (A U B U C) =  \(\frac{13}{4}P(A)\)

साथ ही,

P (A U B U C) = 1

\(\frac{13}{4}P(A)=1 \\ P(A)=\frac{4}{13}\)

अतः विकल्प 4 सही है।

हम जानते हैं, P (A⋃B) = P (A) + P (B) – P (A⋂B)                

\(\begin{array}{l} \therefore \frac{5}{6} = P\left( A \right) + \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{5}{6}-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\\ = \frac{{5-3 + 2}}{6} \end{array}\)

= 4/6

= 2/3

हम जानते हैं स्वतंत्र घटनाओं के लिए P(A).P(B) = P(A⋂B),

P(A).P(B) = (2/3) × (1/2) = 1/3

यह P(A⋂B) के समान है|

इस प्रकार घटनाएँ A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं|

गणना:

एक बैग में 3 सफेद, 2 नीली और 5 लाल गेंदें होती हैं।

गेंदों की कुल संख्या = 3 + 2 + 5 = 10

गेंदों की संख्या जो लाल नहीं हैं = 10 - 5 = 5

निकाली गई गेंदों की प्रायिकता जो लाल नहीं हैं = (गेंदों की संख्या जो लाल नहीं हैं)/(गेंदों की कुल संख्या) = 5/10 = 1/2

अवधारणा:

प्रायिकता सिद्धांत में, एक घटना की प्रायिकता को मापा जाता है यदि कोई अन्य घटना पहले ही घटित हो चुकी है, जिसे सशर्त प्रायिकता कहा जाता है।

सशर्त प्रायिकता की गणना के लिए, पूर्ववर्ती घटना की संभावना और अगली घटना की प्रायिकता को गुणा किया जाता है।

सशर्त प्रायिकता निम्नानुसार दर्शाई जाती है

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

जहाँ E1 और E2 घटनाएँ हैं।

गणना:

दिया गया है:

कलश में 5 लाल गेंदे और 5 काले गेंदे हैं। 

एक गेंद का चयन यादृच्छिकता से किया जाता है। 

स्थिति (i): पहली गेंद लाल गेंद है। 

दूसरे निष्कासन में एक लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित है

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

स्थिति (ii): पहली गेंद काली गेंद है। 

दूसरे निष्कासन में एक लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित है

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

अभीष्ट प्रायिकता (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

डेटा:

\(p\left( P \right) = \frac{1}{4}\)

\(P\left( {\frac{P}{Q}} \right) = \;\frac{1}{2}\) , \(P\left( {\frac{Q}{P}} \right) = \;\frac{1}{3}\)

सूत्र

\(P\left( {\frac{A}{B}} \right) = \;\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

गणना:

\(P\left( {\frac{Q}{P}} \right) = \;\frac{{P\;\left( {P \cap Q} \right)}}{{P\left( P \right)}},\;\;\)

\(\frac{1}{3} = \;\frac{{P\left( {P \cap Q} \right)}}{{\frac{1}{4}}}\) ,

\(P\left( {P \cap Q} \right) = \;\frac{1}{{12}}\)

साथ ही, \(P\left( {\frac{P}{Q}} \right) = \frac{{P\;\left( {P \cap Q} \right)}}{{P\left( Q \right)}},\;\;\)

\(\frac{1}{2} = \frac{{\frac{1}{{12}}}}{{P\left( Q \right)}}\) ,

\(P\left( Q \right) = \frac{1}{6}\)

आवश्यक प्रायिकता,\(P\left( {\frac{{P'}}{{Q'}}} \right) = \frac{{P\left( {P' \cap Q'} \right)}}{{P\left( {Q'} \right)}}\)

\(= \frac{{P{{\left( {P \cup Q} \right)}'}}}{{1 - P\left( Q \right)}}\; = \frac{{1 - P\left( {P \cup Q} \right)}}{{1 - P\left( Q \right)}}\)

\(= \frac{{1 - \left( {P\left( P \right) + P\left( Q \right) - P\;\left( {P \cap Q} \right)} \right)}}{{1 - P\left( Q \right)}}\;\)

\(= \frac{{1 - \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{{12}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{6}}}\)

हम जानते हैं कि,

जब एक सिक्का उछाला जाता है, तब केवल दो संभावित परिणाम होते हैं, या तो हेड या टेल

हम जानते हैं कि प्रतिदर्श समष्टि S = {HH, HT, TH, TT}

कम से कम एक बार हेड आने की घटना E = {HH, HT, TH}

प्रायिकता P(E) = n(e)/n(s) = 3/4

कम से कम एक हेड आने की प्रायिकता ¾ है।

संकल्पना:

