Mean MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mean - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

अनुक्रम है \(8^{2},\,9^{2},\,10^{2},\,\dots,\,15^{2}\)

पदों की संख्या, \(n = 15 - 8 + 1 = 8\)

प्रथम \(m\) वर्गों का योग है, \( \displaystyle \sum_{k=1}^{m} k^{2} = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}\)

\(15^{2}\) तक योग:

\(S_{15} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 1240\)

\(7^{2}\) तक योग:

\(S_{7} = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140\)

अभीष्ट पदों का योग:

\(S = S_{15} - S_{7} = 1240 - 140 = 1100\)

समांतर माध्य है,

\( \displaystyle \text{Mean} = \frac{S}{n} = \frac{1100}{8} = 137.5\)

∴ समांतर माध्य \(137.5\) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\overline x = \frac{x_1+x_2+x_3+......... x_n}{n}\)

⇒ \(x_1+x_2+X_3+......x_n= n\overline x \)

⇒ जब x_n को k से प्रतिस्थापित किया जाता है तब माध्य

⇒ नया माध्य = \(\frac{x_1+x_2+x_3+......... x_{n-1}+k}{n}\)

= \(\frac{n\overline x -x_n+k}{n}\)

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

माध्य = \(\frac{1+ 4+ 9 ... n^2}{n}\)

⇒ 130 = \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}\)

⇒ 780 = 2n² + 3n + 1

⇒ 2n² + 3n - 779 =0

⇒ 2n² + 41n - 38n - 779 = 0

⇒ n(2n + 41) - 19(2n + 41) = 0

⇒ (2n + 41) (n - 19) = 0

⇒ n = 19 ..... ( n = \(-\frac{41}{2}\) संभव नहीं है)

∴ विकल्प (b) सही है।

गणना

\(\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}{n}-(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})^{2}\)

⇒ \(\frac{a_{1}^{2}+(a_{1}+r)^{2}+...+(a_{1}+(n-1)r)^{2}}{n}-\left(\frac{na_{1}+r\frac{n(n-1)}{2}}{n}\right)^{2}\)

⇒ \(\frac{na_{1}^{2}+r^{2}\cdot\frac{(n-1)\cdot n(2n-1)}{6}+a_{1}r(n-1)\cdot n}{n}-a_{1}^{2}-a_{1}r(n-1)-\frac{r^{2}(n-1)^{2}}{4}\)

⇒ \(\frac{na_{1}^{2}+r^{2}\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{6}+a_{1}r(n-1)\cdot n}{n}-a_{1}^{2}-a_{1}r(n-1)-\frac{r^{2}(n-1)^{2}}{4}\)

⇒ \(\frac{r^{2}(n-1)}{2}\cdot(\frac{2n-1}{3}-\frac{n-1}{2})\)

⇒ \(\frac{r^{2}(n-1)}{2}\cdot(\frac{4n-2-3n+3}{6})\)

⇒ \(\frac{r^{2}(n-1)(n+1)}{12}\)

⇒ \(\frac{r^{2}(n^{2}-1)}{12}\)

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

दिया गया​ है:

माध्य (X̅) = 20, प्रेक्षणों की संख्या = 10

गणना:

माना, 

S = \(\displaystyle \sum_{i=1}^{10}\left(\frac{3 x_i-4}{5}\right)\)

S = \(\displaystyle \sum_{i=1}^{10}\left(\frac{3 x_i}{5}\right) -{4\over 5} \times \displaystyle \sum_{i=1}^{10} 1\)

S = \({3\over 5} \displaystyle \sum_{i=1}^{10}( x_i) -{4\over 5} \times 10\)           -----(1)

As, \({{\displaystyle \sum_{i=1}^{10}( x_i)}\over 10} = 20\)

\({\displaystyle \sum_{i=1}^{10}( x_i)} = 200\)

अब, समीकरण (1) से,

S = \({3\over 5} (200) -{4\over 5}(10)\)

S = \({600-40\over 5}\)

S = 112

∴ \(\displaystyle \sum_{i=1}^{10}\left(\frac{3 x_i-4}{5}\right)\) = 112

प्रयुक्त सूत्र:

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निम्न द्वारा दिया गया है,

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

जहां, \(u_i \ = \ \frac{X_i\ -\ a}{h}\)

Xi = वर्ग i का माध्य

fi = वर्ग i के अनुरूप बारंबारता

दिया गया है:

गणना:

अब, नीचे, आंकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए ∑fiXi और ∑fi को ज्ञात करना,

तब,

हम जानते हैं कि वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य है

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

= \(\frac{1535}{43}\)

= 35.7

अतः, वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य 35.7 है। 

संकल्पना:

• \({\rm{Mean}} = \frac{{\sum {\rm{xf}}}}{{\sum {\rm{f}}}}\)

गणना:

हम जानते हैं कि, \({\rm{Mean}} = \frac{{\sum {\rm{xf}}}}{{\sum {\rm{f}}}}\)

\(\therefore {\rm{Mean}} = \frac{{800}}{{24}} = 33.3\)

संकल्पना:

माना कि ‘n’ अवलोकन {\({\rm{\;}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}},{{\rm{x}}_{{\rm{2\;}}}},{{\rm{x}}_{{\rm{3\;}}}}, \ldots ,{{\rm{x}}_{{\rm{n\;}}}}\)} हैं। 

माध्य \(\left( {{\rm{\bar x}}} \right) = \frac{{{\rm{\;}}({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_{2{\rm{\;}}}} + {{\rm{x}}_{3{\rm{\;}}}} + \ldots + {{\rm{x}}_{{\rm{n\;}}}})}}{{\rm{n}}}\) \( = {\rm{\;}}\frac{{\mathop \sum \nolimits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{n}} {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{n}}}\)

पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग = \(\rm \frac{n(n+1)}{2}\)

गणना:

ज्ञात करना है: पहले 99 प्राकृतिक संख्या का माध्य

चूँकि हम जानते हैं, पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग = \(\rm \frac{n(n+1)}{2}\)

अब, माध्य = \(\rm \dfrac { \frac{99(99+1)}{2}}{99}\)

= \(\rm \frac{(99+1)}{2}=50\)

संकल्पना:

'n' अवलोकनों का माध्य = अवलोकनों का योग / n

गणना:

यहाँ n = 3 है। माना कि तीसरी संख्या x है। 

∴ \(\rm 16=\dfrac{x+8+10}{3}\)

⇒ x + 18 = 48

⇒ x = 30

धारणा:

\({\rm{Mean}} = \frac{{\sum {\rm{xf}}}}{{\sum {\rm{f}}}}\)

गणना:

हम जानते हैं कि, \({\rm{Mean}} = \frac{{\sum {\rm{xf}}}}{{\sum {\rm{f}}}}\)

\(\therefore {\rm{Mean}} = \frac{{830}}{{20}} = 41.5\)

संकल्पना:
माध्य- बहुलक= 3(माध्य- माध्यिका )

गणना:

दिया गया है:

माध्य और बहुलक के बीच अंतर  = 48

और माध्यिका = 12

माध्य- बहुलक = 3(माध्य - माध्यिका)

⇒ 48 = 3(माध्य - 12)

⇒ 48 = 3 माध्य - 36

⇒ 3 माध्य= 48 + 36

⇒ 3 माध्य= 84

⇒ माध्य= 84/3

⇒ माध्य= 28

∴ माध्य 28 है।

अवधारणा:

प्रेक्षणों  \(\rm x_1 ,x_2 ,x_3 ,..........,x_n\) के लिए

माध्य (\(\rm\overline x\)) = \(\rm {x_1 +x_2 + x_3 +..........+x_n\over n}\)

माध्य से प्रेक्षण का विचलन = xi - \(\rm\overline x\)

जहाँ i ∈ [1, n]

गणना:

माध्य = \(\rm {73+85+92+105+120\over 5}\)

\(\rm\overline x\) = \(\rm {475\over 5}\)  = 95)

विचलन का योगफल = -22 +(-10) + (-3) + 10 + 25 = 0

संकल्पना:

माध्य = (अवलोकनों की संख्या)/(अवलोकनों की कुल संख्या)

गणना:

माना कि छह संख्याएँ a, b, c, d, e, f हैं। 

इसलिए, माध्य = \(\rm \frac{a+b+c+d+e+f}{6}=47\)

\(\rm ⇒ a+b+c+d+e+f=282\)          ....(1)

माना कि निकाली गयी संख्या a है। 

इसलिए शेष पांच संख्याओं का माध्य = \(\rm \frac{b+c+d+e+f}{5}=41\)

\(\rm ⇒ b+c+d+e+f=205\)                ....(2)

∴ a + 205 = 282              ((1) और (2) से)

⇒ a = 77

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

\({\rm{Mean\;}} = {\rm{\;}}\frac{{\sum {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{n}}}\) , जहां x_i अवलोकन है और n अवलोकनों की कुल संख्या है।

पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग: \(\sum {\rm{n}} = 1 + 2 + 3 + \ldots + {\rm{n}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} + 1} \right)}}{2}\)

गणना:

दिया गया: अवलोकनों x1, x2, x3,...,x10 के समुच्चय का माध्य 50 है

यहाँ n = 10,

\({\rm{Mean\;}} = {\rm{\;}}\frac{{\sum {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{n}}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_3} + \ldots + {{\rm{x}}_{10}}}}{{10}} = 50\)

⇒ x1 + x2 + x3 +...+ x10 = 500                      …. (1)

अब नए अवलोकनों x1 + 5, x2 + 10, x3 + 15,..., x10 + 50 का माध्य ज्ञात करें

\({\rm{\;Mean\;}} = {\rm{\;}}\frac{{\sum {{\rm{x}}_{\rm{i}}}}}{{\rm{n}}} = {\rm{\;}}\frac{{\left( {{{\rm{x}}_1} + 5} \right) + \left( {{{\rm{x}}_2} + 10} \right) + ({{\rm{x}}_3} + 15) + \ldots + ({{\rm{x}}_{10}} + 50)}}{{10}}\)

\( = {\rm{\;}}\frac{{\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_3} + \ldots + {{\rm{x}}_{10}}} \right) + \left( {5 + 10 + 15 + \ldots + 50} \right)}}{{10}} \)

समीकरण (1) से

\(= \frac{{500 + \;5\left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 10} \right)}}{{10}} \)

\(= 50 + \frac{1}{2} \times \frac{{10 \times 11}}{2} \)

\(= 50 + 27.5 \)

= 77.5

अवधारणा:

कई अवलोकनों का माध्य (या औसत) कुल अवलोकनों द्वारा विभाजित सभी अवलोकनों के मानों का योग है। इसे प्रतीक \(\bar x\) द्वारा दर्शाया जाता है जिसे 'x बार' के रूप में पढ़ा जाता है।

माध्य \(\rm \bar x = \frac{{Sum\;of\;all\;the\;observations}}{{Total\;number\;of\;observations}}\)

गणना:

दिया गया संख्या का समुच्चय 8, 5, n, 10, 15, 21 है।

तो \(\rm \bar x = \frac{{Sum\;of\;all\;the\;observations}}{{Total\;number\;of\;observations}} = 11\)

∴ \(11 = \frac{{8\; + \;5\; + \;n\; +\; 10\; + \;15\; + \;21}}{6}\) ⇒ n = 7