Statistical Variables MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Statistical Variables - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

सर्वोत्तम उपयुक्त रेखा का समीकरण: लाभ = 4T − 86

सहसंबंध गुणांक: r = 0.83

बिंदु (32, 80) को असामान्य के रूप में बताया गया है।

प्रयुक्त सूत्र:

निर्धारण का गुणांक: r²

रेखा से अनुमानित मान: समीकरण लाभ = 4T − 86 में T रखें

गणना:

कथन 1:

यह न्यूनतम वर्ग समाश्रयण रेखा का एक गुण है।

⇒ वर्गों के योग का अंतर न्यूनतम है

कथन 2:

r = 0.83 ⇒ r² = 0.6889 ≈ 69%

⇒ लगभग 69% भिन्नता समझाई गई है

कथन 3:

T = 30 डिग्री सेल्सियस

⇒ लाभ = 4 × 30 − 86 = 120 − 86 = 34

⇒ अनुमानित लाभ = 34 मिलियन

कथन 4:

बिंदु (32, 80) रेखा से थोड़ा दूर है लेकिन स्पष्ट बहिष्कृत नहीं है।

इसे त्यागने का कोई वैध कारण नहीं है।

⇒ इसे असामान्य घोषित करना और त्यागना गलत है

∴ कथन 4 गलत है।

गणना:

यहाँ, 5, 8, 9, 5, 6, 4, 9, 3, 9, 3, 6, 1, 9, 7, 1, 2, 9 और 5

यहाँ,

9, 5 बार आता है। 

∴ दिए गए आँकड़ों का बहुलक 9 है। 

सूत्र

माध्य = ∑xifi/n

f = बारंबारता  

x = प्रेक्षण

n = प्रेक्षणों की संख्या

गणना

माध्य = 83/14

∴ इस श्रृंखला का माध्य 83/14 है

1 - समांतर माध्य

समांतर माध्य को X̅ द्वारा निरूपित किया जाता है, दिया गया है 

X̅ = (x1 + x2 + ------ xn)/n

X̅ = ∑xi/n

जहाँ (x1 + x2 + ------ xn) प्रेक्षण हैं

n = प्रेक्षण की संख्या

1 - किसी भी वितरण के लिए समांतर माध्य से विचलन का योग हमेशा शून्य होता है

2 - यदि चर x के प्रत्येक मान को एक स्थिर मान से बढ़ाया या घटाया जाता है तो इस प्रकार प्राप्त चर का समांतर माध्य भी उसी स्थिर मान से बढ़ या घट जाता है

3 - माध्य के बारे में लिए जाने पर मानों के एक समूह के विचलन के वर्ग का योग न्यूनतम होता है।

4 - यदि चर के मानों को एक स्थिर मान से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो इस प्रकार प्राप्त समांतर माध्य वही होता है जो प्रारंभिक समांतर माध्य को स्थिर मान से गुणा या विभाजित करता है

दिया गया है​:

निश्चित संख्या का माध्य = 20

समान प्रेक्षण के वर्ग का माध्य = 500

प्रयुक्त सूत्र:

σ = √[(∑x²/n –(∑x/n)²]

(∑x/n) = माध्य

∑x²/n = वर्ग का माध्य

गणना:

मानक विचलन निम्न द्वारा दिया जाता है

⇒ √[(∑(x²/n –(∑x/n)²] = √[500 – (20)²]

⇒ √(500 – 400)

∴ मानक विचलन 10 है।

दिया गया है:

आंकड़े = 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 

प्रयुक्त सूत्र:

विषम संख्या के लिए माध्यिका = \(({n\ +\ 1\over 2})^{th}\)

सम संख्या के लिए माध्यिका = \({({n\over 2})^{th}\ +\ ({{n\over 2}\ +\ 1})^{th}}\over 2\)     जहाँ, n = पदों की कुल संख्या (विषम या सम)

गणना:

माना सम संख्या की माध्यिका X है।

⇒ कुल सम संख्या = 8

⇒ तो n का मान = 8

⇒ सम संख्या की माध्यिका = \({({8\over 2})^{th}\ +\ ({{8\over 2}\ +\ 1})^{th}}\over 2\) = (4 + 5)/2 = (36 + 37)/2 = 36.5

⇒ 35 को निकालने पर कुल संख्या = n = 7

⇒ 35 को निकालने पर आंकड़ों की माध्यिका = \(({7\ +\ 1\over 2})^{th}\) = 8/2 = 4th संख्या = 37

⇒ माध्यिका का अंतर = 37 - 36.5 = 0.5

∴ अभीष्ट परिणाम 0.5 होगा।

अवधारणा:

दी हुई जानकारी के अनुसार,

9, 5, 8, 9, 9, 7, 8, 9, 8

संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर

5, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9

चूँकि संख्याओं की संख्या विषम है, इसलिए माध्यिका मध्य संख्या होगी।

⇒ माध्यिका = 8

सबसे अधिक बार पुनरावृत्त होने वाली संख्या को बहुलक कहा जाता है, चूँकि 9 चार बार पुनरावृत्त हो रहा है।

⇒ बहुलक = 9

माध्य = (9 + 5 + 8 + 9 + 9 + 7 + 8 + 9 + 8)/9 = 8

∴ माध्यिक, बहुलक, माध्य = (8, 9, 8)

दिया गया है​:

निश्चित संख्या का माध्य = 20

समान प्रेक्षण के वर्ग का माध्य = 500

प्रयुक्त सूत्र:

σ = √[(∑x²/n –(∑x/n)²]

(∑x/n) = माध्य

∑x²/n = वर्ग का माध्य

गणना:

मानक विचलन निम्न द्वारा दिया जाता है

⇒ √[(∑(x²/n –(∑x/n)²] = √[500 – (20)²]

⇒ √(500 – 400)

∴ मानक विचलन 10 है।

संकल्पना:

माध्य (μ) = E(x) = ∑ x P(x)

गणना:

माना कि ‘x’ दोषपूर्ण भागों की संख्या है। 

माध्य (μ) = E(x) = ∑ x P(x)

\(= 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{1}{6}\)

= 1

E(x²) = ∑ x² P(x)

\(= 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{2}{3} + 4 \times \frac{1}{6}\)

= 4/3

भिन्नता v(x) = E(x²) – [(E(x)]²

\(= \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}\)

​केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हमें एक सारांश प्रदान करते हैं जो डेटा के कुछ केंद्रीय या मध्य बिंदु का वर्णन करता है। 

केंद्रीय प्रवृत्ति के पांच महत्वपूर्ण माप हैं, अर्थात,

I) अंकगणितीय माध्य,

ii) माध्यिका,

iii) विधा,

iv) ज्यामितीय माध्य, और

v) हरात्मक माध्य। 

इनमें से अंतिम दो माप , अर्थात, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य, बहुत विशिष्ट उपयोग हैं और इस प्रकार कम बार उपयोग किए जाते हैं।

बहुलक:

• शब्द मोड फ्रेंच शब्द "ला मोड" से लिया गया है जो वितरण के सबसे फैशनेबल मूल्यों को दर्शाता है क्योंकि यह श्रृंखला में सबसे अधिक बार दोहराया जाता है। बहुलक सबसे अधिक बार देखा जाने वाला डेटा मान है। इसको Mo द्वारा दर्शाया जाता है।
•  बहुलक  कभी-कभार ही इस्तेमाल किया जाता है और इसकी गणना आसान है, लेकिन यह अत्यधिक अस्थिर है और एक अंतराल से दूसरे अंतराल पर आवृत्तियों में मामूली बदलाव के साथ बदल सकता है।
• हालांकि, ऐसी परिस्थितियां हैं जिनमें केवल बहुलक का ही उपयोग किया जा सकता है।
• उदाहरण के लिए, यदि एक जूता कंपनी चाहती है कि उसे किस आकार के जूते का अधिक उत्पादन करना चाहिए, तो यह केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के रूप में बहुलक का उपयोग करेगा। जूते का सबसे अधिक बिकने वाला आकार बहुलक है।

समांतर माध्य: अंकगणित माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला माप है। 

• माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। इसे सभी अवलोकनों के मानों के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है और आमतौर पर X द्वारा निरूपित किया जाता है। सामान्य तौर पर, अगर X1, X2, X3, ..., XN के रूप में N अवलोकनों हैं, तब अंकगणित दिया गया है
• माध्य = \({X1 + X2 + X3 +...+ Xn}\over n\).
• यह सूचकांक i के बिना सरल रूप में लिखा जाएगा।
• इस प्रकार =  = N ∑ \(X\over N\)  जहां, =ΣX  = सभी अवलोकनों का योग और N = अवलोकनों की कुल संख्या।

माध्यिका उस राशि का स्थानीय मान है जो वितरण को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, एक भाग में सभी मान शामिल होते हैं जो औसत से अधिक या बराबर होते हैं और दूसरे में सभी मान कम या बराबर होते हैं।