• मानक विचलन (SD) अलग-अलग आकड़े के मान से माध्य तक विभिन्नता या प्रसार की मात्रा को मापता है, जबकि माध्य (SEM) या माध्य विचलन की मानक त्रुटि यह मापती है कि कितनी दूरी तक आकड़े के प्रतिरूप माध्य (औसत) के वास्तविक आबादी माध्य से होने की संभावना होती है।
• SEM सदैव SD की तुलना में कम होता है।
• सममित वितरण में माध्य विचलन मानक विचलन के 4/5वें भाग के बराबर होता है।

गणना:

चूँकि वितरण सममित है,

⇒ माध्य विचलन = मानक विचलन का 4/5 

⇒ 12 = (4/5) × मानक विचलन

⇒ मानक विचलन = 15

अतः मानक विचलन का मान 15 है।

\(\rm P \left( {\frac{{\bar A}}{{\bar B}}} \right) = \frac{{P\left( {\bar A \cap \bar B} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}}\)

\( {{P\left( {\bar A \cap \bar B} \right)}}\)  = \(P({\overline {A \cup B}})\)

संकल्पना:

सप्रतिबन्ध प्रायिकता:

यह किसी भी घटना के होने की प्रायिकता देता है यदि दूसरी घटना पहले ही हो चुकी है।

\({\rm{P}}\left( {\frac{{{{\rm{E}}_1}}}{{{{\rm{E}}_2}}}} \right) = {\rm{Probability\;of\;getting\;the\;event\;}}{{\rm{E}}_1}{\rm{\;when\;}}{{\rm{E}}_2}{\rm{is\;already\;occured}}.\)

\(P\left( {\frac{{{E_1}}}{{{E_2}}}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

गणना:

दिया है:

P (E₁) = गैस स्टेशन पर रुकने और टायर जांच कराने के लिए कहने की प्रायिकता  = 0.12

P (E₂) = गैस स्टेशन पर रुकने और तेल जांच कराने के लिए कहने की प्रायिकता = 0.29

P (E₁∩ E₂) = दोनों के जांच किए जाने की प्रायिकता = 0.07

\({\rm{P}}\left( {\frac{{{{\rm{E}}_2}}}{{{{\rm{E}}_1}}}} \right) = {\rm{Probability\;of\;person\;who\;has\;his\;tyre\;checked\;will\;also\;have\;oil\;checked}}\)   

∵ \(P\left( {\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

∴ \(P\left( {\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}}} \right) = \frac{{0.07}}{{0.12}} = 0.58\)

E₁, E₂ और E₃ क्रमशः बॉक्स A, B, C चुनने की घटनाओं को इंगित करते हैं और A घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए स्क्रू दोषपूर्ण है।

फिर,

P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_1}} \right) = \frac{1}{5}\)

\({\rm{P}}\left( {\frac{{\rm{A}}}{{{{\rm{E}}_2}}}} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_3}} \right) = \frac{1}{7}\)

फिर, बेय के प्रमेय द्वारा, आवश्यक प्रायिकता

= P(E1/A)

संकल्पना:

बायस प्रमेय: यह सशर्त प्रायिकता निर्धारित करने के लिए एक गणितीय सूत्र है।

\(P(A|B) = \frac {P(B|A)\ P(A)}{P(B)}\)

गणना:

दिया गया है:

P(बरसात होती है) = \(7 \over 10\) ⇒ P(कोई बरसात नही) = \(3 \over 10\); P(हानि/बरसात) = \(8 \over 10\) ⇒ P(कोई हानि नही/बरसात) = \(2 \over 10\);

P(हानि/कोई बरसात नही) = \(1 \over 10\) ⇒ P(कोई हानि नही/कोई बरसात नही) = \(9 \over 10\);

किसी दिए गए दिन में बिना किसी हानि के बारिश न होने की प्रायिकता की गणना की जाती है

P(कोई बरसात नही/कोई हानि नही) = \(\frac {P(no-loss/no-rain)\ \times \ P(not-raining)}{P(raining)\ \times\ P(no-loss/raining) \ +\ P(not-rainnig)\ \times \ P(no-loss/no ~raining) }\)

P(कोई बरसात नही/कोई हानि नही) = \(\frac {\frac {9}{10}\ \times \ \frac {3}{10}}{\frac {7}{10}\ \times\ \frac {2}{10} \ +\ \ \frac {9}{10}\ \times \ \frac {3}{10} }\)

P(कोई बरसात नही/कोई हानि नही) = \(\frac {27}{41}\)