Metric Spaces MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Metric Spaces - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 19, 2025
Latest Metric Spaces MCQ Objective Questions
Metric Spaces Question 1:
गलत कथन है -
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
हम जानते हैं कि
(i) एक संहत दूरीक समष्टि अनुक्रमतः संहत होती है।
(ii) संहत दूरीक समष्टि का संवृत उपसमुच्चय संहत होता है।
(iii) एक संहत दूरीक समष्टि बोलजानो-वाइअरस्ट्रास गुणधर्म का पालन करती है।
(iv) एक दूरीक समष्टि में प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय संहत होता है।
इसलिए, विकल्प (3) गलत है।
Metric Spaces Question 2:
यदि एक प्रतिचित्रण d : R2 × R2 → R, d(x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2| द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2 है, तब निम्न में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 2 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
d : R2 × R2 → R को d(x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2| द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2
(i) चूँकि सभी x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2 के लिए, |x1 - y1| ≥ 0, |x2 - y2| ≥ 0
इसलिए, सभी x, y ∈ ℝ के लिए d(x, y) ≥ 02
(ii) d(x, y) = 0
⇔ |x1 - y1| + |x2 - y2| = 0
⇔ x1 = y1, x2 = y2
⇔ सभी x, y ∈ ℝ2 के लिए, x = y
(iii) d(y, x) = |y1 - x1| + |y2 - x2|
= |x1 - y1| + |x2 - y2|
= सभी x, y ∈ ℝ2 के लिए, d(x, y)
(iv) मान लीजिए x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ ℝ2
तब d(x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2|
= |x1 - z1 + z1 - y1| + |x2 - z2 + z2- y2|
≤ |x1 - z1| + |z1 - y1| + |x2 - z2| + |z2- y2|
= d(x, z) + d(z, y)
अर्थात, सभी x, y, z ∈ ℝ2 के लिए, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
∴ d, R2 पर एक दूरीक है।
अतः विकल्प (1) सत्य है।
Metric Spaces Question 3:
दूरीक d(x,y) = \(| \frac{1}{x}-\frac{1}{y}|\) जहाँ x, y ∈ X है, वाली दूरीक समष्टि X = (0,∞) पर विचार कीजिए, तब निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 3 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
(4) यह कथन सत्य है।
यह दर्शाने के लिए कि X परिबद्ध है, हमें एक वास्तविक संख्या M इस प्रकार ज्ञात करने की आवश्यकता है कि X में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी M से कम या उसके बराबर हो।
आइए M = 1 लीजिए। तब, किसी x, y ∈ X के लिए, हमें प्राप्त है:
d(x,y) = \(| \frac{1}{x}-\frac{1}{y}|\) < 1
इसका अर्थ यह है कि दूरीक समष्टि X परिबद्ध है।
1) यह कथन असत्य है।
दूरीक समष्टि X संहत नहीं है क्योंकि यह संवृत्त नहीं है।
2) यह कथन असत्य है।
दूरीक समष्टि X पूर्ण नहीं है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(\{\frac1n\}_{n=1}^{\infty}\), X में कॉची है, लेकिन यह X में किसी भी बिंदु पर अभिमुख नहीं है।
3) यह कथन असत्य है।
दूरीक समष्टि X संयोजित नहीं है। इसमें दो भिन्न घटक (0,1) और (1,∞) सम्मिलित हैं।
Metric Spaces Question 4:
उच्चतम आव्यूह से सुसज्जित सभी सतत फलनों f : [0,1] → [0,1] के समुच्चय पर विचार कीजिए। निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 4 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
A) यह कथन सत्य है।
सभी सतत फलनों f: [0,1] → [0,1] के समुच्चय में सर्वोच्च दूरीक के साथ, प्रत्येक कॉची अनुक्रम समुच्चय में एक सतत फलन में परिवर्तित हो जाता है। इसलिए, समुच्चय पूर्ण है।
B) यह कथन असत्य है।
हालाँकि समुच्चय पूर्ण है, यह संहत नहीं है। अचर फलनों के अनुक्रम पर विचार कीजिए, जिसमें कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं है।
C) यह कथन असत्य है।
