Mean MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mean - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सूत्र

माध्य = ∑xifi/n

f = बारंबारता  

x = प्रेक्षण

n = प्रेक्षणों की संख्या

गणना

माध्य = 83/14

∴ इस श्रृंखला का माध्य 83/14 है

1 - समांतर माध्य

समांतर माध्य को X̅ द्वारा निरूपित किया जाता है, दिया गया है 

X̅ = (x1 + x2 + ------ xn)/n

X̅ = ∑xi/n

जहाँ (x1 + x2 + ------ xn) प्रेक्षण हैं

n = प्रेक्षण की संख्या

1 - किसी भी वितरण के लिए समांतर माध्य से विचलन का योग हमेशा शून्य होता है

2 - यदि चर x के प्रत्येक मान को एक स्थिर मान से बढ़ाया या घटाया जाता है तो इस प्रकार प्राप्त चर का समांतर माध्य भी उसी स्थिर मान से बढ़ या घट जाता है

3 - माध्य के बारे में लिए जाने पर मानों के एक समूह के विचलन के वर्ग का योग न्यूनतम होता है।

4 - यदि चर के मानों को एक स्थिर मान से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो इस प्रकार प्राप्त समांतर माध्य वही होता है जो प्रारंभिक समांतर माध्य को स्थिर मान से गुणा या विभाजित करता है

अवधारणा:

क्रमागत सम या विषम संख्याओं में क्रमागत पदों के बीच 2 का अंतर होता है।

उदाहरण 2, 4, 6, 8, 10, 12...

4 - 2 = 6 - 4 = 8 - 6 = स्थिरांक = 2

गणना:

दिया गया है:

सभी संख्याएँ क्रमागत सम संख्याएँ हैं।

माना कि संख्या (x - 2), x और (x + 2) हैं

 = \(\frac{(x - 2) + x + (x + 2)}{3}=\frac{3x}{3} = x\)

सबसे बड़ी संख्या = (x + 2)

आवश्यक अंतर = (x + 2) - x

आवश्यक अंतर = 2

व्याख्या:

धनात्मक रूप से विषम वितरण

• एक धनात्मक रूप से विषम वितरण, जिसे दक्षिण-विषम वितरण के रूप में भी जाना जाता है, आवृत्ति वितरण का एक प्रकार है जिसमें अधिकांश डेटा बिंदु बाईं ओर केंद्रित होते हैं, जिसमें पूँछ दाईं ओर फैली होती है। यह वितरण दाईं ओर एक लंबी पूँछ की विशेषता है। ऐसे वितरणों में, माध्य, माध्यिका और बहुलक समान नहीं होते हैं और आमतौर पर एक विशिष्ट क्रम का पालन करते हैं।

विशेषताएँ: एक धनात्मक रूप से विषम वितरण में:

• बहुलक वितरण का उच्चतम शिखर है और वितरण के सबसे बाएँ भाग में स्थित है।
• माध्यिका बहुलक के दाईं ओर लेकिन माध्य के बाईं ओर स्थित है।
• माध्य, माध्यिका और बहुलक दोनों के दाईं ओर स्थित है, क्योंकि यह दाईं ओर की लंबी पूँछ की दिशा में खींचा जाता है।

अवधारणा:
प्रत्यक्ष विधि:

एक चर X संगत आवृत्तियों f1, f2, …, fn के साथ क्रमशः मूल्य x1, x2, x3, ….., xn लेता है तो इन मूल्यों का समांतर माध्य निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\bar X = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n \left( {{f_i} ⋅ {x_i}} \right)}}{N}\) जहां \(N = \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{n\;} {f_i}\)

गणना:

दिया गया: डेटा का माध्य 40 है

यानी \(\bar X = 40\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\bar X = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n \left( {{f_i} ⋅ {x_i}} \right)}}{N}\)

ऊपर दी गई तालिका का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

⇒ \(\bar X = \frac{3960 + 30k}{88 + k} = 40 \)

