Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

एक समाकलन डोमेन एक इकाई युक्त क्रमविनिमेय वलय है जिसका कोई शून्य विभाजक नहीं होता।

स्पष्टीकरण:

(1): ℝ[x] एकता 1 के साथ एक विनिमेय वलय है।

मान लीजिए f(x), g(x) ∈ ℝ[x], यदि f(x)g(x) = 0 तो या तो f(x) = 0 या g(x) = 0.

अतः ℝ[x] एक पूर्णांकीय डोमेन है।

(1) सत्य है.

(2): मान लीजिए f(x), g(x) ∈ C ¹ [0, 1] द्वारा परिभाषित

f(x) = \(\begin{cases}\frac12-x, x∈ [0, \frac12)\\0, x∈ [\frac12, 1]\end{cases}\)

और g(x) = \(\begin{cases}0, x∈ [0, \frac12)\\2x-1, x∈ [\frac12, 1]\end{cases}\)

तब f(x) ⋅ g(x) = 0 यद्यपि f(x) ≠ 0, g(x) ≠ 0

इसलिए, C 1 [0, 1] का कोई शून्य विभाजक नहीं है और इसलिए यह पूर्णांक डोमेन नहीं है।

(2) गलत है.

(3): मान लीजिए A, B ∈ M n (ℝ) तो सामान्यतः AB ≠ BA.

अतः यह परिवर्तनीय नहीं है।

इसलिए M n (ℝ) पूर्णांक डोमेन नहीं है।

(3) गलत है.

व्याख्या:

यदि F समूह G से दूसरे समूह G' में एक समाकारिता है जिसका कर्नेल k है।

चूँकि e ∈ k इसलिए k ≠ ϕ

माना कि a, b ∈ k

f(ab^-1) = f(a)f(b-1)

= f(a)f(b)^-1

= e₁e₁^-1 = e₁

इसलिए, ab^-1 ∈ k

अतः k, G का एक उपसमूह है।

माना कि a ∈ G और h ∈ K

तब

f(aha-1) = f(a)f(h)f(a-1)

= f(a)f(h)f(a)-1

= f(a)e_1f(a)-1 = e1

इसलिए, aha-1 ∈ k

इसलिए k, G का एक प्रसामान्य उपसमूह है।

विकल्प (1) सही है।

संप्रत्यय:

वलय में गुणजावली:

• वलय की एक गुणजावली एक विशेष उपसमुच्चय है जो वलय के अवयवों द्वारा गुणन को अवशोषित करता है और योग के अंतर्गत संवृत होता है।
• परिभाषा: वलय R का एक अरिक्त उपसमुच्चय I को गुणजावली कहा जाता है यदि:
  • सभी a, b ∈ I के लिए, (a + b) ∈ I (योग के अंतर्गत संवृत)।
  • सभी r ∈ R और a ∈ I के लिए, (ra ∈ I और ar ∈ I) (गुणन को अवशोषित करता है)।
• संकेतन: ℤ योग और गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों के वलय को दर्शाता है।
• प्रमुख आदर्श: समुच्चय nℤ = {nk | k ∈ ℤ} , ℤ की एक गुणजावली है।
• गुणजावलियों का प्रतिच्छेदन: किन्हीं दो गुणजावलियों का सर्वनिष्ठ भी एक गुणजावली होती है।
• गुणजावलियों का सम्मिलन : दो आदर्शों का सम्मिलन आवश्यक रूप से गुणजावली नहीं होता है।
• ℤ_n (mod n निकाय): वलय ℤ_n = {0, 1, ..., n−1} योग और गुणन मॉड्यूलो n के साथ।
• अभाज्य n के लिए: ℤ_n एक क्षेत्र है ⇒ किसी उचित अतुच्छ गुणजावली का अस्तित्व नहीं है।

गणना:

दिया गया है, हमें गलत कथन की पहचान करनी है।

1) समुच्चय (−2ℤ) = {−2k | k ∈ ℤ} = 2ℤ, जो ℤ की एक प्रमुख गुणजावली है

$$-2Z=-2,0,2,-4,4,-6,6,...=2Z$$

निष्कर्ष:

