Point Set Topology MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Point Set Topology - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

(A) एक संवृत समुच्चय में या तो एक अंतराल होता है या फिर कहीं भी सघन नहीं होता है।

यह कथन सही है।

यह परिपूर्ण समुच्चय प्रमेय और बेयर श्रेणी प्रमेय का परिणाम है।

एक पूर्ण दूरीक समष्टि (जैसे वास्तविक संख्याएँ) में एक संवृत समुच्चय को एक परिपूर्ण समुच्चय (जिसमें एक अंतराल होता है) और एक कहीं भी सघन समुच्चय में विघटित किया जा सकता है।

(B) किसी समुच्चय का व्युत्पन्न समुच्चय संवृत होता है।

यह कथन सही है।

किसी भी समुच्चय का व्युत्पन्न समुच्चय (सीमा बिंदुओं का समुच्चय) हमेशा संवृत होता है।

(C) संवृत समुच्चयों के एक स्वेच्छ कुल का सम्मिलन संवृत होता है।

यह कथन गलत है।

संवृत समुच्चयों के एक स्वेच्छ कुल का सम्मिलन आवश्यक रूप से संवृत नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, n = 1, 2, 3, ... के लिए संवृत अंतराल [-1/n, 1/n] पर विचार करें।

इनमें से प्रत्येक समुच्चय संवृत है, लेकिन इनका सम्मिलन (-1, 1) है जो विवृत है, संवृत नहीं।

(D) वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R, विवृत और संवृत दोनों है।

यह कथन सही है।

किसी भी सांस्थितिक समष्टि में, संपूर्ण समष्टि और रिक्त समुच्चय हमेशा विवृत और संवृत दोनों होते हैं।

इसलिए, सही कथन (A), (B) और (D) हैं।

अतः विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

A' : समुच्चय A के सभी सीमा बिंदुओं का समुच्चय।

\(\overline{A}\) : समुच्चय A का संवृत, जिसमें A के सभी बिंदु और इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।

किसी समुच्चय A का संवृत, जिसे \(\overline{A}\) से दर्शाया जाता है, समुच्चय A और इसके सीमा बिंदुओं का संघ होता है।

इसलिए, हम \(\overline{A} = A \cup A'\) व्यक्त कर सकते हैं।

इसका अर्थ है कि A के संवृत में A के सभी अवयवों के साथ-साथ A के सीमा बिंदु भी शामिल हैं।

सही विकल्प विकल्प 4 है।

व्याख्या:

1. "प्रत्येक ऊपर से परिबद्ध समुच्चय का एक सर्वोच्च मान (supremum) होता है।"

यह न्यूनतम ऊपरी बंध (Least Upper Bound - LUB) गुणधर्म के द्वारा सत्य है। वास्तविक संख्याओं में,

प्रत्येक अरिक्त समुच्चय जो ऊपर से परिबद्ध है, उसका एक सर्वोच्च मान (न्यूनतम ऊपरी बंध) होता है।

2. "प्रत्येक नीचे से परिबद्ध समुच्चय का एक निम्नतम मान (infimum) होता है।"

यह भी महत्तम निम्न बंध (Greatest Lower Bound - GLB) गुणधर्म के द्वारा सत्य है। वास्तविक

संख्याओं में, प्रत्येक अरिक्त समुच्चय जो नीचे से परिबद्ध है, उसका एक निम्नतम मान (महत्तम निम्न बंध) होता है।

3. "प्रत्येक परिबद्ध समुच्चय का एक सर्वोच्च मान और एक निम्नतम मान होता है।"

यह सत्य है क्योंकि वास्तविक संख्याओं में एक परिबद्ध समुच्चय का एक सर्वोच्च मान और एक निम्नतम मान दोनों होते हैं, जब तक कि वह अरिक्त हो।

इसलिए विकल्प 5 सही है।

गणना-

यदि दिया गया समुच्चय निम्न प्रकार का है \(A = \{ m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} | m \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}\}\) तब हम तीन स्थितियां बनाते हैं

(i) जब m निश्चित और n →  ∞ हो 

(ii) जब  n निश्चित और m →  ∞ हो

(iii) जब m →  ∞ और n →  ∞ 

स्पष्टीकरण-

हमारे पास समुच्चय \(A = \{ m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} | \ \ m ∈ \mathbb{R}, n ∈ \mathbb{N}\}\) है