समुच्चय का प्रत्येक परिबद्ध उपसमुच्चय संहत नहीं है। उदाहरण के लिए, अचर फलनों के समुच्चय पर विचार कीजिए, जो परिबद्ध है लेकिन संहत नहीं है।
D) यह कथन असत्य है।
समुच्चय आवश्यक रूप से संयोजित नहीं है। इसे दो असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, जैसे अचर फलनों का समुच्चय और उन फलनों का समुच्चय जो अचर नहीं हैं।
अतः, विकल्प (1) सत्य है।
Metric Spaces Question 5:
〈,〉 : ℝn × ℝn → ℝ को ℝn पर मानक आंतर गुणनफल मान लें। शून्येतर w ∈ ℝn के लिए, Tw : ℝn → ℝn को निम्न रूप से परिभाषित करें Tw(v) = v - \(\frac{2(v, w)}{(w, w)}\) w, v ∈ ℝn के लिए। तब निम्न में से कौन - से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 5 Detailed Solution
Top Metric Spaces MCQ Objective Questions
किन्हीं भी दो दूरीक समष्टियों (X, dX), (Y, dY) के लिए प्रतिचित्र f ∶ X → Y को संवृत प्रतिचित्र कहते हैं यदि जब भी F के X में संवृत होने पर, f(F) भी Y में संवृत हो। दूरीक समष्टि के उपसमुच्चय B के लिए, B को प्रेरित दूरीक देते हैं। X × Y पर दूरीक को d((x, y), (x', y')) = max{dX(x, x'), dY(y, y')} से दर्शाते हैं। निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFMetric Spaces Question 7:
यदि x में बिंदुओं के प्रत्येक युग्म के बीच कम से कम एक कल्पांतरी पथ होता है। तब (x , d) को ______________ कहा जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 7 Detailed Solution
व्याख्या -
यदि दूरीक समष्टि (X, d) में बिंदुओं के प्रत्येक युग्म के बीच कम से कम एक कल्पांतरी पथ होता है, तो (X, d) को कल्पांतरी दूरीक समष्टि या कल्पांतरी समष्टि कहा जाता है।
"कल्पांतरी" किसी समष्टि में दो बिंदुओं के बीच का सबसे छोटा पथ होता है, जो समष्टि की दूरीक के सापेक्ष होता है। उदाहरण के लिए, एक सपाट तल पर, दो बिंदुओं के बीच का कल्पांतरी पथ एक सीधी रेखा में होता है, जबकि एक गोले (पृथ्वी की सतह की तरह) पर, कल्पांतरी पथ एक विस्तृत वृत्त पथ होता है।
अतः विकल्प (i) सही है।
Metric Spaces Question 8:
एक फलन एक दूरीक समष्टि से दूसरे f: A → B तक सतत है, यदि सभी Є > 0 के लिए, ∂ > 0 विद्यमान है इस प्रकार की ______________।
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
एक दूरीक समष्टि से दूसरे f तक एक फलन: A → B, p ∈ A पर सतत है, यदि सभी Є > 0 के लिए, ∂ > 0 विद्यमान है जैसे कि d_A(x, p) < ∂ का तात्पर्य है d_B(f(x), f (p)) <Є
इस स्थिति में, A में बिंदु p से x की दूरी ∂ से कम है और f के अंतर्गत x के प्रतिबिंब की B में f के अंतर्गत p के प्रतिबिंब से दूरी Є से कम होनी चाहिए।
Metric Spaces Question 9:
एक आव्यूह समष्टि (E, d) इस प्रकार है कि (E, d) में प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसारी है, तब आव्यूह समष्टि है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 9 Detailed Solution
संकल्पना:
एक आव्यूह समष्टि (E, d) को पूर्ण कहा जाता है यदि (E, d) में प्रत्येक कॉची अनुक्रम (E, d) में अभिसरण होता है।
स्पष्टीकरण:
एक पूर्ण आव्यूह समष्टि में,
प्रत्येक कॉची अनुक्रम की एक ही स्थान के भीतर एक सीमा होती है (अर्थात, एक बिंदु पर परिवर्तित होती है)।
यह गुणधर्म विश्लेषण में मौलिक है और इसका उपयोग कार्यों और अनुक्रमों के विभिन्न समष्टियों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जैसे कि बानाच समष्टि और हिल्बर्ट समष्टि, जहाँ कुछ अनुक्रमों के अभिसरण के लिए पूर्णता आवश्यक है।
Metric Spaces Question 10:
माना (X, d) एक दशांश समष्टि है और माना f, g : X → \(\mathbb R\) सतत फलन है, जहाँ \(\mathbb R\) सामान्य दशांश से सुसज्जित है। यदि f और g, x ∈ M पर सतत हैं
निम्नलिखित में से कौन-सा x ∈ M पर सतत है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 10 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
