Partial Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Partial Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का क्लेरॉट रूप z = px + qy + f(p, q) के रूप का होता है और इसका हल z = ax + by + f(a, b) द्वारा दिया जाता है।

व्याख्या:

z - px - qy = c \(\rm \sqrt{(1+p^2+q^2)}\)

⇒ z = px + qy + c \(\rm \sqrt{(1+p^2+q^2)}\) जो क्लेरॉट रूप में है।

इसलिए, व्यापक हल है

\(\rm z=ax+by+c\sqrt{(1+a^2+b^2)}\)

अतः (2) सत्य है।

व्याख्या:

लग्रांज के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण Pp + Qq = R का ज्यामितीय अर्थ है कि किसी भी पृष्ठ f(x, y, z) = 0 के बिंदु (x, y, z) पर अभिलंब, उस रेखा के लंबवत होता है जिसके दिक् अनुपात P, Q, R हैं।

अतः (1) सत्य है।

अवधारणा:

रूप

\(a U_{xx} + b U_{xy} + c U_{yy} = 0 \) के आंशिक अवकल समीकरणों (PDEs) का वर्गीकरण विविक्तकर \(D = b^2 - 4ac \) पर आश्रित है:

• यदि D < 0 है तो दीर्घवृत्तीय है
• यदि D = 0 है तो परवलयिक है
• यदि D > 0 है तो अतिपरवलयिक है

दिया गया है:

ट्रिकोमी का समीकरण इस प्रकार दिया गया है:

\(U_{xx} + x U_{yy} = 0 \)

हमें x के विभिन्न मानों के लिए इस समीकरण के प्रकार का निर्धारण करने की आवश्यकता है।

व्याख्या:
रूप \(a U_{xx} + b U_{xy} + c U_{yy} = 0 \) के आंशिक अवकल समीकरणों (PDEs) का वर्गीकरण विविक्तकर \(D = b^2 - 4ac \) पर आश्रित है:
- यदि D < 0 है तो दीर्घवृत्तीय है
- यदि D = 0 है तो परवलयिक है
- यदि D > 0 है तो अतिपरवलयिक है

ट्रिकोमी के समीकरण \(U_{xx} + x U_{yy} = 0 \) की तुलना करने पर:
यहाँ a = 1, b = 0, और c = x.
विविक्तकर \(D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot x = -4x \) है। 

इस प्रकार:
जब x < 0, D > 0, इसलिए समीकरण अतिपरवलयिक है।
जब x = 0, D = 0, इसलिए समीकरण परवलयिक है।
जब x > 0, D < 0, इसलिए समीकरण दीर्घवृत्तीय है।

सही उत्तर यह है कि ट्रिकोमी का समीकरण x < 0 के लिए अतिपरवलयिक और x > 0 के लिए दीर्घवृत्तीय है।

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

संकल्पना:

utt − c²uxx = 0 का हल प्रारंभिक स्थिति, u(0, t) = u(L, t) = 0 सभी t के लिए और सीमा स्थिति y(x, 0) = f(x), y_t(x, 0) = g(x) 0 < x < L के लिए है

u = \(\frac12\)[f(x + ct) + f(x - ct)] + \(\frac1{2c}\)\(\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds\) (D'alembert हल)

व्याख्या:

दिया गया है

utt − uxx = 0, 0 < x < 2, t > 0

u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,

u(x, 0) = sin(πx) + 2sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,

ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2

यहाँ f(x) = sin(πx) + 2sin(2πx) और g(x) = 0, c = 1

इसलिए u(x, t) = \(\frac12\)[f(x + t) + f(x - t)] + \(\frac12\)\(\int_{x-t}^{x+t}0ds\)

= \(\frac12\)[sin(π(x+t)) + sin(π(x-t))] + sin(2π(x+t)) + sin(2π(x-t))

इसलिए u(1, 1) = \(\frac12\)(sin 2π + sin 0)+ sin4π + sin 0 = 0

विकल्प (1) गलत है

u(1/2, 1) = \(\frac12\)[sin (3π/2) - sin(π/2)] + sin(3π) - sin π = - 1

विकल्प (2) गलत है

u(1/2, 2) = \(\frac12\)[sin (5π/2) - sin(3π/2)] + sin(5π) - sin 3π = 1

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा

ut(x, t) = \(\frac{\pi}2\)[cos(π(x+t)) - cos(π(x-t))] + 2π cos(2π(x+t)) + 2π cos(2π(x-t))