अब हमें समुच्चय A के लिए सीमा बिंदु ज्ञात करने के लिए स्थितियां बनानी होंगी।

स्थिति (i) - जब m निश्चित और n →  ∞ हो 

तब \(m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} \to m^2\) तथा m ∈ R

इसलिए सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ समुच्चय A के लिए सीमा बिंदु हैं।

स्थिति (ii)- जब  n निश्चित और m →  ∞ हो

तब \(m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} \to \infty\) तथा m ∈ R

इसलिए इस स्थिति में सीमा बिंदु विद्यमान है।

स्थिति (iii) - जब m →  ∞ और n →  ∞ 

तब \(m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} \to \infty\) तथा m ∈ R

इसलिए इस स्थिति में सीमा बिंदु विद्यमान है।

अत: सभी सीमा बिंदु सभी स्थितियां के सभी सीमा बिंदुओं का संग्रह है।

अत: A के सीमा बिंदु हमेशा वास्तविक संख्या लेकिन अगणनीय होते हैं।

अवधारणा -

(i) प्रमेय - माना A, R का उपसमुच्चय है तब \((\bar{A^c})^c = A^0\) है

(ii) प्रमेय - माना G, X में विवृत है यदि सभी A ⊂ X के लिए  \(\overline{(G \cap \bar{A}) } = \overline{(G \cap A)} \) 

स्पष्टीकरण -

विकल्प (i) के लिए - माना A, R का उपसमुच्चय है तब \((\bar{A^c})^c = A^0\) है

प्रमेय -

माना A, R का उपसमुच्चय है तब \((\bar{A^c})^c = A^0\) 

आइये उत्पत्ति को समझते हैं -

हम जानते हैं कि A0 = int(A)  एक विवृत समुच्चय है और किसी भी समुच्चय का बंद होना संवृत समुच्चय है इसलिए, \(\bar{A^c}\) एक संवृत समुच्चय है।

साथ ही संवृत का पूरक आपको हमेशा विवृत समुच्चय देता है।

इसलिए, बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष सामान्य रूप से विवृत समुच्चय हैं।

उदाहरण - यदि हम \(A = \mathbb{Q}\) लेते है तब 

बायाँ पक्ष = \((\bar{A^c})^c = \bar{(\mathbb{Q}^c})^c ={\mathbb{R}}^c = \phi\)

दायाँ पक्ष = A0 = \(\mathbb{Q} ^0= \phi\)

अत:, बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष भी बराबर है।

अत:, विकल्प (i) सत्य है।

विकल्प (ii) के लिए -

दिया गया है कि G विवृत है।

चूँकि \(G ∩ A \subseteq G ∩ \bar{A}\) है क्योंकि \(A \subseteq \bar {A}\)

⇒ \(\overline{G ∩ A } \subseteq \overline {G ∩ \bar{A}}\)

इसी प्रकार हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि,  \( \overline {G ∩ \bar{A}} \subseteq \overline {G ∩ \bar{A}}\)

माना \(x ∈ ​​ \overline {G ∩ \bar{A}}\) और S_r(x), x के सन्निकट है तब \(S_r(x) \cap (G \cap \bar{A}) \neq \phi\) चूँकि \(x ∈ ​​ \overline {G ∩ \bar{A}}\)

तब \(y \in S_r(x) \cap (G \cap \bar{A}) \) विद्यमान होगा यहाँ  r' इस प्रकार विद्यमान है की \(S_{r'}(y) \subset (S_r(x) \cap G)\) चूँकि G विवृत है  \(S_{r'}(y) \cap A \neq \phi\)

⇒ \(S_r(x) \cap (G \cap A) \neq \phi\)

⇒ \(x ∈ ​​ \overline {G ∩ A}\)

अत:, सभी A ⊂ X के लिए  \( \overline {G ∩ \bar{A}} = \overline {G ∩ \bar{A}}\)  

अत:, विकल्प (ii) सत्य है।

विकल्प (iii) और (iv) के लिए -

दिया गया है कि, सभी A ⊂ X के लिए \(\overline{(G \cap \bar{A}) } = \overline{(G \cap A)} \)

A = G^c  प्रतिस्थपित करने पर, तब 

\(\overline{G \cap \bar{G^c}} =\overline{G \cap {G^c}} = \phi\)

⇒ \({G \cap \bar{G^c}} = \phi \Rightarrow \bar{G^c} = \overline{X\backslash G} \subset X \backslash G = G^c\)

