LC Oscillations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for LC Oscillations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

LC परिपथ में ऊर्जा वितरण: एक LC दोलनी परिपथ में, कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और संधारित्र और प्रेरक के बीच दोलन करती है।

• संधारित्र में ऊर्जा: U_C = (1/2) x (Q² / C)
• प्रेरक में ऊर्जा: U_L = (1/2) x L x I²
• जब संधारित्र और प्रेरक में ऊर्जा समान होती है, U_C = U_L.

गणना:

दिया गया है,

किसी भी क्षण पर, संधारित्र पर आवेश Q है।

⇒ (1/2) x (Q² / C) = (1/2) x L x I²

⇒ Q² / C = L x I²

संबंध I = dQ/dt का उपयोग करके और दोलनी समीकरण को प्रतिस्थापित करके:

⇒ Q = Q₀ cos(ωt)

चूँकि समान ऊर्जा वितरण के क्षण पर, Q = Q₀ / √2.

∴ प्रेरक और संधारित्र में ऊर्जा समान होने पर संधारित्र पर आवेश Q₀ / √2 है।

संप्रत्यय:

• LC दोलक की अनुनाद आवृत्ति:
• एक LC दोलक की अनुनाद आवृत्ति (ω) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:
  • ω = 1 / √(LC), जहाँ:
  • L: प्रेरकत्व (हेनरी, H में)
  • C: धारिता (फैरड, F में)
• यदि प्रेरकत्व और धारिता के मान बदलते हैं, तो उपरोक्त सूत्र के अनुसार अनुनाद आवृत्ति भी बदल जाती है।
• इस समस्या में, प्रेरकत्व दोगुना हो जाता है, और धारिता आठ गुना बढ़ जाती है।

गणना:

दिया गया है:

प्रारंभिक प्रेरकत्व = L

प्रारंभिक धारिता = C

अनुनाद आवृत्ति है:

ω₀ = 1 / √(LC)

परिवर्तनों के बाद:

नया प्रेरकत्व = 2L

नई धारिता = 8C

नई अनुनाद आवृत्ति है:

ω = 1 / √((2L)(8C)) = 1 / √(16LC) = (1 / 4) × (1 / √(LC))

इस प्रकार, नई अनुनाद आवृत्ति प्रारंभिक अनुनाद आवृत्ति की 1/4 है।

∴ x का मान 1/4 है।

अवधारणा:

एक L-C परिपथ में, प्रेरक और संधारित्र द्वारा ली गई धाराएँ विपरीत कला में हैं। जनित्र से ली गई कुल धारा प्रेरक द्वारा ली गई धारा और संधारित्र द्वारा ली गई धारा के बीच का अंतर है। कुल धारा को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

I = Iₗ - I_ᶜ

जहाँ:

• Iₗ = प्रेरक में प्रवाहित होने वाली धारा (0.9 A)
• I_ᶜ = संधारित्र में प्रवाहित होने वाली धारा (0.4 A)

गणना:

दिया गया है:

• Iₗ = 0.9 A
• I_ᶜ = 0.4 A

जनित्र द्वारा ली गई कुल धारा है:

I = Iₗ - I_ᶜ = 0.9 A - 0.4 A = 0.5 A

∴ स्रोत से ली गई धारा 0.5 A है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

व्याख्या:

एक LC परिपथ में, जिसमें केवल एक प्रेरक (L) और एक संधारित्र (C) होता है, दोलन का आवर्तकाल द्वितीय-कोटि अवकल समीकरण से प्राप्त होता है:

\(L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0\)

इसे हल करने पर आवेश के लिए एक हल प्राप्त होता है \(q(t) = q_0 \cos(\omega t + \phi)\) , जहाँ \( \omega = \frac{1}{\sqrt{L C}}\) कोणीय आवृत्ति है। आवर्तकाल T कोणीय आवृत्ति से \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) द्वारा संबंधित है, जो सरल हो जाता है:

\(T = 2\pi \sqrt{L C}\)

इस प्रकार, विकल्प '4' सही है।

\(f=\dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\)

अनुनाद पर प्रतिबाधा अधिकतम होती है और आवृत्ति और धारा न्यूनतम होगी।

धारणा:

• LC परिपथ: एक प्रेरक (L) और एक संधारित्र (C) युक्त परिपथ, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच परिपथ में संग्रहित ऊर्जा को स्थानांतरित करके emf के स्रोत के बिना दोलन कर सकता है LC परिपथ कहलाता है।
• समस्वरित परिपथ की इसकी अनुनादी आवृत्ति पर एक बहुत उच्च प्रतिबाधा है।

व्याख्या:

• LC परिपथ द्वारा उत्पादित दोलनों की आवृत्ति संधारित्र और प्रेरक के मानों और उनकी अनुनादी स्थिति पर पूर्ण रूप से निर्भर होती है।

इसे निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\(f = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\)

• एक LC दोलक में दोलक की आवृत्ति L या C के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है। तो विकल्प 1 सही है।

• अनुनाद आवृत्ति: एक AC परिपथ की आवृत्ति जिस पर परिपथ की प्रतिबाधा न्यूनतम हो जाती है या परिपथ में धारा अधिकतम हो जाती है, अनुनाद आवृत्ति कहलाती है।

• अनुनाद आवृत्ति इस प्रकार है-

\(f = \frac{1}{{2\pi \;\sqrt {LC} }}\)

जहाँ L प्रेरकत्व है और C परिपथ की धारिता है।

गणना:

दिया गया है:

C = 10-6F और L = 10-4H

• अनुनाद आवृत्ति इस प्रकार है-

\(\Rightarrow f = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }} \)

\(\Rightarrow f=\frac{1}{{2\pi \sqrt {{{10}^{ - 6}} \times {{10}^{ - 4}}} }} = \frac{{{{10}^5}}}{{2\pi }}Hz\)

अवधारणा:

• LC परिपथ: एक प्रेरक (L) और एक संधारित्र (C) दोनों युक्त परिपथ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच परिपथ में संग्रहीत ऊर्जा को स्थानांतरित करके emf के स्रोत के बिना दोलन कर सकता है, इसे LC परिपथ कहा जाता है।
• समस्वरित परिपथ की अनुनादी आवृत्ति पर उच्च प्रतिबाधा है।
• LC परिपथ द्वारा उत्पन्न दोलनों की आवृत्ति पूरी तरह से संधारित्र और प्रेरक और उनकी अनुनादी स्थिति के मानों पर निर्भर करती है।
• यह इस रूप में व्यक्त की जाती है:

\(f = \frac{1}{{2π \sqrt {LC} }}\)

जहां L = प्रेरक और C = संधारित्र

व्याख्या:

• आवृत्ति (f): यह दोलनों की संख्या या तरंगों की संख्या है, जो एक सेकंड में एक दिए गए बिंदु से गुजरती है। इसकी SI इकाई हर्ट्ज है।

​\(\Rightarrow f=\frac{1}{T}\)

• उपरोक्त से, यह स्पष्ट है कि अनुनादी आवृत्ति को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

\(\Rightarrow f = \frac{1}{{2π \sqrt {LC} }}\)

उपरोक्त समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है,

\(\Rightarrow \sqrt{LC}=\frac{1}{2π f}\)

\(\Rightarrow \sqrt{LC}=\frac{T}{2π }\)

यहाँ, 2π नियतांक है, इसलिए \(\sqrt{LC}\) का विमीय सूत्र है-

\(\Rightarrow \sqrt{LC}=[M^0L^0T^1]\)

अवधारणा :

• LC परिपथ: एक प्रेरक (L) और एक संधारित्र (C) युक्त परिपथ, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच परिपथ में संग्रहित ऊर्जा को स्थानांतरित करके emf के स्रोत के बिना दोलन कर सकता है LC परिपथ कहलाता है।
• समस्वरित परिपथ की इसकी अनुनादी आवृत्ति पर एक बहुत उच्च प्रतिबाधा है।
• LC परिपथ द्वारा उत्पादित दोलनों की आवृत्ति संधारित्र और प्रेरक के मानों और उनकी अनुनादी स्थिति पर पूर्ण रूप से निर्भर होती है।
• इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\(f = \frac{1}{{2π \sqrt {LC} }}\)

जहाँ L = प्रेरक और C = संधारित्र

व्याख्या:

• आवृत्ति (f): दोलनों की संख्या या तरंगों की संख्या किसी दिए गए बिंदु को एक सेकंड में पास करती है। इसकी SI इकाई हर्ट्ज है।

\(\Rightarrow f=\frac{1}{T}\)

• ऊपर से, यह स्पष्ट है कि अनुनादी आवृत्ति को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

\(\Rightarrow f = \frac{1}{{2π \sqrt {LC} }}\)

उपरोक्त समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता है,

\(\Rightarrow \sqrt{LC}=\frac{1}{2π f}\)

\(\Rightarrow \sqrt{LC}=\frac{T}{2π }\)

यहां, 2π स्थिर है इसलिए \(\sqrt{LC}\) का आयाम है

\(\Rightarrow \sqrt{LC}=[M^0L^0T^1]\)

• इसलिए विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

LC दोलन:

• हम जानते हैं कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र क्रमशः विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं।
• जब एक संधारित्र (आरंभिक रूप से आवेशित) एक प्रेरित्र से जुड़ा होता है, तो संधारित्र पर आवेश और परिपथ में धारा यांत्रिक प्रणालियों में दोलनों के समान विद्युत दोलनों की परिघटना को प्रदर्शित करती है।
• मान लीजिए कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र जुड़े हुए हैं जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
• मान लीजिए कि संधारित्र को t = 0 sec पर Q_o द्वारा आवेशित किया जाता है।
• जैसे ही परिपथ पूरा हो जाता है, संधारित्र पर आवेश कम होने लगता है, जिससे परिपथ में धारा बढ़ने लगती है।
• दोलन की कोणीय आवृत्ति इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ ω_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

जहां L = स्व-प्रेरकत्व और C = धारिता

• संधारित्र पर आवेश समय के साथ साइनसॉइडली रूप से बदलता रहता है,

⇒ Q = Q_ocos(ω_ot)

• किसी भी समय t पर परिपथ में धारा इस प्रकार है-

⇒ I = Iosin(ωot)

जहाँ I_o = परिपथ में अधिकतम धारा

• अधिकतम आवेश और अधिकतम धारा के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है,

⇒ I_o = ω_oQ_o

व्याख्या:

• हम जानते हैं कि LC दोलन की कोणीय आवृत्ति इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ ω_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)     -----(1)

जहाँ L = स्व-प्रेरकत्व और C = धारिता

• अत: विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

LC दोलन:

• हम जानते हैं कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र क्रमशः विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं।
• जब एक संधारित्र (आरंभिक रूप से आवेशित) एक प्रेरित्र से जुड़ा होता है, तो संधारित्र पर आवेश और परिपथ में धारा यांत्रिक प्रणालियों में दोलनों के समान विद्युत दोलनों की परिघटना को प्रदर्शित करती है।
• मान लीजिए कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र जुड़े हुए हैं जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
• मान लीजिए कि संधारित्र को t = 0 सेकंड पर Q_o द्वारा आवेशित किया जाता है।
• जैसे ही परिपथ पूरा हो जाता है, संधारित्र पर आवेश कम होने लगता है, जिससे परिपथ में धारा बढ़ने लगती है।
• दोलन की कोणीय आवृत्ति इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ ω_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

जहां L = स्व-प्रेरकत्व और C = धारिता

• संधारित्र पर आवेश समय के साथ साइनसॉइडली रूप से बदलता रहता है,

⇒ Q = Q_ocos(ω_ot)

• किसी भी समय t पर परिपथ में धारा इस प्रकार है-

⇒ I = Iosin(ωot)

जहाँ I_o = परिपथ में अधिकतम धारा

• अधिकतम आवेश और अधिकतम धारा के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है,

व्याख्या:

दिया गया है:

U_C = U_I

जहाँ U_C =संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा और  UI = प्रेरित्र में संग्रहीत ऊर्जा

• चूँकि LC दोलन परिपथ में संधारित्र पर अधिकतम आवेश Q_o है।
• तो LC दोलन परिपथ में संग्रहीत कुल ऊर्जा इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ U=\frac{Q_o^2}{2C}\)     -----(1)

मान लीजिए कि परिपथ में धारा I है, जब संधारित्र में संचित ऊर्जा प्रेरित्र में संचित ऊर्जा के बराबर होती है।