⇒ 3960 + 30k = 3520 + 40k

⇒ 10k = 440

⇒ k = 44

इसलिए, विकल्प 1 सही उत्तर है।

सूत्र

समांतर माध्य ज्ञात करने की त्वरित विधि

x̅ = A + h(∑fiui­)/N

A = अनुमानित मान 

h = वर्ग आकार

ui = (xi – A)/h

di = xi - A

ui= di/h

गणना

सूत्र

समांतर माध्य ज्ञात करने की त्वरित विधि

x̅ = A + h(∑fiui­)/N

A = अनुमानित मान 

h = वर्ग आकार

ui = (xi – A)/h

di = xi - A

ui= di/h

गणना

मध्य मान x = (वर्ग की निचली सीमा + वर्ग की ऊपरी सीमा)/2

A = अनुमानित मान, यहाँ हम A = 25 लेते हैं

h = 10

त्वरित विधि के सूत्र अनुसार

⇒ x̅ = 25 + (91/127) × 10

⇒ x̅ = 25 + 7.1

∴ इस आकड़े का माध्य 32.1 है

इन बारंबारता आकड़ों को हल करने की सीधी विधि पूरी तरह से विफल हो जाती है इसलिए हम डेटा के माध्य को हल करने के लिए त्वरित विधि का उपयोग करते हैं। यहाँ हमने मूल बिंदु को किसी बिंदु A( xi - A) पर स्थानांतरित कर दिया, जिसे बिंदु A से विचलन के रूप में d_i कहा जाता है

di = xi - A

xI = di + A

माध्य = ∑ fi­xi/∑ fi = ∑fi(di­ + A)/∑fi

[∑fidi + A∑fi]/∑fi

∑fidi/∑fi + A या A + ∑fidi/∑fi

अनुमानित मान + नए विचलन 'd' का माध्य

जब आकड़ों समान वर्ग अंतराल में हो तो हम विचलन को (xi – A)/h से विभाजित करके कम कर सकते हैं

ui = (xi­ – A)/h

ui = di/h

di = ui × h

x̅ = A + ∑fihui/∑fi

x̅ = A + h∑ fiui/N

N = ∑fi

गणना:

मान लीजिए a, b, c ...... प्रेक्षणों का 'n' समुच्चय है।

प्रेक्षणों के इस समुच्चय का माध्य, \(\bar{x}\) = \(a + b+ c ....... \over n\)

प्रत्येक प्रेक्षण को k से विभाजित करने और फिर उन्हें 5 से बढ़ाने के बाद, प्रेक्षणों का एक नया समुच्चय \(a \over k \) + 5, \(b \over k\) + 5, ....... है।

अतः, प्रेक्षणों के नए समुच्चय का माध्य

नया माध्य   = \(\frac{{\left( {\frac{a}{k} + 5} \right) + \left( {\frac{b}{k} + 5} \right) + ......}}{n} = \frac{{\left( {\frac{a}{k} + \frac{b}{k} + ....} \right) + \left( {5n} \right)}}{n}\)

उपरोक्त पदों को पुनः व्यवस्थित करने पर, हम पाते हैं,

नया माध्य   = \(\frac{{\left( {\frac{{a + b + .....}}{n}} \right) + 5k}}{k}\)

नया माध्य = \(\dfrac{\bar{x} + 5k}{k}\)

संकल्पना:

मान लें कि हमारे पास n1 और n2 अवलोकनों वाले डेटा के दो समुच्चय हैं जिनके माध्य X1 और X2 हैं

संयुक्त माध्य इस प्रकार दिया गया है:

\(X = \frac{n_1 ~{X_1} + n_2 ~ {X_2}}{n_1 + n_2}\)

दिया हुआ:

n1 = 13, n2 = 17, X1 = 37, X2 = 43

\(X = \frac{n_1 ~{X_1} + n_2 ~ {X_2}}{n_1 + n_2}= \frac{13 \times 37 + 17\times 43}{13+17}\)