इसलिए, G^c संवृत है और अत:, G विवृत है।

अत:, विकल्प (iv) सही है और विकल्प (iii) असत्य है।

अवधारणा -

(1) दो या दो से अधिक प्रतीकों पर सभी अनुक्रमों का संग्रह अगणनीय होता है।

स्पष्टीकरण -

समुच्चय T= {(x1, x2,..., xn,...): x1, x2,..., xn​, ... ∈ {1, 3, 5, 7, 9}} 

अब हमारे पास 5 प्रतीक हैं और T सभी अनुक्रमों के संग्रह का प्रतिनिधित्व करता है।

अतः समुच्चय T अगणनीय है।

अवधारणा -

(i) सांतत्य के अंतर्गत किसी अंतराल का प्रतिबिम्ब एक अंतराल होता है।

(ii)  सांतत्य के अंतर्गत संगठित समुच्चय का प्रतिबिम्ब संगठित होता है।

(iii) सम्मिलित समुच्चय में प्रत्येक अंतराल।

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है: B,अंतराल (o, ∞) में संवृत है और f(t) = sin(t) है 

इसलिए, स्पष्ट रूप से f(t) एक सतत फलन है।

साथ ही B,अंतराल (o, ∞) में संवृत है, जो इंगित करता है कि B परिसीमा के कारण संगठित समुच्चय है।

हम जानते हैं कि सांतत्यता के अंतर्गत संगठित समुच्चय का प्रतिबिम्ब  संगठित होता है।

अतः A संगठित समुच्चय ⇒ संवृत समुच्चय है।

इसलिए विकल्प (1) और (4) असत्य हैं।

हम जानते हैं कि सांतत्य के अंतर्गत किसी अंतराल का प्रतिबिम्ब एक अंतराल होता है।

अतः A सम्मिलित है।

अतः विकल्प (3) असत्य है।

अब \(\bar{A}\)   का संवृत \( = A \neq R\)  

अतः A, R में संघन नहीं है।

अतः विकल्प (2) सत्य है।

संप्रत्यय:

(i) फलन f : X → Y को एकैकी कहा जाता है, यदि यदि X के प्रत्येक अवयव के लिए Y का एक अलग अवयव होता है।

(ii) एक फलन f : X → Y को आच्छादी कहा जाता है, यदि यदि y में प्रत्येक अवयव के लिए X में एक पूर्व प्रतिबिंब अस्तित्व में होता है।

(iii) एक फलन f : X → Y को द्विआधारी कहा जाता है, यदि यह एकैकी और आच्छादी दोनों है।

व्याख्या:

X एक अरिक्त परिमित समुच्चय है और

Y = {f-1(0) : f, X पर एक वास्तविक-मान फलन है।}

मान लीजिए X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} और f:X → \(\mathbb R\) को f(x) = x द्वारा परिभाषित किया जाता है। 

तब Y = {f-1(0) : f, X पर एक वास्तविक-मान फलन है} = {0}

इसलिए, Y परिमित है। 

अतः (1) असत्य है। 

अब, |X| = X की गणनीयता = 6

तब 2^|X| = 2⁶ = 64 

और |Y| = 1

इसलिए, Y में 2|x| अवयव नहीं हैं।

अतः (2) असत्य है। 

चूँकि |X| ≠ |Y| इसलिए f एकैकी नहीं है अर्थात, द्विआधारी नहीं है

अतः (3) असत्य है। 

चूँकि Y ⊂ X इसलिए X से Y तक एक आच्छादक फलन है।

अतः (4) सही है। 

गणना-

यदि दिया गया समुच्चय निम्न प्रकार का है \(A = \{ m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} | m \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}\}\) तब हम तीन स्थितियां बनाते हैं

(i) जब m निश्चित और n →  ∞ हो 

(ii) जब  n निश्चित और m →  ∞ हो

(iii) जब m →  ∞ और n →  ∞ 

स्पष्टीकरण-

हमारे पास समुच्चय \(A = \{ m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} | \ \ m ∈ \mathbb{R}, n ∈ \mathbb{N}\}\) है

अब हमें समुच्चय A के लिए सीमा बिंदु ज्ञात करने के लिए स्थितियां बनानी होंगी।

स्थिति (i) - जब m निश्चित और n →  ∞ हो 

तब \(m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} \to m^2\) तथा m ∈ R

इसलिए सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ समुच्चय A के लिए सीमा बिंदु हैं।

स्थिति (ii)- जब  n निश्चित और m →  ∞ हो

तब \(m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} \to \infty\) तथा m ∈ R