हम जानते हैं कि प्रेरित्र में संग्रहीत ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है,

\(⇒ U_I=\frac{1}{2}LI^2\)     -----(2)

यहाँ L = स्व-प्रेरकत्व और I = धारा

हम जानते हैं कि एक LC दोलन परिपथ के लिए,

⇒ U_C + U_I = U

⇒ UI + UI = U

⇒ 2UI = U

\(\Rightarrow U_I=\frac{U}{2}\)     -----(3)

समीकरण 1, समीकरण 2 और समीकरण 3 से,

\(⇒ \frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}\times\frac{Q_o^2}{2C}\)

\(⇒ I=\frac{Q_o}{\sqrt{2LC}}\)

• अत: विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

LC दोलन:

• हम जानते हैं कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र क्रमशः विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं।
• जब एक संधारित्र (आरंभिक रूप से आवेशित) एक प्रेरित्र से जुड़ा होता है, तो संधारित्र पर आवेश और परिपथ में धारा यांत्रिक प्रणालियों में दोलनों के समान विद्युत दोलनों की परिघटना को प्रदर्शित करती है।
• मान लीजिए कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र जुड़े हुए हैं जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
• मान लीजिए कि संधारित्र को t = 0 sec पर Q_o द्वारा आवेशित किया जाता है।
• जैसे ही परिपथ पूरा हो जाता है, संधारित्र पर आवेश कम होने लगता है, जिससे परिपथ में धारा बढ़ने लगती है।
• दोलन की कोणीय आवृत्ति इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ ω_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

जहां L = स्व-प्रेरकत्व और C = धारिता

• संधारित्र पर आवेश समय के साथ साइनसॉइडली रूप से बदलता रहता है,

⇒ Q = Q_ocos(ω_ot)

• किसी भी समय t पर परिपथ में धारा इस प्रकार है-

⇒ I = Iosin(ωot)

जहाँ I_o = परिपथ में अधिकतम धारा

• अधिकतम आवेश और अधिकतम धारा के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है,

गणना:

दिया गया है:

C₁ = C2 = 8 μF = 8 × 10-6 F और L = 0.4 mH = 0.4 × 10-3 H

जहां L = स्व-प्रेरकत्व और C = धारिता

दी गई आकृति में दो संधारित्र श्रृंखला में हैं इसलिए समतुल्य धारिता C इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\)

\(⇒ \frac{1}{C}=\frac{1}{8×10^{-6}}+\frac{1}{8×10^{-6}}\)

⇒ C = 4 × 10^-6 C

हम जानते हैं कि LC दोलन परिपथ की कोणीय आवृत्ति इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ ω_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

\(⇒ ω_o=\frac{1}{\sqrt{0.4×10^{-3}×4×10^{-6}}}\)

⇒ ω_o = 25 × 103 रेडियन/सेकंड

• अत: विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

• प्रवर्धक: एक विद्युत उपकरण जिसका उपयोग विद्युत संकेतों के आयाम को बढ़ाने, मुख्य रूप से ध्वनि उत्पादन में किया जाता है, इसे प्रवर्धक कहते है।
• आवृत्ति: प्रति इकाई समय दोहराने वाली परिघटना की आवृत्तियों की संख्या को आवृत्ति कहा जाता है।
• एक LC परिपथ में, आवृत्ति इस प्रकार होगी-

ω = 1 / √ (LC)

2πf = 1 / √ (LC)

जहां f आवृत्ति है, L प्रेरकत्व है और C संधारिता है।

CALCULATION:

Given that f = 2 MHz = 2 × 10⁶ Hz

2πf = 1 / √ (LC)

 \(\sqrt {LC} = \frac {1} {2\pi} \times \frac {1} { f}\)

​\(\sqrt {LC} = \frac {1} {2 \times \pi} \times \frac {1} {2 \times 10^6}\)​

\(\sqrt {LC} = \frac{1}{{4\pi \times {{10}^6}}}\)

तो सही उत्तर विकल्प 4 होगा।

संकल्पना:

LC दोलन:

• एक LC परिपथ एक प्रकार का विद्युतीय परिपथ होता है जो एक प्रेरक जिसे अक्षर L द्वारा व्यक्त किया जाता है, और एक संधारित्र, जिसे अक्षर C द्वारा दर्शाया जाता है, दोनों से मिलकर बना होता है​
•  जब एक आवेशित संधारित्र एक प्रेरक से जुड़ा होता है,परिपथ में संधारित्र पर विद्युत धारा और आवेश विद्युत LC दोलनों से गुजरते हैं।

• LC परिपथ को टैंक परिपथ, एक अनुनादी परिपथ या समस्वरित परिपथ के रूप में भी जाना जाता है।
• LC दोलन की कोणीय आवृत्ति,, \(ω =\frac{1}{\sqrt{LC}}\)
• यहाँ, कोणीय आवृत्ति, ω = 2πf  जहां , f = रैखिक आवृत्ति है। 

गणना:

दिया गया है,

संधारित्र की धारिता, C = 5.0 × 10-6 F

प्रेरक का प्रेरकत्व , L = 5.0 × 10-2 H 

परिपथ में LC दोलन की कोणीय आवृत्ति,

\(ω =\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

\(ω =\frac{1}{\sqrt{5\times 10^{-2}\times 5\times 10^{-6}}}=2\times 10^{3} rad/s\)

इसलिए,  में LC दोलनों की कोणीय आवृत्ति (रेडियन/सेकंड में)​: 2.0 × 103

अवधारणा:

LC दोलन:

• हम जानते हैं कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र क्रमशः विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं।
• जब एक संधारित्र (आरंभिक रूप से आवेशित) एक प्रेरित्र से जुड़ा होता है, तो संधारित्र पर आवेश और परिपथ में धारा यांत्रिक प्रणालियों में दोलनों के समान विद्युत दोलनों की परिघटना को प्रदर्शित करती है।
• मान लीजिए कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र जुड़े हुए हैं जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
• मान लीजिए कि संधारित्र को t = 0 sec पर Q_o द्वारा आवेशित किया जाता है।
• जैसे ही परिपथ पूरा हो जाता है, संधारित्र पर आवेश कम होने लगता है, जिससे परिपथ में धारा बढ़ने लगती है।
• दोलन की कोणीय आवृत्ति इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ ω_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

जहां L = स्व-प्रेरकत्व और C = धारिता

• संधारित्र पर आवेश समय के साथ साइनसॉइडली रूप से बदलता रहता है,

⇒ Q = Q_ocos(ω_ot)

• किसी भी समय t पर परिपथ में धारा इस प्रकार है-

⇒ I = Iosin(ωot)

जहाँ I_o = परिपथ में अधिकतम धारा

• अधिकतम आवेश और अधिकतम धारा के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है,

व्याख्या:

मान लीजिये U_C = संधारित्र में संचित ऊर्जा और U_I = प्रेरित्र में संचित ऊर्जा

• चूंकि LC दोलन परिपथ पूरी तरह आवेशित होने पर संधारित्र पर आवेश  Q है।
• तो LC दोलन परिपथ में संग्रहीत कुल ऊर्जा इस प्रकार दी गई है,
•  

\(⇒ U=\frac{Q^2}{2C}\)     -----(1)

मान लीजिए कि परिपथ में धारा I है, जब संधारित्र पर आवेश आधा हो जाता है।

∴ \(Q'=\frac{Q}{2}\)     -----(2)

तो संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा जब संधारित्र पर आवेश आधा हो जाता है, तो यह इस प्रकार है,

\(⇒ U_C=\frac{(Q')^2}{2C}\)

\(⇒ U_C=\frac{Q^2}{8C}\)     -----(3)

• हम जानते हैं कि प्रेरित्र में संग्रहीत ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है,

\(⇒ U_I=\frac{1}{2}LI^2\)     -----(4)

जहाँ L = स्व-प्रेरकत्व और I = धारा

हम जानते हैं कि एक LC दोलन परिपथ के लिए,

⇒ UC + UI = U

\(⇒ \frac{Q^2}{8C}+\frac{1}{2}LI^2=\frac{Q^2}{2C}\)

\(⇒LI^2=\frac{Q^2}{C}-\frac{Q^2}{4C}\)

\(⇒LI^2=\frac{3Q^2}{4C}\)

\(⇒I=\frac{\sqrt3Q}{2\sqrt{LC}}\)

• अतः विकल्प 1 सही है।