= 40.4

सूत्र

माध्य = ∑xifi/n

f = बारंबारता  

x = प्रेक्षण

n = प्रेक्षणों की संख्या

गणना

माध्य = 83/14

∴ इस श्रृंखला का माध्य 83/14 है

1 - समांतर माध्य

समांतर माध्य को X̅ द्वारा निरूपित किया जाता है, दिया गया है 

X̅ = (x1 + x2 + ------ xn)/n

X̅ = ∑xi/n

जहाँ (x1 + x2 + ------ xn) प्रेक्षण हैं

n = प्रेक्षण की संख्या

1 - किसी भी वितरण के लिए समांतर माध्य से विचलन का योग हमेशा शून्य होता है

2 - यदि चर x के प्रत्येक मान को एक स्थिर मान से बढ़ाया या घटाया जाता है तो इस प्रकार प्राप्त चर का समांतर माध्य भी उसी स्थिर मान से बढ़ या घट जाता है

3 - माध्य के बारे में लिए जाने पर मानों के एक समूह के विचलन के वर्ग का योग न्यूनतम होता है।

4 - यदि चर के मानों को एक स्थिर मान से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो इस प्रकार प्राप्त समांतर माध्य वही होता है जो प्रारंभिक समांतर माध्य को स्थिर मान से गुणा या विभाजित करता है

गणना:

मान लीजिए a, b, c ...... प्रेक्षणों का 'n' समुच्चय है।

प्रेक्षणों के इस समुच्चय का माध्य, \(\bar{x}\) = \(a + b+ c ....... \over n\)

प्रत्येक प्रेक्षण को k से विभाजित करने और फिर उन्हें 5 से बढ़ाने के बाद, प्रेक्षणों का एक नया समुच्चय \(a \over k \) + 5, \(b \over k\) + 5, ....... है।

अतः, प्रेक्षणों के नए समुच्चय का माध्य

नया माध्य   = \(\frac{{\left( {\frac{a}{k} + 5} \right) + \left( {\frac{b}{k} + 5} \right) + ......}}{n} = \frac{{\left( {\frac{a}{k} + \frac{b}{k} + ....} \right) + \left( {5n} \right)}}{n}\)

उपरोक्त पदों को पुनः व्यवस्थित करने पर, हम पाते हैं,

नया माध्य   = \(\frac{{\left( {\frac{{a + b + .....}}{n}} \right) + 5k}}{k}\)

नया माध्य = \(\dfrac{\bar{x} + 5k}{k}\)

अवधारणा:
प्रत्यक्ष विधि:

एक चर X संगत आवृत्तियों f1, f2, …, fn के साथ क्रमशः मूल्य x1, x2, x3, ….., xn लेता है तो इन मूल्यों का समांतर माध्य निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\bar X = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n \left( {{f_i} ⋅ {x_i}} \right)}}{N}\) जहां \(N = \;\mathop \sum \limits_{i = 1}^{n\;} {f_i}\)

गणना:

दिया गया: डेटा का माध्य 40 है

यानी \(\bar X = 40\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\bar X = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n \left( {{f_i} ⋅ {x_i}} \right)}}{N}\)

ऊपर दी गई तालिका का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

⇒ \(\bar X = \frac{3960 + 30k}{88 + k} = 40 \)

⇒ 3960 + 30k = 3520 + 40k

⇒ 10k = 440

⇒ k = 44

इसलिए, विकल्प 1 सही उत्तर है।

व्याख्या:

धनात्मक रूप से विषम वितरण

• एक धनात्मक रूप से विषम वितरण, जिसे दक्षिण-विषम वितरण के रूप में भी जाना जाता है, आवृत्ति वितरण का एक प्रकार है जिसमें अधिकांश डेटा बिंदु बाईं ओर केंद्रित होते हैं, जिसमें पूँछ दाईं ओर फैली होती है। यह वितरण दाईं ओर एक लंबी पूँछ की विशेषता है। ऐसे वितरणों में, माध्य, माध्यिका और बहुलक समान नहीं होते हैं और आमतौर पर एक विशिष्ट क्रम का पालन करते हैं।

विशेषताएँ: एक धनात्मक रूप से विषम वितरण में:

• बहुलक वितरण का उच्चतम शिखर है और वितरण के सबसे बाएँ भाग में स्थित है।
• माध्यिका बहुलक के दाईं ओर लेकिन माध्य के बाईं ओर स्थित है।
• माध्य, माध्यिका और बहुलक दोनों के दाईं ओर स्थित है, क्योंकि यह दाईं ओर की लंबी पूँछ की दिशा में खींचा जाता है।

संकल्पना:

माध्य\(= \mathop \sum \nolimits xf\left( x \right) = \mathop \sum \nolimits x{e^{ - x}} = 1.{e^{ - 1}} + 2.{e^{ - 2}} + 3.{e^{ - 3}} + \ldots \dots \dots\)

\(\begin{array}{l} = {e^{ - 1}}\left[ {1 + 2{e^{ - 1}} + 3{e^{ - 2}} + 4{e^{ - 3}} + \ldots \dots \dots } \right]\\ = {e^{ - 1}}\left[ {1 + \frac{2}{e} + \frac{3}{{{e^2}}} + \ldots \dots \dots } \right]\\ = {e^{ - 1}}{\left[ {1 - \frac{1}{e}} \right]^{-2}} = {e^{ - 1}}{\left[ {\frac{{e - 1}}{e}} \right]^{ - 2}}\\ = \frac{{{e^2}}}{{e{{\left( {e - 1} \right)}^2}}} = \frac{e}{{{{\left( {e - 1} \right)}^2}}} \end{array}\)

संकल्पना:

मान लें कि हमारे पास n1 और n2 अवलोकनों वाले डेटा के दो समुच्चय हैं जिनके माध्य X1 और X2 हैं

संयुक्त माध्य इस प्रकार दिया गया है:

\(X = \frac{n_1 ~{X_1} + n_2 ~ {X_2}}{n_1 + n_2}\)

दिया हुआ:

n1 = 13, n2 = 17, X1 = 37, X2 = 43

\(X = \frac{n_1 ~{X_1} + n_2 ~ {X_2}}{n_1 + n_2}= \frac{13 \times 37 + 17\times 43}{13+17}\)

= 40.4

अवधारणा:

क्रमागत सम या विषम संख्याओं में क्रमागत पदों के बीच 2 का अंतर होता है।

उदाहरण 2, 4, 6, 8, 10, 12...

4 - 2 = 6 - 4 = 8 - 6 = स्थिरांक = 2

गणना:

दिया गया है:

सभी संख्याएँ क्रमागत सम संख्याएँ हैं।

माना कि संख्या (x - 2), x और (x + 2) हैं

 = \(\frac{(x - 2) + x + (x + 2)}{3}=\frac{3x}{3} = x\)

सबसे बड़ी संख्या = (x + 2)

आवश्यक अंतर = (x + 2) - x

आवश्यक अंतर = 2

सूत्र

माध्य = ∑xifi/n

f = बारंबारता  

x = प्रेक्षण

n = प्रेक्षणों की संख्या

गणना

माध्य = 83/14

∴ इस श्रृंखला का माध्य 83/14 है

1 - समांतर माध्य

समांतर माध्य को X̅ द्वारा निरूपित किया जाता है, दिया गया है 

X̅ = (x1 + x2 + ------ xn)/n

X̅ = ∑xi/n

जहाँ (x1 + x2 + ------ xn) प्रेक्षण हैं

n = प्रेक्षण की संख्या

1 - किसी भी वितरण के लिए समांतर माध्य से विचलन का योग हमेशा शून्य होता है

2 - यदि चर x के प्रत्येक मान को एक स्थिर मान से बढ़ाया या घटाया जाता है तो इस प्रकार प्राप्त चर का समांतर माध्य भी उसी स्थिर मान से बढ़ या घट जाता है

3 - माध्य के बारे में लिए जाने पर मानों के एक समूह के विचलन के वर्ग का योग न्यूनतम होता है।

4 - यदि चर के मानों को एक स्थिर मान से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो इस प्रकार प्राप्त समांतर माध्य वही होता है जो प्रारंभिक समांतर माध्य को स्थिर मान से गुणा या विभाजित करता है