इसलिए ut(1/2, 1/2) = \(\frac{\pi}2\)[cos π - cos0] + 2π cos 2π + 2π cos0 = - π + 2π + 2π = 3π

विकल्प (4) गलत है

अवधारणा:

मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से

\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)

व्याख्या:

दिया गया है

uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,

u(x, 0) = x, x ∈ ℝ

लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके

\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)

⇒ \(\frac{dx}{u}\) = \(\frac{dy}{1}\) = \(\frac{du}{0}\)

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है

u = c₁...(i)

और u = c1 रखने पर हमें पहले दो पदों से प्राप्त होता है

\(\frac{dx}{c_1}\) = \(\frac{dy}{1}\)

dx = c₁dy
⇒ x - c₁y = c₂

⇒ x - uy = c₂...(ii)

(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है

u = ϕ(x - uy)

u(x, 0) = x का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

x = ϕ(x) इसलिए ϕ(x - uy) = x - uy

इसलिए हल निम्न है

u = x - uy ⇒ u(1 + y) = x ⇒ u = \(\frac{x}{1+y}\)

इसलिए u(2, 3) = \(\frac{2}{4}=\frac12\)

विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

utt − c²uxx = 0 का हल प्रारंभिक स्थिति, u(0, t) = u(L, t) = 0 सभी t के लिए और सीमा स्थिति y(x, 0) = f(x), y_t(x, 0) = g(x) 0 < x < L के लिए है

u = \(\frac12\)[f(x + ct) + f(x - ct)] + \(\frac1{2c}\)\(\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds\) (D'alembert हल)

व्याख्या:

दिया गया है

utt − uxx = 0, 0 < x < 2, t > 0

u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,

u(x, 0) = sin(πx) + 2sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,

ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2

यहाँ f(x) = sin(πx) + 2sin(2πx) और g(x) = 0, c = 1

इसलिए u(x, t) = \(\frac12\)[f(x + t) + f(x - t)] + \(\frac12\)\(\int_{x-t}^{x+t}0ds\)

= \(\frac12\)[sin(π(x+t)) + sin(π(x-t))] + sin(2π(x+t)) + sin(2π(x-t))

इसलिए u(1, 1) = \(\frac12\)(sin 2π + sin 0)+ sin4π + sin 0 = 0

विकल्प (1) गलत है

u(1/2, 1) = \(\frac12\)[sin (3π/2) - sin(π/2)] + sin(3π) - sin π = - 1

विकल्प (2) गलत है

u(1/2, 2) = \(\frac12\)[sin (5π/2) - sin(3π/2)] + sin(5π) - sin 3π = 1

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा

ut(x, t) = \(\frac{\pi}2\)[cos(π(x+t)) - cos(π(x-t))] + 2π cos(2π(x+t)) + 2π cos(2π(x-t))

इसलिए ut(1/2, 1/2) = \(\frac{\pi}2\)[cos π - cos0] + 2π cos 2π + 2π cos0 = - π + 2π + 2π = 3π

विकल्प (4) गलत है

अवधारणा:

यदि आंशिक अवकल समीकरण दो चर x और y में द्वितीय कोटि का है, तब यह Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+F=0, जहाँ A,B,C,D,E, और F; x तथा y के फलन है, का रूप में होना चाहिए।

अब, विविक्तकर की जांच करने पर,

यदि B2- 4AC>0 है, तब आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलीय होगा

यदि  B2- 4AC=0 है, तब आंशिक अवकल समीकरण परवलीय होगा

यदि B2- 4AC<0 है, तब आंशिक अवकल समीकरण दीर्घवृत्तीय होगा

स्पष्टीकरण:

x2(y - 1) uxx - x(y2 - 1) uxy + y(y - 1) uyy + 4x = 0

यहाँ, A= x2(y - 1), B=  - x(y2 - 1), C=y(y - 1)

अब, B2- 4AC= x²(y2 - 1)²-4(x2(y - 1))y(y - 1)

⇒ x²(y-1)²[(y+1)²-4y]

⇒ x²(y-1)⁴>0, y-अक्ष और y=1 को छोड़कर सम्पूर्ण x - y समतल में अतिपरवलीय है

अत:, (2) सत्य है