• जब डेटा समूह को परिमाण के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है तो माध्यिका "मध्य" तत्व है। चूंकि माध्य विभिन्न मूल्यों की स्थिति से निर्धारित होता है, यह अप्रभावित रहता है यदि, सबसे बड़े मूल्य का आकार बढ़ता है।
• माध्य को आसानी से छोटे से सबसे बड़े डेटा को छांटकर और मध्य मूल्य का पता लगाकर आसानी से गणना की जा सकती है।

गणना:

दी गई संख्याओं को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें

3, 3, 7, 8, 12, 13, 16, 19

यहाँ, माध्यिका = 8 और 12 का औसत

माध्यिका = (8 + 12)/2 = 10

दिया गया है:

आंकड़े =  7.5, 7.3, 7.2, 7.2, 7.4, 7.7, 7.7, 7.5, 7.3, 7.2, 7.6, 7.2

अवधारणा:

माध्य: माध्य संख्याओं के संग्रह में औसत या सबसे उभयनिष्ठ मान होता है। 

माध्यिका: किसी क्रम में व्यवस्थित करने पर दी गई संख्याओं का बीच का मान माध्यिका होता है।

बहुलक: बहुलक वह मान है जो दी गई संख्याओं में बार-बार आ रहा होता है। 

गणना:

जब हम आँकड़ों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं

⇒ 7.2, 7.2, 7.2, 7.2, 7.3, 7.3, 7.4, 7.5, 7.5, 7.6, 7.7, 7.7

हम देख सकते हैं कि दिए गए आंकड़ों में 7.2 बार-बार आ रहा है,

दिए गये आंकड़ों का बहुलक = 7.2

∴ अभीष्ट परिणाम 7.2 होगा। 

सही उत्तर विकल्प 2 है।

डेटा:

मोड = 15

माध्य = 30

सूत्र:

मध्यम सममित वितरण में,

मोड = 3 × माध्यिका - 2 × माध्य

गणना:

15 = 3 × माध्यिका - 2 × 30

3 × माध्यिका = 15 + 2 × 30

माध्यिका = \(\dfrac{75}{3}\)
माध्यिका = 25

अत: सही उत्तर 25 है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

आकड़े:

औसत = μ = 0;

भिन्नता = σ² = 9 

P(X ≥ 3) = a

गणना:

मानक विचलन = σ = √भिन्नता = √9 = 3

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)

\(∴ Z = \frac{3 - 0}{3} = 1\)

P(|X| ≤ 3) = P(-3 ≤ X ≤ 3)

P(-∞ ≤ X ≤ +∞) = P(X ≤ 3) + P(-3 ≤ X ≤ 3) + P(X ≥ 3) = 1

चूँकि यह z = 1 के साथ एक सामान्य वितरण है। 

P(X ≥ 3) = P(X ≤ 3) = a

 P(X ≤ 3) + P(-3 ≤ X ≤ 3) + P(X ≥ 3) = 1

a + P(|X| ≤ 3) + a = 1

∴ P(|X| ≤ 3) = 1 - 2a

संकल्पना:

मोड​:

मोड​ चर का वह मान है जो प्रेक्षणों के समुच्चय में सबसे अधिक बार होता है। दूसरे शब्दों में, बारंबारता बंटन का मोड​ अधिकतम बारंबारता के संगत चर (x) का मान होता है।

समूहीकृत बारंबारता बंटन का मोड​ निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

\(mode =l + \frac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}}i\)
जहाँ l = मोडल​ वर्ग की निचली सीमा, fm = मोडल​ वर्ग की बारंबारता, fm-1 = मोडल​ वर्ग के पूर्ववर्ती वर्ग की बारंबारता, fm+1 = मोडल​ वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारंबारता, i = वर्ग मध्यान्तर।

गणना:

दिया गया है:

हमारे पास 16-20 यानी 32 की सीमा में छात्रों की अधिकतम संख्या है।

l = 16, fm = 32, fm-1 = 16, fm+1 = 24, i = 4

\(mode = 16+\frac{32-16}{64-16-24} \times 4\)

मोड = 18.66

अतः मोड​ 18.66 होगा।

व्याख्या:

पॉइसन बंटन सूत्र,

\(\;P\left( x \right) = \frac{{{e^{ - λ }}{λ ^x}}}{{x!}}\)

जहां λ = अंतराल के भीतर घटित होने का माध्य मान

P(x) = अंतराल के भीतर x के घटित होने की प्रायिकता

पॉइसन बंटन के लिए हमारे पास है

माध्य = विचरण = (मानक विचलन)²

∴ मानक विचलन = \(\sqrt {Mean} = \sqrt \mu\)