• चूँकि 2ℤ ℤ में एक प्रमुख गुणजावली (2 द्वारा उत्पन्न) है,

• और −2ℤ = 2ℤ, यह भी ℤ का एक गुणजावली है।

⇒ यह (ℤ, +, ·) की एक मान्य गुणजावली है। 

2) 2ℤ और 3ℤ, ℤ के आदर्श हैं (सत्य),

⇒ 2ℤ ∪ 3ℤ योग के अंतर्गत संवृत नहीं है, इसलिए गुणजावली नहीं है। 

• मान लीजिए a = 2 ∈ 2ℤ

• मान लीजिए b = 3 ∈ 3ℤ

जाँच: a + b = 2 + 3 = 5

अब, क्या 5 सम्मिलन 2ℤ ∪ 3ℤ में है?

• 5 2 से विभाज्य नहीं है ⇒ 2ℤ में नहीं है

• 5 3 से विभाज्य नहीं है ⇒ 3ℤ में नहीं है
  इसलिए, 5 ∉ 2ℤ ∪ 3ℤ है। 

इस प्रकार, 2ℤ ∪ 3ℤ योग के अंतर्गत संवृत नहीं है, जो कि गुणजावली होने के लिए एक आवश्यक गुण है।

⇒ कथन सही है। 

3) ℤ₅ एक क्षेत्र है (5 अभाज्य है)

⇒ क्षेत्रों में कोई उचित अतुच्छ गुणजावली नहीं होती हैं। 

⇒ कथन सही है। 

4) 4ℤ और 5ℤ, ℤ के आदर्श हैं (सत्य)

⇒ 4ℤ ∩ 5ℤ = 20ℤ (ℤ का एक आदर्श भी है)

⇒ कथन कहता है कि यह आदर्श नहीं है ⇒ गलत

∴ गलत कथन: विकल्प 4 है। 

अन्य विकल्प सही क्यों हैं:

• विकल्प 1: (−2ℤ) = 2ℤ, ℤ की एक मान्य गुणजावली है।
• विकल्प 2: 2ℤ और 3ℤ व्यक्तिगत रूप से गुणजावली हैं, लेकिन उनका सम्मिलन योग के अंतर्गत संवृत नहीं है। 
• विकल्प 3: ℤ₅ एक क्षेत्र है, इसलिए इसकी कोई उचित गुणजावली नहीं हैं। 

व्याख्या:

(2): यदि सभी a ∈ R के लिए a² = a हो, तो एक वलय बूलीय वलय होता है।

इसलिए, [{0, 1}, +2, ×2] एक बूलीय वलय है।

विकल्प (2) सही कथन है।

(Z3, +3, ×3) एक क्षेत्र है, इसलिए विकल्प (3) सही कथन है।

प्रमेय द्वारा, प्रत्येक परिमित पूर्णांकीय प्रांत एक क्षेत्र होता है।

विकल्प (4) सही कथन है।

इसलिए, विकल्प (1) गलत कथन है।

व्याख्या:

हम जानते हैं कि

प्रत्येक अनंत चक्रीय समूह के ठीक दो जनक होते हैं।

(2) सत्य है।

संकल्पना:

यदि xⁿ = 1 है तो o(x), n को विभाजित करता है। 

स्पष्टीकरण:

ℤ/105ℤ ≅ ℤ₁₀₅

105 = 3 × 5 × 7

So \(U_{ℤ_{105}}\) ≅ U(3) × U(5) × U(7) ≅ ℤ₂ × ℤ₄ × ℤ₆

दिया गया है कि x2 = 1 अतः o(x), 2 को विभाजित करता है। अतःo(x) = 1 या 2 

क्रम 1 और 2 के ℤ2 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ4 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ6 का तत्व 2 है। 

अतः ऐसे तत्वों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 = 8

विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

(i) सिलो का पहला प्रमेय: मान लीजिए G एक परिमित समूह है और मान लीजिए कि p एक अभाज्य समूह है। यदि pk |G| को विभाजित करता है, तो G के पास क्रम pk का कम से कम एक उपसमूह है।

(ii) यदि f o(G) = pn है तो सभी 0 ≤ r ≤ n के लिए क्रम pr का कम से कम n - 1 सामान्य उपसमूह मौजूद है

स्पष्टीकरण:

(1): दिया गया है |G| = p6 इसलिए p4, p⁶ को विभाजित करता है। फिर सिलो के पहले प्रमेय के अनुसार, एक उपसमूह H ⊂ G मौजूद है जिससे |H| = p4