दशांश समष्टि के परिणाम से, यदि (X, d) एक दशांश समष्टि है और f, g : X → \(\mathbb R\) सतत फलन है, जहाँ \(\mathbb R\) सामान्य दशांश से इस प्रकार सुसज्जित है कि f और g, x ∈ M पर सतत हैं, तब f + g, f - g, fg, x ∈ M पर सतत है
अतः, सभी विकल्प सही हैं
(4) सही है
Metric Spaces Question 11:
माना X एक दूरीक समष्टि है और {xn}, X में एक अनुक्रम है तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 11 Detailed Solution
संकल्पना:
हम जानते हैं कि यदि X एक दूरीक समष्टि है और {xn}, X में एक अनुक्रम है
(i) यदि {xn} संसृत है तो {xn} एक कॉची अनुक्रम है।
(ii) यदि {xn} एक कॉची अनुक्रम है तो {xn} परिबद्ध है।
(iii) यदि {xn} एक कॉची अनुक्रम है और यदि {xn} का संसृत अनुवर्ती है तो {xn} संसृत है।
स्पष्टीकरण:
प्रत्यक्ष परिणामों द्वारा,
केवल विकल्प (1) सही है
Metric Spaces Question 12:
निम्नलिखित में से कौन-सा C = {f: [0, 1] → R एक सतत फलन है} पर दूरीक समष्टि नहीं है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 12 Detailed Solution
संकल्पना:
एक दूरीक समष्टि एक क्रमित युग्म (M, d) है जहाँ एम एक समुच्चय है और d, M पर एक दूरीक है, अर्थात, एक फलन डी: M × M → \(\mathbb {R}\) सभी बिंदुओं x, y, z ∈ M के लिए निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करता है
(i) d(x,x)=0
(ii) x ≠ y तब d(x,y) > 0
(iii) d(x, y)=d(y, x)
(iv) d(x,z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
स्पष्टीकरण:
विकल्प (1), (3), (4) के लिए
दूरीक समष्टि के लिए सभी प्रतिबंध पूर्ण होते हैं और वे एक दूरीक समष्टि बनाते हैं।
(2): d(f, g) = inf(|f(x) - g(x)| : x ∈ [0, 1])
माना f(x) = \(|x- \frac{1}{2}|\) और g(x) = \(|x- \frac{1}{3}|\), x ∈ [0, 1]
यहाँ d(f, g) = inf(|f(x) - g(x)| : x ∈ [0, 1]) = 0
लेकिन f(x) ≠ g(x)
इसलिए यह एक दूरीक समष्टि नहीं बनाता है।
(2) सही विकल्प है
Metric Spaces Question 13:
माने कि (x, d) दूरीक समष्टि है तथा f : X → X ऐसा फलन हो कि d(f(x), f(y)) ≤ d(x, y), सभी x, y ∈ X के लिए। निम्न वक्तव्यों में से कौन सा अनिवार्यत: सच है?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 13 Detailed Solution
Metric Spaces Question 14:
उच्चतम आव्यूह से सुसज्जित सभी सतत फलनों f : [0,1] → [0,1] के समुच्चय पर विचार कीजिए। निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 14 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
A) यह कथन सत्य है।
सभी सतत फलनों f: [0,1] → [0,1] के समुच्चय में सर्वोच्च दूरीक के साथ, प्रत्येक कॉची अनुक्रम समुच्चय में एक सतत फलन में परिवर्तित हो जाता है। इसलिए, समुच्चय पूर्ण है।
B) यह कथन असत्य है।
हालाँकि समुच्चय पूर्ण है, यह संहत नहीं है। अचर फलनों के अनुक्रम पर विचार कीजिए, जिसमें कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं है।
C) यह कथन असत्य है।
समुच्चय का प्रत्येक परिबद्ध उपसमुच्चय संहत नहीं है। उदाहरण के लिए, अचर फलनों के समुच्चय पर विचार कीजिए, जो परिबद्ध है लेकिन संहत नहीं है।
D) यह कथन असत्य है।
समुच्चय आवश्यक रूप से संयोजित नहीं है। इसे दो असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, जैसे अचर फलनों का समुच्चय और उन फलनों का समुच्चय जो अचर नहीं हैं।
अतः, विकल्प (1) सत्य है।
Metric Spaces Question 15:
किसी मेट्रिक समष्टि (E, d) पर संकुचन आच्छादन T है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 15 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
सामान्यतया, मेट्रिक समष्टि के संदर्भ में एक संकुचन एक मैपिंग T: E → E है, जिसमें एक नियतांक 0 ≤ k < 1 इस प्रकार विद्यमान है कि, E में सभी बिंदुओं x और y के लिए:
\( d(T(x), T(y)) ≤ q k \cdot d(x, y)\)
और इस मैप को संकुचन मैपिंग कहा जाता है।