इसलिए इस स्थिति में सीमा बिंदु विद्यमान है।

स्थिति (iii) - जब m →  ∞ और n →  ∞ 

तब \(m^2 + e^{-n} + \frac{1}{n} \to \infty\) तथा m ∈ R

इसलिए इस स्थिति में सीमा बिंदु विद्यमान है।

अत: सभी सीमा बिंदु सभी स्थितियां के सभी सीमा बिंदुओं का संग्रह है।

अत: A के सीमा बिंदु हमेशा वास्तविक संख्या लेकिन अगणनीय होते हैं।

अवधारणा -

(i) प्रमेय - माना A, R का उपसमुच्चय है तब \((\bar{A^c})^c = A^0\) है

(ii) प्रमेय - माना G, X में विवृत है यदि सभी A ⊂ X के लिए  \(\overline{(G \cap \bar{A}) } = \overline{(G \cap A)} \) 

स्पष्टीकरण -

विकल्प (i) के लिए - माना A, R का उपसमुच्चय है तब \((\bar{A^c})^c = A^0\) है

प्रमेय -

माना A, R का उपसमुच्चय है तब \((\bar{A^c})^c = A^0\) 

आइये उत्पत्ति को समझते हैं -

हम जानते हैं कि A0 = int(A)  एक विवृत समुच्चय है और किसी भी समुच्चय का बंद होना संवृत समुच्चय है इसलिए, \(\bar{A^c}\) एक संवृत समुच्चय है।

साथ ही संवृत का पूरक आपको हमेशा विवृत समुच्चय देता है।

इसलिए, बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष सामान्य रूप से विवृत समुच्चय हैं।

उदाहरण - यदि हम \(A = \mathbb{Q}\) लेते है तब 

बायाँ पक्ष = \((\bar{A^c})^c = \bar{(\mathbb{Q}^c})^c ={\mathbb{R}}^c = \phi\)

दायाँ पक्ष = A0 = \(\mathbb{Q} ^0= \phi\)

अत:, बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष भी बराबर है।

अत:, विकल्प (i) सत्य है।

विकल्प (ii) के लिए -

दिया गया है कि G विवृत है।

चूँकि \(G ∩ A \subseteq G ∩ \bar{A}\) है क्योंकि \(A \subseteq \bar {A}\)

⇒ \(\overline{G ∩ A } \subseteq \overline {G ∩ \bar{A}}\)

इसी प्रकार हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि,  \( \overline {G ∩ \bar{A}} \subseteq \overline {G ∩ \bar{A}}\)

माना \(x ∈ ​​ \overline {G ∩ \bar{A}}\) और S_r(x), x के सन्निकट है तब \(S_r(x) \cap (G \cap \bar{A}) \neq \phi\) चूँकि \(x ∈ ​​ \overline {G ∩ \bar{A}}\)

तब \(y \in S_r(x) \cap (G \cap \bar{A}) \) विद्यमान होगा यहाँ  r' इस प्रकार विद्यमान है की \(S_{r'}(y) \subset (S_r(x) \cap G)\) चूँकि G विवृत है  \(S_{r'}(y) \cap A \neq \phi\)

⇒ \(S_r(x) \cap (G \cap A) \neq \phi\)

⇒ \(x ∈ ​​ \overline {G ∩ A}\)

अत:, सभी A ⊂ X के लिए  \( \overline {G ∩ \bar{A}} = \overline {G ∩ \bar{A}}\)  

अत:, विकल्प (ii) सत्य है।

विकल्प (iii) और (iv) के लिए -

दिया गया है कि, सभी A ⊂ X के लिए \(\overline{(G \cap \bar{A}) } = \overline{(G \cap A)} \)

A = G^c  प्रतिस्थपित करने पर, तब 

\(\overline{G \cap \bar{G^c}} =\overline{G \cap {G^c}} = \phi\)

⇒ \({G \cap \bar{G^c}} = \phi \Rightarrow \bar{G^c} = \overline{X\backslash G} \subset X \backslash G = G^c\)

इसलिए, G^c संवृत है और अत:, G विवृत है।

अत:, विकल्प (iv) सही है और विकल्प (iii) असत्य है।

अवधारणा -

(1)  यदि f: A → B एक-से-एक मानचित्र है, तब |A| ≤ |B| 

स्पष्टीकरण -

हमारे पास है, f: A → B एक-से-एक मानचित्र है।

तब |A| ≤ |B| 

यह देखते हुए कि A एक गणनीय समुच्चय है तो B या तो गणनीय या अगणनीय है।

इसलिए विकल्प (1) और (2) गलत हैं।

लेकिन हमेशा B का एक उपसमुच्चय मौजूद होता है जो गणनीय होता है।

अतः विकल्प (3) सही है।

अवधारणा का उपयोग:

परिबद्ध समुच्चय : किसी समुच्चय को परिबद्ध समुच्चय कहा जाता है यदि उसमें सुप्रीमम और इन्फ़िमम दोनों हों।

सीमन बिंदु: किसी बिंदु को किसी समुच्चय का सीमन बिंदु कहा जाता है यदि उस बिंदु से समुच्चय के सदस्यों के बीच कोई न्यूनतम दूरी न हो।

अगणनीय समुच्चय: हम समुच्चय के अवयव को N पर मैप नहीं करते हैं।

स्पष्टीकरण:

विकल्प 1 : {1,2} लेने पर, इसमें कोई सीमन बिंदु नहीं है। अत: असत्य है।

विकल्प 2 : N लेने पर, इसमें कोई सीमन बिंदु नहीं है। अत: असत्य है।

विकल्प 3: 1/n  लेने पर, इसमें कोई आंतरिक बिंदु नहीं है। अत: असत्य है।

Option 4:

Case 1:

let a ∈ R And S = Q is countable set 

now (a - ∈ , a + ∈) ∩ S - {a} = infinite means it is a limit point 

Case 2:

and if you take a ∈ S and set S is uncountable 

now (a - ∈ , a + ∈) ∩ S - {a} = infinite 

Hence, it means it has a limit point 

अतः विकल्प 4 सही है।

अवधारणा -

(1) किसी भी अगणनीय समुच्चय के खुले असंयुक्त अंतरालों का समुच्चय गणनीय होता है।

(2) 2ℵ = C

स्पष्टीकरण -

हमारे पास A (0, 1) के असंयुक्त खुले उपअंतरालों का एक अनंत समुच्चय है।

अतः समुच्चय A प्राकृत संख्या के समुच्चय के समान है।

इसलिए, |A| = ℵ (एलेफ-शून्य) 

अब दिया गया है कि B, A का घात समुच्चय है।

इसलिए, |B| = 2^|A| = 2^ℵ = C (सातत्य)

⇒ B एक अगणनीय समुच्चय है। और यह (0,1) के समान भी है।

अतः B का गणनांक, A के गणनांक से अधिक है।

अतः A और B के गणनांक बराबर हैं।

अवधारणा -

(1) प्रत्येक गैर-रिक्त अंतराल अगणनीय है।

स्पष्टीकरण -

हम जानते हैं कि गैर-रिक्त अंतराल के कारण [√2, √3] एक अगणनीय समुच्चय है।

अब [√2, √3] में सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय = [√2, √3] ∩ Qc 

हमें इस प्रतिच्छेदन में अनंत रूप से कई बिंदु या इस प्रतिच्छेदन में अनगिनत अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

अतः [√2, √3] में सभी अपरिमेय संख्याओं के अगणनीय समुच्चय हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

नेबरहुड: किसी बिंदु का नेबरहुड उन बिंदुओं का एक समूह है जिसमें वह बिंदु होता है जहाँ कोई समूह को छोड़े बिना उस बिंदु से दूर किसी भी दिशा में कुछ राशि ले जा सकता है।

स्पष्टीकरण:

R का नेबरहुड R है।

एक स्थान में आर. पड़ोस का विचार उस बिंदु के चारों ओर एक "क्षेत्र" जैसा है। इस क्षेत्र में, आप उन सभी बिंदुओं पर विचार कर रहे हैं जो R के करीब हैं।

अब, पड़ोस केवल एक निश्चित समूह नहीं है; यह बिंदुओं का कोई संग्रह है जिसमें R युक्त एक खुला क्षेत्र (एक खुले अंतराल की तरह) शामिल है। यह खुला क्षेत्र पड़ोस के दिल की तरह है।

उदाहरण के लिए, यदि संख्या रेखा पर R संख्या 0 है, तो पड़ोस में 0 के करीब की सभी संख्याएँ हो सकती हैं, जैसे -1 से 1 तक। लेकिन यह एक छोटी श्रेणी भी हो सकती है, जैसे -0.5 से 0.5, या इससे भी छोटी , जैसे -0.1 से 0.1 तक।

इसलिए, जब हम R के नेबरहुड के समूह के बारे में बात करते हैं, तो हम उन सभी संभावित क्षेत्रों या श्रेणियों के बारे में बात कर रहे हैं जो R के करीब आते हैं।

अतः सही विकल्प 3 है।