इसलिए H का सूचकांक  = p6/ p4 = p2
विकल्प (1) सत्य है। 

(2):  |G| = p6तो परिणाम के अनुसार (ii) G में कम से कम पाँच सामान्य उपसमूह हैं। 

विकल्प (2) सत्य है और विकल्प (4) असत्य है। 

(3): यदि हम (P\((\mathbb N), \triangle\)) और p = 2 पर विचार करें तो G का केंद्र अनंत है।
  विकल्प (3) सत्य है। 

अवधारणा:

यदि G इस प्रकार का समूह है कि o(G) = 2p है जहाँ p विषम अभाज्य है, तो G ≅ \(\mathbb Z_{2p}\) or G ≅ \(\mathbb D_p\)

(ii) यदि o(G) = n है, जहाँ G एबेलियन समूह है तो G का वर्ग समीकरण n = 1 + 1 + ... + 1 (n बार) है।

व्याख्या:

दिया गया है: o(G) = 10 = 2.5

इसलिए यहाँ p = 5 जो विषम अभाज्य है।

यहाँ G ≅ \(\mathbb Z_{10}\) या G ≅ \(\mathbb D_5\)

यदि G ≅ \(\mathbb Z_{10}\) है, तब यह चक्रीय है इसलिए एबेलियन है। इसलिए कोटि 10 के समूह का वर्ग समीकरण 10 = 1 + 1 + … + 1 (10 बार) है।

यदि G ≅ \(\mathbb D_5\) है इसमें 5 घूर्णन और 5 परावर्तन होंगे।

इसलिए इस स्थिति में कोटि 10 के समूह का वर्ग समीकरण निम्नलिखित है:

10 = 1 + 2 + 2 + 5

अतः विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

इस प्रकार की समस्याओं के लिए, उपयुक्त प्रति-उदाहरण लेकर दिए गए विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।

विकल्प (1) के लिए, मान लीजिए n = 16 तब

(n - 1)! + 3 = 15! + 3 = सम + विषम = विषम

⇒ कोई भी सम पूर्णांक इसे अर्थात (n - 1)! + 3 को विभाजित करता है। 

⇒ विकल्प (1) असत्य है। (क्योंकि सभी के लिए सत्य नहीं है)

विकल्प (2) के लिए, n = 17 लीजिए, तब

∵ (n - 1)! = 16! , यहाँ n = 17 अभाज्य है इसलिए यह कभी भी 16! को विभाजित नहीं करेगा।

⇒ विकल्प (2) असत्य है।

विकल्प (4) के लिए, n = 16 लीजिए, तब n² = 16² + n! + 1 = 16 ! + 1 यहाँ 16² सम है जबकि 16! + 1 विषम पूर्णांक है इसलिए 16² + 16! + 1 है। 

⇒ विकल्प (4) असत्य है।

विकल्प (3) सत्य है [किसी भी n ≥ 16 सम पर विचार करें]

नोट: इस विकल्प के लिए प्रमाण बहुत लंबा है, इसलिए केवल उदाहरण से समझने का प्रयास करें।

\(=\frac{p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_n^{r_n}}{p_1^{r_1-1} \cdot\left(p_1-1\right) \cdot p_2^{r_2-1}\left(p_2-1\right) \ldots p_n^{r_{n-1}}\left(p_{n-1}\right)}\)

\(=\frac{p_1 p_2 \cdots p_n}{\left(p_1-1\right)\left(p_2-1\right) \cdots\left(p_n-1\right)}\) = पूर्णांक (दिया गया) = p/n¹/n

∵ (p₁ - 1) x p₁ ⇒ ∃ कोई अन्य अभाज्य p₂ ऐसा है कि (p₁ - 1)|p₂

लेकिन ∵ p₂ भी एक अभाज्य है, इसलिए 1 को छोड़कर किसी भी पूर्णांक से विभाज्य नहीं है।

(एक अभाज्य गुणनखंड 2 है, तो n अधिकतम दो अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों के रूप में है अन्यथा एक।)

इस प्रकार, विकल्प (3) सत्य है। 

अवधारणा:

ϕ: \(\mathbb N\) → \(\mathbb N\) द्वारा परिभाषित एक प्रतिचित्रण जहाँ ϕ(n) = {x ∈ \(\mathbb N\) | 1 ≤ x < n और gcd(x, n) = 1} को ऑयलर का ϕ - फलन कहा जाता है।

ϕ (pⁿ) = pⁿ - p^n-1

यदि gcd(m, n) = 1 है, तो ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) है। 
व्याख्या:

ϕ(n) तालिका:

ϕ(n) की तालिका से हम देख सकते हैं कि यदि हम n को 3 से बड़ी अभाज्य संख्या मानते हैं, तो ϕ(n) > ϕ(n+1) और यदि हम n + 1 को 3 से बड़ी अभाज्य संख्या मानते हैं, तो ϕ(n) < ϕ(n+1) है। 

∴ विकल्प (1) और (2) सही हैं।

ϕ(n) तालिका:

इसलिए, यदि हम N = 6 लेते हैं, तो ∀ n > 6, हमारे पास ϕ(N) < ϕ(n) है। 

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

इसलिए, गलत विकल्प (4) है।

संकल्पना​:

यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है तो,

ab = ba ∀ a,b ∈ R. 

M, जो R की एक गुणजावली है, R की अधिकतम गुणजावली कहलाएगी,

1) यदि M ⊂ R, M ≠ R (R में कम से कम एक ऐसा तत्व है जो M से संबंधित नहीं है)

2) कोई गुणजावली 'N' नहीं होनी चाहिए, जैसे M ⊂ N ⊂ R. (M और R के बीच कोई गुणजावली नहीं है) 

विश्लेषण​:

R/M एक क्षेत्र है [∵ प्रत्येक परिमित अभिन्न डोमेन एक क्षेत्र है]

∴ R/M एकल के साथ एक वलय है

∴ 1 + M ≠ M

अर्थात, 1 ∉ M

अब, एक R से संबंधित है, लेकिन यह R से संबंधित नहीं है।

∴ M ≠ R.

मान लीजिए I, R की एक गुणजावली है​

ऐसा है कि M ⊆  I ⊆  R

माना, M ≠ I

∃ a ∈ I, ऐसा है कि a ∉ M

∴ a + M ∉ M

अब, R/M एक क्षेत्र है।

∴ प्रत्येक, गैर-शून्य R/M प्रतिवर्ती है

∴ a + M व्युत्क्रमणीय है

∴ ∃ b + M ∈ R/M दिया गया है कि

(a + M) (b + M) = 1 + M

ab + M = 1 + M

ab – 1 ∈ M ⊆  I      ---(1)

a ∈ I, b ∈ R

∴ ab ∈ I          ---(2)  (∵ I एक गुणजावली है​)

(1) और (2) से हम लिख सकते हैं

ab – (ab – 1) ∈ I

∴ 1 ∈ I

अब, जैसे एकता गुणजावली से संबंधित है, इसलिए गुणजावली वलय बन जाता है

∴ I = R

∴ M, R का अधिकतम गुणजावली है

यदि R एकल के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है तो प्रत्येक अधिकतम गुणजावली एक अभाज्य गुणजावली है।

स्पष्टीकरण -

परिणाम -

(i) \(\mathbb{Q}_8 \to K_4\) तक समरूपता की संख्या 16 है।

(ii) \(\mathbb{Q}_8 \to K_4\) आच्छादक समरूपता की संख्या 6 है।

(iii) \(\mathbb{Q}_8 \to K_4\) 1-1 समरूपता की संख्या 0 है।

अतः विकल्प (2) सही है।

अवधारणा - चक्रीय समूह के क्रम n के उपसमूहों की संख्या ​\(\tau(n)\) है।

व्याख्या- क्रम 50 के चक्रीय समूह के उपसमूह की संख्या ​\(\tau (50) \) है।

\(\tau (50) = \tau(5^2.2)\) = (2+1)(1+1) = 6

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 1 है।

हल -

एक वलय  �  का तत्वUnknown node typ <merror><mtext>Unknown node type: span</mtext></merror> �  शून्यक्षम ​कहलाता है, यदि कोई धनात्मक पूर्णांक  मौजूद होता है, जिसे सूचकांक (या कभी-कभी कोटि) कहा जाता है, जैसे कि 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।